繊維が群胴体である繊維束
数学 において 、 主バンドル [1] [2] [3] [4] は、空間 と 群の 直積 のいくつかの本質的な特徴を形式化する数学的対象である 。直積と同様に、主バンドル に
は
X
×
G
{\displaystyle X\times G}
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
へ の の 作用 。 積空間 に対する に類似しています 。
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
(
x
,
g
)
h
=
(
x
,
g
h
)
{\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}
への射影 。積空間の場合、これは単に最初の因子 への射影です 。
X
{\displaystyle X}
(
x
,
g
)
↦
x
{\displaystyle (x,g)\mapsto x}
積空間 でない限り 、主バンドルには恒等断面積の好ましい選択肢がなく、 の好ましい類似物はありません。同様に、直積に対して存在する 、2 番目の因子への射影を一般化する への射影は一般に存在しません 。また、空間のより小さな部分で定義することによってそのような構造を定義しようとするためにいくつかの任意の選択が行われたとしても、主 バンドル が積空間として実現されるのを妨げる複雑な位相を持つ場合もあります。
X
×
G
{\displaystyle X\times G}
x
↦
(
x
,
e
)
{\displaystyle x\mapsto (x,e)}
G
{\displaystyle G}
X
×
G
→
G
{\displaystyle X\times G\to G}
主バンドルの一般的な例としては、 ベクトルバンドル の フレームバンドル が挙げられます。これは、各点に付随するベクトル空間のすべての順序付き 基底 から構成されます。この場合の グループは 一般線型群であり、 通常の方法 、つまり 基底の変更 によって右側に作用します 。ベクトル空間の順序付き基底を選択する自然な方法はないため、フレームバンドルには恒等断面の標準的な選択がありません。
F
(
E
)
{\displaystyle F(E)}
E
{\displaystyle E}
G
,
{\displaystyle G,}
主束は 位相幾何学 、 微分幾何学 、数学的 ゲージ理論において重要な応用があり、 物理学 にも応用され、物理 ゲージ理論 の基礎的枠組みの一部を形成しています 。
主 -バンドル（ここで、 は任意 の 位相群 ）は、 連続 右作用 を伴う ファイバーバンドル であり、は のファイバーを保存し （すなわち、 であれば すべての に対して ）、 および のそれぞれに対して を に 送る 写像が同相写像 となるような方法で、 に対して 自由 かつ 推移的に （つまり、各ファイバーは G-トルソル である）作用します。特に、バンドルの各ファイバーは、群 自体に同相です。多くの場合、基本空間は ハウスドルフ であり 、可能であれば パラコンパクト で ある必要があります。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
π
:
P
→
X
{\displaystyle \pi :P\to X}
P
×
G
→
P
{\displaystyle P\times G\to P}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
y
∈
P
x
{\displaystyle y\in P_{x}}
y
g
∈
P
x
{\displaystyle yg\in P_{x}}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
∈
P
x
{\displaystyle y\in P_{x}}
G
→
P
x
{\displaystyle G\to P_{x}}
g
{\displaystyle g}
y
g
{\displaystyle yg}
G
{\displaystyle G}
X
{\displaystyle X}
群作用は の繊維を保存し 、推移的に作用するので、 -作用 の 軌道は まさにこれらの繊維であり、軌道空間は 基本空間 に 同相で あることがわかります 。 作用は自由かつ推移的であるため、繊維は G-トルソーの構造を持ちます。 -トルソーは に同相ですが、 単位元 の優先選択がないため、群構造を欠く 空間です 。
π
:
P
→
X
{\displaystyle \pi :P\to X}
G
{\displaystyle G}
P
/
G
{\displaystyle P/G}
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
主 -バンドルの同等の定義は、 ファイバーを持つ -バンドル であり 、ここで構造群はファイバーに対して左乗算によって作用します。 によるファイバーへの右乗算は構造群の作用と可換であるため、 に よる への右乗算の不変概念が存在します 。 のファイバーは 、この作用に対して右 -トルソルになります。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
π
:
P
→
X
{\displaystyle \pi :P\to X}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
π
{\displaystyle \pi }
G
{\displaystyle G}
上記の定義は任意の位相空間に対するものです。 滑らかな多様体 の カテゴリ で主 -バンドルを定義することもできます 。ここで、は滑らかな多様体間の 滑らかな写像 であることが要求され 、 は リー群 であることが要求され 、 への対応する作用は 滑らかでなければなりません。
