ほぼ複素多様体

数学において、概複素多様体とは、各接空間上に滑らかな線型複素構造を備えた滑らかな多様体である。すべての複素多様体は概複素多様体であるが、複素多様体ではない概複素多様体も存在する。概複素構造はシンプレクティック幾何学において重要な応用がある。

この概念は1940年代にチャールズ・エーレスマンとハインツ・ホップによって考案されました。 ^[1]

M を滑らかな多様体とする。M上の概複素構造 Jは、多様体の各接空間上の線型複素構造（つまり、 -1 に二乗する線型写像）であり、多様体上で滑らかに変化する。言い換えると、次数(1, 1)の滑らかな テンソル体 Jがあり、これを接バンドル上のベクトルバンドル同型と見なすと、次の式が成り立つ。概複素構造を備えた多様体は、概複素多様体と呼ばれる。 ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$

M がほぼ複素構造を許容する場合、それは偶数次元でなければなりません。これは次のように見ることができます。M が n 次元であり、J : TM → TM がほぼ複素構造であるとします。  J 2 = −1の場合、⁽ det J ) 2 = ⁽ −1) ⁿです。しかし、Mが実多様体の場合、det Jは実数です。したがって、 M がほぼ複素構造を持つ場合でも、n は偶数でなければなりません。また、 向き付け可能である必要があることも示せます。

線型代数の簡単な演習で、任意の偶数次元ベクトル空間は線型複素構造を許容することが示される。したがって、偶数次元多様体は、各点pでJ _p ² = −1となるような点ごとの(1, 1)ランクのテンソル（各接空間上の単なる線型変換）を常に許容する。この局所テンソルをパッチしてグローバルに定義できる場合にのみ、点ごとの線型複素構造はほぼ複素構造をもたらし、これは一意に決定される。このパッチの可能性、したがって多様体M上のほぼ複素構造の存在は、接バンドルの構造群をGL(2 n , R )からGL( n , C )に縮小することと同等である。したがって、存在の問題は純粋に代数的な位相問題であり、かなりよく理解されている。

任意の整数 n に対して、平坦空間R ^{2 n は}ほぼ複素構造を許容します。このようなほぼ複素構造の例は (1 ≤ i , j ≤ 2 n ) です。iが奇数の場合、iが偶数の場合です。 ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$

ほぼ複素構造を許容する球面はS ²とS ⁶のみである(Borel & Serre (1953))。特に、S ^{4にはほぼ複素構造を与えることはできない (Ehresmann and Hopf)。} S ²の場合、ほぼ複素構造はリーマン球面上の正直な複素構造から得られる。6 次元球面S ^{6 は、単位ノルム}虚数八元数の集合として考えた場合、八元数の乗法からほぼ複素構造を継承する。これが複素構造を持つかどうかという問題は、ハインツ・ホップにちなんでホップ問題として知られている。^[2]

ベクトル空間V上の複素構造により、V ^CをV ⁺とV ⁻ (それぞれ+ iと − iに対応するJの固有空間)に分解できるのと同様に、 M上の概複素構造により、複素化接束TM ^C (各点における複素化接空間のベクトル束) をTM ⁺とTM ^{−に分解できます。} TM ⁺の切断は(1, 0) 型のベクトル場と呼ばれ、 TM ⁻の切断は(0, 1) 型のベクトル場と呼ばれます。 したがって、J は、複素化接束の (1, 0) ベクトル場に対するiの乗算と、(0, 1) ベクトル場に対する − iの乗算に対応します。

余接バンドルの外冪から微分形式を構築するのと同様に、複素余接バンドルの外冪を構築することができます（これは複素接バンドルの双対空間のバンドルに標準同型です）。ほぼ複素構造は、 r形式 の各空間の分解を誘導します。

${\displaystyle \Omega^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus_{p+q=r}\Omega^{(p,q)}(M).\,}$

言い換えれば、各Ω ^r ( M ) ^{C は}、 r  =  p  +  qとして、 Ω ^{( p ,  q )} ( M )の和に分解できます。

あらゆる直和と同様に、 Ω ^r ( M ) ^CからΩ ^{( p , q )}への標準射影 π _{p , q}が存在する。また、 Ω ^r ( M ) ^Cを Ω ^{r +1} ( M ) ^Cに写す外微分d も存在する。したがって、ほぼ複素構造を使用して、外微分の作用を特定の型の形式に洗練することができる。

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial}}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

したがって、は型の正則部分を 1 だけ増やす写像（型 ( p、  q ) の形を型 ( p +1、q )の形にする）であり、は型の反正則部分を 1 だけ増やす写像です。これらの演算子はドルボー演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\overline {\partial}}}$

すべての射影の和は恒等写像になるはずなので、外微分は次のように書けることに注意する。

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

あらゆる複素多様体はそれ自体がほぼ複素多様体である。局所正則座標では、写像を定義することができる。 ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

（反時計回りにπ/2回転するのと同じ）または

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

この写像がほぼ複素構造を定義していることは簡単に確認できます。したがって、多様体上の任意の複素構造はほぼ複素構造を生み出し、これは複素構造によって「誘導される」と言われ、複素構造はほぼ複素構造と「互換性がある」と言われます。

