グラスマン

数学において、グラスマン 多様体（グラスマンちょうたい、ヘルマン・グラスマンにちなんで名付けられた）は、微分可能構造を持つ体上の-次元ベクトル空間の-次元のすべての線型部分空間の集合をパラメータ化する微分可能多様体である。たとえば、グラスマン多様体はにおける原点を通る直線の空間であるため、より 1 次元低い射影空間と同じである。^{[1] [2]}が実数または複素数ベクトル空間の とき、グラスマン多様体は次元のコンパクトで滑らかな多様体である。^[3]一般に、グラスマン多様体は特異でない射影代数多様体 の構造を持つ。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{1}(V)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k(nk)}$

非自明なグラスマン多様体に関する最古の研究は、ユリウス・プリュッカーによるもので、彼は と同等の実 3 次元射影空間における射影直線の集合を研究し、現在ではプリュッカー座標と呼ばれるものによってそれらをパラメータ化しました。(以下の § プリュッカー座標とプリュッカー関係を参照)。ヘルマン・グラスマンは後にこの概念を一般化しました。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})}$

グラスマン多様体の表記は著者によって様々ですが、次元ベクトル空間の 次元部分空間のグラスマン多様体を表すために、、などがあります。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$

ベクトル空間の部分空間の集合に位相構造を与えることで、部分空間の連続的な選択や部分空間の開いた集合と閉じた集合について話すことができます。さらに微分可能多様体という構造を与えることで 、部分空間の滑らかな選択について話すことができます。

自然な例として、ユークリッド空間に埋め込まれた滑らかな多様体の接束が挙げられます。に埋め込まれた次元の多様体があるとします。各点 において、への接空間はの接空間の部分空間と見なすことができ、これもまた です。をその接空間に割り当てる写像は、 Mからへの写像を定義します。(これを行うには、各 における接空間をではなく原点を通るように変換する必要があり、これにより次元のベクトル部分空間が定義されます。この考え方は、3 次元空間の表面の ガウス写像と非常によく似ています。)${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$

これは、多少の努力で多様体 上のすべてのベクトル束に拡張することができ、すべてのベクトル束は から適切に一般化されたグラスマン多様体 への連続写像を生成しますが、これを示すにはさまざまな埋め込み定理を証明する必要があります。次に、ベクトル束の特性が対応する写像の特性と関連していることがわかります。特に、グラスマン多様体 へのホモトピック写像を誘導するベクトル束は同型 であることがわかります。ここで、ホモトピーの定義は連続性の概念、つまりトポロジーに依存しています。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

k = 1の場合、グラスマン多様体Gr (1, n )はn空間の原点を通る直線の空間なので、 n − 1次元の射影空間 と同じになります。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$

k = 2の場合、グラスマン多様体は原点を含むすべての 2 次元平面の空間です。ユークリッド 3 次元空間では、原点を含む平面は、その平面に垂直な原点を通る唯一の直線によって完全に特徴付けられます(逆も同様)。したがって、空間Gr (2, 3)、Gr (1, 3)、およびP ² (射影平面) はすべて互いに同一視できます。

射影空間ではない最も単純なグラスマン多様体はGr (2,4)である。

微分可能多様体の構造を与えるには、の基底を選択します。これは、と、列ベクトルとして見た標準基底 で表された同一視に相当します。次に、の要素として見た任意の-次元部分空間に対して、線形独立な列ベクトルで構成される基底を選択できます。要素の同次座標は、 - 番目の列ベクトルが 、である最大ランクの長方形行列の要素で構成されます。基底の選択は任意であるため、2 つのそのような最大ランクの長方形行列および が同じ要素を表すのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{k})}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle i}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\tilde {W}}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle {\チルダ {W}}=Wg}$

の要素を持つ可逆行列の一般線型群の何らかの要素に対して。これは、ランク の行列間の同値関係を定義し、その同値類は と表されます。 ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k}$${\displaystyle [W]}$

ここで、座標アトラスを定義します。任意の同次座標行列に対して、基本的な列演算(一連の要素 を掛け合わせること) を適用して、その簡約された列階段形式を得ることができます。の最初の行が線形独立である場合、結果は次の形式になります。 ${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g\in GL(k,K)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}}$

そして、の要素を持つアフィン座標行列 は を決定します。一般に、最初の行は独立である必要はありませんが、 は最大ランク を持つため、 の- 行目を行とする部分行列が非特異 となるような整数の順序付き集合が存在します。列演算を適用してこの部分行列を単位行列に縮小すると、残りの要素によって が一意に決定されます。したがって、次の定義が得られます。 ${\displaystyle (n-k)\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a_{ij})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w}$