G
{\displaystyle G}
π
:
P
→
X
{\displaystyle \pi :P\to X}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
例
単純なバンドルとセクション
開球上 、または 誘導座標上では 、任意の主 -バンドルは自明バンドルと同型である。
U
⊂
R
n
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
G
{\displaystyle G}
π
:
U
×
G
→
U
{\displaystyle \pi :U\times G\to U}
そして滑らかな断面は （滑らかな）関数によって等価的に与えられる 。
s
∈
Γ
(
π
)
{\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}
s
^
:
U
→
G
{\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}
s
(
u
)
=
(
u
,
s
^
(
u
)
)
∈
U
×
G
{\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}
滑らかな関数に対して、例えば、 ユニタリ行列 のリー群 の場合 、4つの実数値関数を考えることによってセクションを構成することができる。
G
=
U
(
2
)
{\displaystyle G=U(2)}
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
ϕ
(
x
)
,
ψ
(
x
)
,
Δ
(
x
)
,
θ
(
x
)
:
U
→
R
{\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }
それをパラメータ化に適用する
s
^
(
x
)
=
e
i
ϕ
(
x
)
[
e
i
ψ
(
x
)
0
0
e
−
i
ψ
(
x
)
]
[
cos
θ
(
x
)
sin
θ
(
x
)
−
sin
θ
(
x
)
cos
θ
(
x
)
]
[
e
i
Δ
(
x
)
0
0
e
−
i
Δ
(
x
)
]
.
{\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}
この同じ手順は、リー群を定義する行列の集合のパラメータ化を取り 、基本空間のパッチからまでの関数の集合を考慮して 、それらをパラメータ化に挿入すること
によって有効になります。
G
{\displaystyle G}
U
⊂
X
{\displaystyle U\subset X}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
その他の例 円上の非自明な Z /2 Z主バンドル。各ファイバーのどの点が +1 または -1 に対応するかを明確に識別する方法はありません。このバンドルは、射影 π のグローバルに定義されたセクションがないため、非自明です 。 滑らかな主バンドルの典型的な例は、 滑らかな多様体 の フレームバンドル であり、 または と表記されることが多い 。ここで、点上のファイバーは、 接空間 のすべてのフレーム（つまり、順序付けられた基底）の集合である 。 一般線型群は、 これらのフレームに対して自由かつ推移的に作用する。これらのファイバーは、上の主 -バンドル が得られるように自然な方法で接着することができる 。
M
{\displaystyle M}
F
M
{\displaystyle FM}
G
L
(
M
)
{\displaystyle GL(M)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
G
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
G
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
M
{\displaystyle M}
上記の例のバリエーションには、 リーマン多様体 の 正規直交フレームバンドル が含まれます。ここで、フレームは 計量 に関して 正規直交 である必要があります。構造群は 直交群 です。この例は、接バンドル以外のバンドルにも適用できます。 が 上の 階数のベクトルバンドルである場合 、 のフレームのバンドルは 主 -バンドルであり、 と表記されることもあります 。
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
G
L
(
k
,
R
)
{\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}
F
(
E
)
{\displaystyle F(E)}
正規 被覆空間 は、構造群が
p
:
C
→
X
{\displaystyle p:C\to X}
G
=
π
1
(
X
)
/
p
∗
(
π
1
(
C
)
)
{\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}
はモノドロミー作用 を介して のファイバーに作用します 。特に、 の 普遍被覆 は構造群 を 持つ 上の主バンドルです (普遍被覆は単連結なので 自明であるため)。
p
{\displaystyle p}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
π
1
(
C
)
{\displaystyle \pi _{1}(C)}
