放物面

幾何学において、放物面とは、対称軸をちょうど1つ持ち、対称中心を持たない二次曲面のことである。「放物面」という用語は、同様の対称性を持つ円錐曲線を指す「放物線」に由来する。

放物面の対称軸に平行な平面によって作られる平面断面はすべて放物線です。放物面は、他のすべての平面断面が双曲線であるか、または（接平面による断面の場合は）2本の交差する直線である場合に双曲型放物面と呼ばれます。放物面は、他のすべての空でない平面断面が楕円であるか、または（接平面による断面の場合は）1点である場合に楕円型放物面と呼ばれます。放物面は、楕円型または双曲型のいずれかです。

同様に、放物面は、円柱ではない二次曲面であり、その陰関数方程式の2次項が複素数に関して2つの異なる線形因子に因数分解できるものと定義できる。因数が実数であれば放物面は双曲放物面であり、因数が複素共役であれば放物面は楕円放物面である。

楕円放物面は楕円形のカップのような形をしており、軸が垂直なときに最大値または最小値をとります。3つの軸x、y、zを持つ適切な座標系では、方程式^{[ 1 ]で表すことができます。}$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$ ここで、aとbはそれぞれxz平面とyz平面における曲率のレベルを決定する定数である。この位置では、楕円放物面は上向きに開く。

双曲放物面（双曲面と混同しないように）は、鞍のような形をした二重線織面です。適切な座標系では、双曲放物面は次の式で表すことができます^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$ この位置では、双曲放物面はx軸に沿って下向きに開き、y軸に沿って上向きに開きます（つまり、x =0平面上の放物線は上向きに開き、 y =0平面上の放物線は下向きに開きます）。

放物面（楕円放物面または双曲放物面）はすべて平行移動面である。なぜなら、それは別の放物線によって方向付けられる移動する放物線によって生成できるからである。

楕円放物面 の束$${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ そして双曲放物面の束 $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ 同じ表面に近づく $${\displaystyle z=x^{2}}$$ のために${\displaystyle b\rightarrow \infty }$これは放物面円筒です（画像参照）。

楕円放物面は、単純に次のようにパラメータ化される。 $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ガウス曲率 を持つ$${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ 平均曲率$${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$ これらは両方とも常に正の値を取り、原点で最大値を取り、表面上の点が原点から遠ざかるにつれて小さくなり、その点が原点から無限遠に離れるにつれて漸近的にゼロに近づきます。

双曲放物面^{[ 2 ]}は、次のようにパラメータ化される。 $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ ガウス曲率を持つ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ 平均曲率 $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

双曲放物面 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$右手の法則に従って+ z方向にπ / 4 の角度だけ回転させると、次の表面が得られます 。$${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ そして、a = bの場合、これは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ 最後に、a = √2とすると、双曲放物面は $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ 表面と一致する $${\displaystyle z=xy}$$これは、掛け算表の幾何学的表現（いわば 三次元ノモグラフ）と考えることができる。

2 つの放物面R ² → R関数 $${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ そして $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$これらは調和共役 であり、これらを合わせると解析関数となる。$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$ これは、R → R放物線関数f ( x ) = ⁠ x ² / 2 ⁠の解析接続です。

対称放物面皿の寸法は次の式で関係付けられる。 $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$ ここで、Fは焦点距離、Dは皿の深さ（対称軸に沿って頂点から縁の平面まで測定）、Rは縁の半径です。これらはすべて同じ長さの単位でなければなりません。これら3つの長さのうち2つが分かっている場合、この式を使用して3つ目を計算できます。

皿の表面に沿って測定した直径を求めるには、より複雑な計算が必要です。これは「線形直径」と呼ばれることもあり、皿を作るために切断および曲げるのに適したサイズの平らな円形の材料（通常は金属）の直径に等しくなります。計算には、P = 2 F（または同等の式：P = ⁠ R ² / 2 D ⁠）とQ = √ P ² + R ²という2つの中間結果が役立ちます。ここで、 F、D、およびRは上記のように定義されます。表面に沿って測定した皿の直径は、次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$ ここで、ln x はxの自然対数、つまり底がeの対数を意味します。

皿の容積、つまり縁が水平で頂点が底にある場合に保持できる液体の量（例えば放物面状の中華鍋の容量）は、次式で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$ここで、 記号は上記のように定義されています。これは、円柱( π R 2 ^D )、半球( 2π / 3 ⁠ R ² D、ただしD = R )、円錐( π / 3 ⁠ R ² D ) の体積の公式と比較できます。π R ²は、反射鏡の開口面積、つまり縁で囲まれた面積であり、反射鏡が捕捉できる太陽光の量に比例します。放物面鏡の表面積は、回転面の面積公式を使用して求めることができ、次 のようになります。$${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

• 楕円体– 変形した球のような形をした二次曲面 
• 双曲面– 無限に広がる二次曲面 
• パラボラ型スピーカー– コヒーレントな平面波を生成する放物線状のスピーカー 
• 放物面反射鏡– 放物面の形状をした反射鏡 

• ウィキメディア・コモンズにある放物面に関連するメディア