整数の各順序付き集合 について、 を、同次座標行列 の任意の選択に対して、の- 行目がの- 行目である部分行列が非特異となるような要素の集合とします。 上のアフィン座標関数は、の補完行列の行と同じ行を持つ行列の要素として定義され、同じ順序で記述されます。要素を表す同次座標行列の選択は 、座標近傍 上のw を表すアフィン座標行列の値には影響しません。 さらに、座標行列は任意の値を取ることができ、 から- 値行列の空間への微分同相写像を定義します。 を で表します。 ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle (n-k)\times k}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [W]}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (n-k)\times k}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}}$

同次座標行列は、単位行列を行の部分行列として持ち、連続する相補行にアフィン座標行列を持つ。このような任意の2つの座標近傍の重なりにおいて、アフィン座標行列の値とは次の遷移関係によって関連付けられる。 ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

ここで、との両方は可逆である。これは次のように書くこともできる。 ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},}$

ここで、 は行目が の 行目である 可逆行列です。したがって、遷移関数は の行列要素において有理数であり、 を微分可能多様体として、また代数多様体として 表す地図帳を与えます。${\displaystyle {\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle j_{l}}$${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle \{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

実数または複素グラスマン多様体を多様体として定義する別の方法は、それを直交射影演算子の集合として見ることである（ミルナー＆スタシェフ（1974）問題5-C）。このためには、が実数か複素数かに応じて、上の正定値実数またはエルミート内積 を選択する。次元部分空間は、直交直和に 分割することによって像がとなる一意の直交射影演算子を決定する。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w}$${\displaystyle P_{w}:V\rightarrow V}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=w\oplus w^{\perp }}$

とその直交補集合と定義 ${\displaystyle w}$${\displaystyle w^{\perp }}$

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}}$

逆に、階数の射影演算子はすべて、その像として部分空間を定義します。直交射影演算子の階数はそのトレースに等しいため、グラスマン多様体を階数直交射影演算子の集合と同一視することができます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{P}:=\mathrm {Im} (P)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.}$

特に、またはを取ると、グラスマン多様体 、 をそれぞれ実数または複素行列 、 の空間に埋め込むための完全に明示的な方程式が得られ ます。 ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{n\times n}}$

これはグラスマン多様体を球面の閉じた部分集合として定義するので、グラスマン多様体がコンパクトなハウスドルフ空間であることを示す一つの方法である。この構成はグラスマン多様体を距離空間に変換し、距離は ${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,}$

次元部分空間の任意のペアに対して、‖ ⋅ ‖は演算子ノルムを表します。異なる内積は 上の同等のノルム、したがって同等のメトリックを与えるため、使用される正確な内積は重要ではありません。 ${\displaystyle w,w'\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

実数または複素グラスマン多様体の場合、次の方法は上記の構成を行列で表現する同等の方法である。

実行行列の空間と、次の 3 つの条件を満たす 行列のサブセットを表します。${\displaystyle M(n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {R} )}$

• ${\displaystyle P}$は射影演算子です: 。${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$対称です: 。${\displaystyle P^{T}=P}$
• ${\displaystyle P}$痕跡があります。${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=k}$

と の-次元部分空間の グラスマン多様体の間には全単射対応があり、これは を の-次元部分空間にその列で張られたを写し、逆に任意の要素を射影行列に 写すことによって与えられる。${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle P\in P(k,n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},}$

ここで、 はの任意の正規直交基底であり、実数成分の列ベクトルとして表示されます。 ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle w\subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

同様の構成が複素グラスマン多様体にも適用され、複素行列 の部分集合と全単射に同一視される。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$${\displaystyle P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle P}$は射影演算子です: 。${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$は自己随伴（エルミート）です： 。${\displaystyle P^{\dagger }=P}$
• ${\displaystyle P}$痕跡があり、${\displaystyle {\rm {{tr}(P)=k}}}$

ここで自己随伴性は、標準基底ベクトルが正規直交であるエルミート内積に関するものである。正規直交（ユニタリ）基底ベクトルによって張られる 複素次元部分空間への直交射影行列の式は、 ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle P_{w}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset \mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.}$

グラスマン多様体に幾何学的構造を与える最も簡単な方法は、それを同次空間として表現することです。まず、一般線型群はの -次元部分空間に推移的に作用することを思い出してください。したがって、次元 の部分空間を選択した場合、任意の要素は 次のように表現できます。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w_{0}\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle w=g(w_{0})}$

ある群元 に対して、 はの安定子の元による右乗までしか決定されない。 ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{h\in H\}}$${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)}$