をリー群、を 閉部分群（ 正規 とは限らない）とします。すると は （ 左） 剰余類空間 上の主 -バンドルになります。ここ で の作用は 右乗法です。ファイバーは の左剰余類です （この場合、 と自然に同型である恒等式を含む特別なファイバーがあります ）。
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
によって与えられる 射影を考えます 。この主 - バンドルは、 メビウスの帯 の 付随バンドル です。自明バンドルを除けば、これは上の 唯一の主 - バンドルです 。
π
:
S
1
→
S
1
{\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}
z
↦
z
2
{\displaystyle z\mapsto z^{2}}
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
射影空間は、 主バンドルのさらに興味深い例を提供します。 - 球面は、 実射影空間 の二重被覆空間であることを思い出してください。 へ の の自然な作用により、 上の 主 - バンドルの構造が与えられます 。同様に、は 複素射影空間 上の 主 - バンドルであり 、は 四元数射影空間 上の 主 - バンドルです 。すると、各正の に対して主バンドルの系列が得られます 。
n
{\displaystyle n}
S
n
{\displaystyle S^{n}}
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}
O
(
1
)
{\displaystyle O(1)}
S
n
{\displaystyle S^{n}}
O
(
1
)
{\displaystyle O(1)}
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}
S
2
n
+
1
{\displaystyle S^{2n+1}}
U
(
1
)
{\displaystyle U(1)}
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}
S
4
n
+
3
{\displaystyle S^{4n+3}}
S
p
(
1
)
{\displaystyle Sp(1)}
H
P
n
{\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
O
(
1
)
→
S
(
R
n
+
1
)
→
R
P
n
{\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}
U
(
1
)
→
S
(
C
n
+
1
)
→
C
P
n
{\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}
Sp
(
1
)
→
S
(
H
n
+
1
)
→
H
P
n
.
{\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}
ここで は（ユークリッド計量を備えた） の単位球面を表します 。これらすべての例では、 いわゆる ホップバンドル が与えられます。
S
(
V
)
{\displaystyle S(V)}
V
{\displaystyle V}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
基本的なプロパティ
単純化と断面 ファイバーバンドルに関する最も重要な質問の 1 つは、それが自明で あるかどうか 、 つまり 積バンドルと同型であるかどうかです。主バンドルの場合、自明性の便利な特徴付けがあります。
命題 。 主バンドルが自明であるのは、それが大域 切断 を許容する場合に限ります。 同じことは、他のファイバーバンドルには一般には当てはまりません。たとえば、 ベクトルバンドルは、 自明であるかどうかに関係なく常にゼロセクションを持ち、 球バンドルは 、自明でなくても多くのグローバルセクションを許容する場合があります。
同じ事実は主バンドルの局所自明化にも当てはまる。π : P → X を主 G バンドルとする 。X の 開 集合 U が 局所 自明 化 を 持つ ため には、 U に局所切断が存在する必要がある。局所自明化
Φ
:
π
−
1
(
U
)
→
U
×
G
{\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}
関連するローカルセクションを定義できる
s
:
U
→
π
−
1
(
U
)
;
s
(
x
)
=
Φ
−
1
(
x
,
e
)
{\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}
ここで e は G における 恒等関数 である 。逆に、セクション s が与えられた場合、 Φ の 自明化を 次のように
定義する。
Φ
−
1
(
x
,
g
)
=
s
(
x
)
⋅
g
.
{\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}
P の繊維に対する G 作用の単純な推移性は 、この写像が 全単射で あること、また 同相写像である ことを保証する。局所断面によって定義される局所自明化は、次の意味でG同変である 。 次 の ように書くと、
Φ
:
π
−
1
(
U
)
→
U
×
G
{\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}
フォーム
Φ
(
p
)
=
(
π
(
p
)
,
φ
(
p
)
)
,
{\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}
そして地図
φ
:
P
→
G
{\displaystyle \varphi :P\to G}
満足する
φ
(
p
⋅
g
)
=
φ
(
p
)
g
.