逆の質問、すなわち、概複素構造が複素構造の存在を意味するかどうかは、はるかに自明ではなく、一般には真実ではありません。任意の概複素多様体上では、概複素構造が任意の点pで上記の標準形をとる座標を常に見つけることができます。しかし、一般に、 J がpの近傍全体で標準形をとるような座標を見つけることは不可能です。そのような座標は、存在する場合、「 J の局所正則座標」と呼ばれます。M があらゆる点の周囲にJの局所正則座標を許容する場合、これらは M の正則アトラスを形成するためにパッチされ、Mに複素構造を与え、さらにJ を誘導します。このとき、 Jは「積分可能」であると言われます。 Jが複素構造によって誘導される場合、それは唯一の複素構造によって誘導されます。

Mの各接空間上の任意の線型写像Aが与えられる。すなわち、Aは階数 (1, 1) のテンソル体である。すると、ニージェンフイステンソルは階数 (1, 2) のテンソル体であり、次のように与えられる。

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

または、 A=Jのようなほぼ複素構造の通常のケースでは、 ${\displaystyle J^{2}=-Id}$

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

右側の個々の式は滑らかなベクトル場XとYの選択に依存しますが、左側は実際にはXとYの点ごとの値のみに依存します。これがN _Aがテンソルである理由です。これは成分式からも明らかです。

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

ベクトル場のリー括弧を一般化するフレーリッヒャー・ニージェンフイス括弧では、ニージェンフイステンソルN _{A は}[ A ,  A ]の半分になります。

ニューランダー・ニーレンバーグ定理は、ほぼ複素構造Jが積分可能であるのは、N _J  = 0 の場合のみであると述べています。上で説明したように、適合する複素構造は一意です。積分可能なほぼ複素構造の存在は複素構造の存在と同等であるため、これが複素構造の定義と見なされることがあります。

ニージェンハウステンソルの消失と同等の基準が他にもいくつかあり、それらはほぼ複雑な構造の積分可能性をチェックする方法を提供します (実際、これらの基準はすべて文献に記載されています)。

• 任意の2つの(1, 0)ベクトル場のリー括弧は、再び(1, 0)型である。
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial}}^{2}=0.}$

これらの条件はいずれも、固有の互換性のある複雑な構造が存在することを意味します。

ほぼ複素構造の存在は位相的な問題であり、上で述べたように、比較的簡単に答えることができます。一方、積分可能なほぼ複素構造の存在は、はるかに難しい解析的な問題です。たとえば、S ^{6 が}積分可能なほぼ複素構造を許容するかどうかは、最終的に検証されていない主張の長い歴史にもかかわらず、まだわかっていません。滑らかさの問題は重要です。実解析的な Jの場合、ニューランダー-ニーレンバーグの定理はフロベニウスの定理から従います。 C ^∞ (より滑らかでない) Jの場合、解析が必要です (正則性仮説が弱まるにつれて、より困難な手法で)。

M がシンプレクティック形式 ω、リーマン計量 g、およびほぼ複素構造Jを備えていると仮定します。ωとg は非退化なので、それぞれバンドル同型TM → T*Mを誘導します。ここで、 φ _ωと表記される最初の写像は、内積 φ _ω ( u ) =  i _u ω  =  ω ( u 、 •)によって与えられ、 φ _gと表記されるもう 1 つは、gに対する類似の演算によって与えられます。これを理解すると、3 つの構造 ( g、ω、J )は、各構造が次のように他の 2 つによって指定できる場合に、互換性のある 3 つ組を形成します。

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )である。
• J ( u ) = ( φ _g ) ⁻¹ ( φ _ω ( u ))。

これらの各方程式において、右側の 2 つの構造は、対応する構成によって指定されたタイプの構造が得られる場合に、互換性があると呼ばれます。たとえば、ωとJ は、 ω (•, J •) がリーマン計量である場合にのみ互換性があります。セクションがωと互換性のある概複素構造であるM上のバンドルには、収縮可能なファイバーがあります。つまり、接線ファイバー上の複素構造は、シンプレクティック形式への制限と互換性があります。

シンプレクティック形式ωの基本特性を用いると、適合するほぼ複素構造Jがリーマン計量ω ( u , Jv ) のほぼケーラー構造であることを示すことができる。また、Jが積分可能であれば、 ( M , ω , J ) はケーラー多様体である。

これらの三つ組は、ユニタリ群の 3 個中 2 個の性質に関連しています。

ナイジェル・ヒッチンは、多様体M上の一般化されたほぼ複素構造の概念を導入し、これは彼の学生であるマルコ・グアルティエリとジル・カヴァルカンティの博士論文で詳しく説明されました。通常のほぼ複素構造は、複素化された接線バンドルTMの各ファイバーの半次元部分空間の選択です。一般化されたほぼ複素構造は、複素化された接線バンドルと余接バンドルの直和の各ファイバーの半次元等方性部分空間の選択です。どちらの場合も、部分バンドルとその複素共役の直和が元のバンドルを生成することが要求されます。

半次元部分空間がリー括弧の下で閉じている場合、概複素構造は複素構造に統合されます。部分空間がクーラン括弧の下で閉じている場合、一般化された概複素構造は一般化された複素構造に統合されます。さらに、この半次元空間がどこにも消えない純粋スピノルの消滅子である場合、M は一般化されたカラビ・ヤウ多様体です。

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• ポアソン多様体 – 微分幾何学における数学的構造
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• シンプレクティック多様体 – 微分幾何学における多様体の種類

• ニューランダー、オーガスト、ニーレンバーグ、ルイス(1957) 。「ほぼ複素多様体における複素解析座標」。 数学年報。第 2 シリーズ。65 ( 3): 391–404。doi :10.2307/1970051。ISSN 0003-486X。JSTOR 1970051。MR  0088770  。
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