-アクションの下にあります。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

したがって、商空間と 同一視できる。${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H}$

の左剰余類 。${\displaystyle H}$

基礎体 が または で、 がリー群とみなされる場合、この構成により、グラスマン多様体は商構造の下で滑らかな多様体になります。より一般的には、基底体上では、群 は代数群であり、この構成はグラスマン多様体が非特異代数多様体であることを示しています。グラスマン多様体が代数多様体として完全であることは、プリュッカー埋め込みの存在からわかります。特に、は の放物型部分群です。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

または では、この構成でより小さな群を使用することも可能になります。 上でこれを行うには、にユークリッド内積を固定します。実直交群は、次元部分空間の集合に推移的に作用し、空間の安定化因子は ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V,q)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{0}\subset V}$

${\displaystyle O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})}$、

ここで はにおけるの直交補集合である。これは同次空間として同定される。 ${\displaystyle w_{0}^{\perp }}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)}$。

と（最初の要素）を取ると同型性が得られる。 ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).}$

C上で、エルミート内積を選ぶと、ユニタリ群は推移的に作用し、同様に ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U(V,h)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),}$

または、およびについては、 ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).}$

特に、これはグラスマン多様体がコンパクトであり、（実数または複素数の）次元がk ( n − k )であることを示しています。

代数幾何学の領域では、グラスマン多様体は表現可能な関数として表現することによってスキームとして構築することができる。^[4]

をスキーム上の準 コヒーレント層とする。正の整数 を固定する。すると、各-スキームに対して、グラスマン関数は商加群の集合を関連付ける。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

上の階数が局所的に自由である。この集合を と表記する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})}$

この関手は、分離した-スキームによって表現できます。後者は、が有限生成である場合に射影的です。が体 のスペクトルである場合、層はベクトル空間によって与えられ、の双対空間の通常のグラスマン多様体、つまり が回復されます。構築により、グラスマンスキームは基底変更と互換性があります。任意の-スキームに対して、標準同型が存在します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})}$

特に、の任意の点に対して、標準射は ファイバーから留数体上の通常のグラスマン多様体への同型を誘導します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))}$ ${\displaystyle K(s)}$

グラスマンスキームは関手を表すので、普遍オブジェクト が付属します。これは のオブジェクトであり、したがって の商モジュールであり 、上でランクから局所的に自由です。商準同型は、射影バンドルから閉じた浸漬を誘導します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).}$

Sスキームの任意の射に対して:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),}$

この閉鎖的な浸水は閉鎖的な浸水を誘発する

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

逆に、そのような閉じた浸漬は、から の- 加群の、階数 の局所自由加群への射影準同型から生じる。^[5]したがって、 の元は、の階数 の射影部分束とまったく同じである。${\displaystyle O_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

この同一視によれば、 が場のスペクトルであり、がベクトル空間 によって与えられるとき、有理点の集合はにおける次元の射影線型部分空間に対応し、における の像は${\displaystyle T=S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)}$

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

セットは

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.}$

Plücker埋め込み^[6]は、グラスマン多様体をの番目の外冪の射影化に自然に埋め込むものである。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$${\displaystyle V}$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

が- 次元ベクトル空間の - 次元部分空間であるとします。 を定義するには、の基底を選択し、 をこれらの基底元のウェッジ積の射影化とします。 ここで は射影同値類を表します。 ${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota (w)}$$${\displaystyle \iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],}$$${\displaystyle [\,\cdot \,]}$

の異なる基底は異なるウェッジ積を与えるが、2つの違いは非ゼロのスカラー倍数（基底行列の変化の行列式）のみである。右辺は射影空間で値を取るので、は明確に定義されている。これが埋め込みであることを確認するには、すべてのベクトルの集合のスパンとしてから回復できることに注意する。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle v\wedge \iota (w)=0}$。

グラスマン多様体のプルッカー埋め込みは、プルッカー関係と呼ばれる一連の単純な二次関係を満たします。これらは、グラスマン多様体が の 番目の外冪の射影化の非特異射影代数部分多様体として埋め込まれることを示しており、グラスマン多様体を構成する別の方法を与えています。プルッカー関係を述べるには、の基底を固定し、 を基底 を持つの -次元部分空間とします。を の選択された基底に関するの成分とし、 に対応する同次座標行列の転置を形成する -成分の列ベクトルとします 。${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle (w_{i1},\cdots ,w_{in})}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (W^{1},\dots ,W^{n})}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$

任意の正の整数の順序付けられた列について、を列 の行列の行列式とします。要素は、グラスマン多様体の要素のプルッカー座標(の基底に関して)と呼ばれます。これらは、の基底によって生成される外部冪空間の基底を基準とした、プルッカー写像によるの像の線形座標です。 の基底の変更により、プルッカー座標に非ゼロの定数 (基底変更行列の行列式) が乗算されるため、これらは射影同値性までしか定義されず、したがって の点を決定します。 ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle [W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]}$${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

