アフィン微分幾何学

アフィン微分幾何学は、体積保存アフィン変換の不変量を研究する微分幾何学の一種です。アフィン微分幾何学という名前は、クラインのエルランゲン プログラムに由来しています。アフィン微分幾何学とリーマン微分幾何学の基本的な違いは、アフィン微分幾何学では計量ではなく体積形式を備えた多様体を研究することです。

ここでは最も単純な場合、つまり余次元が 1の多様体について考えます。M ⊂ R ^{n +1}をn次元多様体とし、ξ をMを横切るR ^{n +1}上のベクトル場で、すべてのp ∈ Mに対してT _p R ^{n +1} = T _p M ⊕ Span(ξ)が成立するとします。ここで、⊕ は直和、 Span は線形スパンを表します。

滑らかな多様体Nについて、 Ψ( N )をN上の滑らかなベクトル場の加群とします。D  : Ψ( R ^{n +1} )×Ψ( R ^{n +1} ) → Ψ( R ^{n +1} )をR ^{n +1}上の標準共変微分とし、D ( X , Y ) = D _X Yとします。D _X Yは、 Mに接する成分と、 ξ に平行な横方向成分に 分解できます。これにより、ガウスの方程式: D _X Y = ∇ _X Y + h ( X , Y )ξ が得られます。ここで、 ∇ : Ψ( M )×Ψ( M ) → Ψ( M )はM上の誘導接続であり、h  : Ψ( M )×Ψ( M ) → Rは双線型形式です。 ∇ とh は横方向ベクトル場 ξ の選択に依存することに注意してください。ここでは、 hが非退化である超曲面のみを考察する。これは超曲面Mの特性であり、横ベクトル場 ξ の選択には依存しない。^[1] hが非退化であれば、 M は非退化であると言える。平面上の曲線の場合、非退化曲線とは変曲点のない曲線である。3 次元空間の曲面の場合、非退化曲面とは放物点のない曲面である。

ξ の何らかの接線方向、たとえばXでの導関数を考えることもできます。この量D _X ξ は、 Mに接する成分と、 ξ に平行な横方向の成分に分解できます。これにより、 Weingarten方程式が得られます: D _X ξ = − SX + τ( X )ξ。タイプ (1,1)テンソル S  : Ψ( M ) → Ψ( M )はアフィン形状演算子と呼ばれ、微分 1 形式 τ : Ψ( M ) → Rは横方向接続形式と呼ばれます。この場合も、Sと τ はどちらも横方向ベクトル場 ξ の選択に依存します。

Ω : Ψ( R ^{n +1} ) ^{n +1} → RをR ^{n +1}上で定義された体積形式とします。ω : Ψ( M ) ⁿ → Rで与えられるM上の体積形式を誘導できます。これはω( X ₁ ,..., X _n ) := Ω( X ₁ ,..., X _n ,ξ)で与えられます。これは自然な定義です。ユークリッド微分幾何学では、ξ はユークリッド単位法線であり、 X ₁ ,..., X _nが張る標準ユークリッド体積は常に ω( X ₁ ,..., X _n )に等しくなります。ω は横方向ベクトル場 ξ の選択に依存することに注意してください。

接ベクトルX ₁ ,..., X _{nについて、} H  := ( h _i,j )をh _i,j  := h ( X _i , X _j )で与えられるn × n 行列とします。M上の 2 番目の体積形式を ν : Ψ( M ) n → R で定義します。ここでν ⁽ X 1 , ... , X n ₎ : = _| det(H)| ^{1 ⁄ 2}です。これも自然な定義です。M = R n で h がユークリッド スカラー積の場合、 ν ( ^X 1 , ... , X n ₎は常に_ベクトルX 1 ,..., X n が張る標準ユークリッド体積です。h_は横方向_ベクトル場ξ の選択に依存するため、ν もそれに依存します。

我々は2つの自然な条件を課す。1つ目は、誘導接続∇と誘導体積形式ωが両立すること、すなわち∇ω≡0であることだ。これは、すべてのX∈Ψ(M)に対して∇Xω=0であることを意味する。言い換えれば、ベクトルX1 、_...、Xnを_接続∇に関して_M内の何らかの曲線に沿って平行移動した場合、体積形式ωに関してX1、...、Xnが張る体積は変化しない_。直接計算[ 1 ]_は^、∇Xω =τ( X )ωであり、したがってすべてのX∈Ψ(M)に対して_∇Xω = 0であるのは、τ≡0の場合、すなわちすべてのX∈Ψ ( M )に対して_DXξ∈Ψ ( M )の場合に限ることを示す。これは、 ξ を接線方向XでDに関して微分すると、常にMへの接線ベクトル (ゼロの場合もある) が得られることを意味します。2 番目の条件は、2 つの体積形式 ω と ν が一致すること、つまりω ≡ ν であることです。