{\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}
したがって、同変自明化はファイバーの G -torsor構造を保存する。関連する局所断面 s に関して、 写像 φは 次のように与えられる。
φ
(
s
(
x
)
⋅
g
)
=
g
.
{\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}
断面定理の局所バージョンは、主バンドルの同変局所自明化が局所断面と 1 対 1 に対応することを述べています。
P の 同変局所自明化 ({ U i }, {Φ i }) が与えられると、各 U i 上の局所切断 s i が 存在します。重なり合う部分では、これらは構造群G の作用によって関連付けられる必要があります 。実際、この関係は 遷移関数によって提供されます。
t
i
j
:
U
i
∩
U
j
→
G
.
{\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}
これらの遷移関数を使って局所的自明化を接着することで、元の主バンドルを再構築することができます。これは ファイバーバンドル構成定理の例です。任意の x ∈ U i ∩ U j に対して 、
s
j
(
x
)
=
s
i
(
x
)
⋅
t
i
j
(
x
)
.
{\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}
滑らかな主束の特徴 が滑らかな主バンドルである 場合、 軌道空間が 基底空間 に 微分同相となる ように、 は 自由にかつ適切に作用します 。 これら の特性は滑らかな主バンドルを完全に特徴付けることがわかります。つまり、 が滑らかな多様体、 リー群、および 滑らかで自由な適切な右作用
である場合、
π
:
P
→
X
{\displaystyle \pi :P\to X}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
P
/
G
{\displaystyle P/G}
X
{\displaystyle X}
P
{\displaystyle P}
G
{\displaystyle G}
μ
:
P
×
G
→
P
{\displaystyle \mu :P\times G\to P}
P
/
G
{\displaystyle P/G}
滑らかな多様体である、 自然な投影は 滑らかな 沈み込み であり、
π
:
P
→
P
/
G
{\displaystyle \pi :P\to P/G}
P
{\displaystyle P}
は 上の滑らかな主 -バンドルです 。
G
{\displaystyle G}
P
/
G
{\displaystyle P/G}
概念の使用
構造グループの縮小 G の部分群 H が与えられたとき、そのファイバーが 剰余類空間 に同相なバンドルを考えることができる 。新しいバンドルが大域切断を許容する場合、その切断は 構造群 を から に縮小したもの で あると言える。この名前の理由は、この切断の値の (ファイバーごとの) 逆像が 主 バンドルである のサブバンドルを形成するからである。 が 恒等群である場合、 の切断 自体が構造群 を恒等群 に縮小したものである。構造群の縮小は一般には存在しない。
P
/
H
{\displaystyle P/H}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
P
{\displaystyle P}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
P
{\displaystyle P}
多様体の構造や、主 - バンドルに関連付けられた多様体上のバンドルの構造に関する多くの位相的な質問は、構造群の縮小（ から） の許容性に関する質問として言い換えることができます 。たとえば、
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
メビウスの帯 の フレームバンドルは、 円上の 非自明な主 - バンドルです。
F
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}
E
{\displaystyle E}
Z
/
2
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
次元 の実多様体は 、そのファイバーが である多様体上の フレームバンドル がグループ に簡約できる 場合、 ほぼ複素構造を 許容します。
2
n
{\displaystyle 2n}
G
L
(
2
n
,
R
)
{\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}
G
L
(
n
,
C
)
⊆
G
L
(
2
n
,
R
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}
次元実多様体は、フレームバンドルが構造群に簡約できる場合、 - 平面体を許容 し ます 。
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
G
L
(
k
,
R
)
⊆
G
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
多様体は 、そのフレームバンドルが 特殊直交群 に簡約できる場合にのみ、 向き付け可能 です。
S
O
(
n
)
⊆
G
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