^[1]によれば、符号を除けば、2 つの条件∇ω ≡ 0およびω ≡ νが両方とも満たされる横ベクトル場 ξ の唯一の選択が存在することが示されています。これら 2 つの特殊な横ベクトル場は、アフィン正規ベクトル場、またはBlaschke正規場と呼ばれることもあります。 ^[2]定義が体積形式に依存することから、アフィン正規ベクトル場は体積を保存するアフィン変換に対して不変であることがわかります。これらの変換はSL( n +1, R ) ⋉ R ^{n +1}で与えられます。ここで SL( n +1, R ) は、実数要素と行列式 1 を持つ( n +1) × ( n +1)行列の特殊線型群を表し、⋉ は半直積を表します。SL ( n +1, R ) ⋉ R ^{n +1}はリー群を形成します。

点p ∈ Mにおけるアフィン法線は、 pを通り ξ に平行な線です。

平面上の曲線に対するアフィン法線ベクトル場は、幾何学的にうまく解釈できる。^[2] I ⊂ Rを開区間とし、γ : I → R ²を平面曲線の滑らかなパラメータ化とする。γ( I ) は非退化曲線（Nomizu and Sasaki ^[1]の意味で）、すなわち変曲点がないと仮定する。平面曲線上の点p = γ( t ₀ )を考える。γ( I ) には変曲点がないので、γ( t ₀ ) は変曲点ではなく、したがって曲線は局所的に凸となる、^{[3]すなわち、十分に小さい ε に対して、} t ₀ − ε < t < t ₀ + εとなるすべての点 γ( t ) は、γ( t ₀ ) におけるγ( I )の接線と同じ側に位置する。

γ( t _{0 ) における γ(} I )の接線を考え、曲線P  := {γ(t) ∈ R ²  : t ₀ − ε < t < t ₀ + ε}を含む接線の側にある近くの平行線を考えます。接線に十分近い平行線は、P とちょうど 2 点で交差します。各平行線上で、これら 2 つの交点を結ぶ線分の中点をマークします。各平行線について中点が得られるため、中点の軌跡はpから始まる曲線を描きます。p に近づくにつれて中点の軌跡に極限的に接する線は、まさにアフィン法線、つまり γ( t _{0 ) における γ(} I )へのアフィン法線ベクトルを含む線です。平行性と中点はアフィン変換に対して不変であるため、これはアフィン不変の構成であることに注意してください。

パラメータ化γ( t ) = ( t + 2 t ² , t ² )によって与えられる放物線を考えます。これは方程式x ² + 4 y ² − 4 xy − y = 0 を持ちます。γ(0) での接線の方程式はy = 0であり、したがって平行線は十分に小さいk ≥ 0に対してy = kで与えられます。直線y = k はx = 2 k ± √ kで曲線と交差します。中点の軌跡は{(2 k , k ) : k ≥ 0}で与えられます。これらは線分を形成するため、γ(0) に向かうときのこの線分の極限接線は、この線分を含む線、つまり線x = 2 yになります。その場合、γ(0) での曲線のアフィン法線の方程式はx = 2 yです。実際、直接計算すると、γ(0)におけるアフィン法線ベクトル、すなわちξ(0)は、ξ(0) = 2 ^{1 ⁄ 3} ·(2,1)で与えられることがわかります。^[4]図では、赤い曲線が曲線γ、黒い線が接線といくつかの近くの接線、黒い点が表示された線の中点、青い線が中点の軌跡です。

3 次元空間の滑らかな表面の楕円点におけるアフィン法線を見つけるための類似の方法もあります。今回は、接平面に平行な平面を取ります。接平面に十分近い平面の場合、これらの平面は表面と交差して凸平面曲線を形成します。各凸平面曲線には質量の中心があります。質量の中心の軌跡は、3 次元空間で曲線を描きます。元の表面点に向かうにつれてこの軌跡に接する極限の線がアフィン法線、つまりアフィン法線ベクトルを含む線です。

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