多様体は、そのフレームバンドルが から スピン 群 にさらに縮小され 、それが 二重被覆としてにマッピングされる 場合に限り、 スピン構造を持ちます。
S
O
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (n)}
S
p
i
n
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}
S
O
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (n)}
また、次の点にも注意してください:次元多様体は、その フレームバンドルが グローバルセクションを許容する場合に限り、各点で線形独立なベクトル場を 許容します。この場合、多様体は 並列化可能 と呼ばれます 。
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
関連するベクトル束とフレーム が主 -バンドルで が の 線型表現 である 場合、 の積 ×の 商として、 ファイバー を持つ ベクトルバンドルを構築できます。これは、 随伴バンドル 構築の特殊なケースであり 、 への 随伴ベクトルバンドル と呼ばれます。 上の の表現が に 忠実 で 、 が 一般線型群 GL( ) の部分群である場合、 は-バンドル であり 、 から へ のフレームバンドルの構造群の縮小を提供します 。これは、主バンドルがフレームバンドルの理論の抽象的な定式化を提供するという意味です。
P
{\displaystyle P}
G
{\displaystyle G}
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
E
=
P
×
G
V
{\displaystyle E=P\times _{G}V}
V
{\displaystyle V}
P
{\displaystyle P}
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
E
{\displaystyle E}
P
{\displaystyle P}
G
{\displaystyle G}
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
V
{\displaystyle V}
E
{\displaystyle E}
G
{\displaystyle G}
P
{\displaystyle P}
E
{\displaystyle E}
G
L
(
V
)
{\displaystyle GL(V)}
G
{\displaystyle G}
主束の分類 任意の位相群 G は分類空間 BG を許容します。分類空間 BG は、 G の作用による 弱縮 約 空間 (例えば、 ホモトピー群 が消失する位相空間)の商です。分類空間は、 パラコンパクト 多様体 B上の任意の G 主バンドルが 主バンドル EG → BG の引き戻し に同型であるという性質を持ちます 。 [5] 実際、基底 B上の主 Gバンドルの同型類の集合は、写像 B → BG のホモトピー類の集合と同一視される ため、さらに多くのことが当てはまります 。
参照
参考文献
^ スティーンロッド、ノーマン （1951）。ファイバー束 の トポロジー 。プリンストン： プリンストン大学出版局 。ISBN 0-691-00548-6 。 35ページ ^ Husemoller, Dale (1994). ファイバーバンドル （第3版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8 。 42ページ ^ Sharpe, RW (1997). 微分幾何学: カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化 . ニューヨーク: Springer. ISBN 0-387-94732-9 。 37ページ ^ ローソン、H.ブレイン ; ミシェルソン、マリー・ルイーズ (1989)。 スピン ジオメトリ 。 プリンストン大学出版局 。ISBN 978-0-691-08542-5 。 370ページ ^ Stasheff, James D. (1971)、「 H 空間と分類空間: 基礎と最近の開発」、 代数的位相学 (Proc. Sympos. Pure Math.、Vol. XXII、ウィスコンシン大学、マディソン、ウィスコンシン州、1970) 、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会 、pp. 247–272 、定理2
出典 ブリーカー、デイビッド（1981）。 ゲージ理論と変分原理 。アディソン・ウェズリー出版 。ISBN 0-486-44546-1 。 ヨスト、ユルゲン (2005)。 リーマン幾何学と幾何学解析 ((第 4 版))。ニューヨーク: Springer。ISBN 3-540-25907-4 。 Husemoller, Dale (1994)。Fibre Bundles (第3版)。ニューヨーク: Springer。ISBN 978-0-387-94087-8 。 シャープ、RW (1997)。 微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化 。ニューヨーク：シュプリンガー 。ISBN 0-387-94732-9 。 スティーンロッド、ノーマン （1951）。 ファイバー束のトポロジー 。プリンストン：プリンストン大学出版局 。ISBN 0-691-00548-6 。