および正の整数の任意の2 つの順序付きシーケンスとに対して、Plücker関係またはPlücker-Grassmann 関係として知られる次の同次二次方程式が有効であり、Plücker マップ埋め込みの下での の像を決定します。 ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,}$

ここで、は項を省略したシーケンスを表します。これらは矛盾がなく、非特異射影代数多様体を決定しますが、代数的に独立ではありません。これらは、 の完全に分解可能な要素の射影化であるというステートメントと同等です。 ${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$${\displaystyle j_{l}}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

、（射影空間ではない最も単純なグラスマン多様体）のとき、上記は単一の方程式に簡約される。プルッカー写像の下の像の同次座標を と表すと、この単一のプルッカー関係は ${\displaystyle \dim(V)=4}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)}$${\displaystyle (w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})}$

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

一般に、 Plücker 埋め込みの下で のグラスマン多様体の像を定義するには、さらに多くの方程式が必要になります。${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

すべての次元部分空間はの次元商空間を決定します。これにより、自然な短完全列が得られます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V/W}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.}$

これら3つの空間のそれぞれに双対をとり、双対線形変換を行うと、商が${\displaystyle (V/W)^{*}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle W^{*}}$

${\displaystyle 0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

有限次元ベクトル空間とその二重双対の自然同型性を用いると、再び双対を取ると元の短完全列が復元されることがわかる。その結果、の -次元部分空間と の-次元部分空間の間には一対一の対応がある。グラスマン多様体の観点から、これは標準同型性を与える。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (n-k)}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})}$

は、各部分空間にその消滅子を関連付けます。したがって、との同型を選択すると、 と の間の（非標準）同型が決まります。との同型は内積の選択と同等であるため、選択された内積に関して、このグラスマン多様体の同型は、任意の- 次元部分空間をその} -次元直交補空間に送ります。 ${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle W^{0}\subset V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n-k}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n-k)}$

グラスマン多様体の詳細な研究では、シューベルトセルと呼ばれるアフィン部分空間への分解を利用しており、これは数え上げ幾何学で初めて適用された。 のシューベルトセルは、次元の部分空間の指定された完全フラグによって定義される 。任意の整数分割に対して${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle \mathrm {dim} (V_{i})=i}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})}$

重量の

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

弱減少非負整数からなる

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

ヤング図が長方形の図形内に収まる場合、シューベルトセルは、部分空間との交差が次の次元を持つ 要素で構成される。${\displaystyle (n-k)^{k}}$${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.}$

これらはアフィン空間であり、その閉包（ザリスキ位相内）はシューベルト多様体として知られています。

この手法の例として、R ⁿのk次元部分空間のグラスマン多様体のオイラー特性 を決定する問題を考えてみましょう。次元部分空間を固定し、 をR ⁿのR を含むk次元部分空間と含まないk次元部分空間に分割することを考えます。前者は であり、後者は上の階数ベクトル束です。これにより、再帰式が得られます。 ${\displaystyle \chi _{k,n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})}$

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

これらの再帰関係を解くと次の式が得られます。が偶数でが奇数で、 ${\displaystyle \chi _{k,n}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}}$

さもないと。

複素グラスマン多様体の各点は、空間の -平面を定義します。k-平面の各点をグラスマン多様体でその平面を表す点にマッピングすると、射影空間のトートロジーバンドルを一般化するベクトルバンドルが得られます。同様に、これらの平面の -次元直交補集合は、直交ベクトルバンドルを生成します。グラスマン多様体の積分コホモロジーは、のチャーン類によって、環として生成されます。特に、積分コホモロジーのすべては、射影空間の場合と同様に偶数次です。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle (n-k)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

これらの生成子は、環を定義する関係の集合に従います。定義関係は、およびのチャーン類からなるより大きな生成子集合に対して簡単に表現できます。その場合、関係は、バンドルと直和が自明であることを単に示しています。 全チャーン類の関数性により、この関係は次のように記述できます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

量子コホモロジー環はエドワード・ウィッテンによって計算された。^[7] 生成子は古典コホモロジー環のものと同一であるが、上の関係は次のように変更される。

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}}$

対応する量子場理論において、単位による状態に対応するコホモロジーの次数を破るフェルミオンゼロモードを持つインスタントンの存在を反映している。 ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

が -次元ユークリッド空間であるとき、次のようにして上の一様測度を定義することができる。 を直交群上の単位ハール測度とし、 を固定する。すると、集合 に対して、 を定義する。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.}$

この尺度は群の作用に対して不変である 。つまり、 ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

すべての に対して が成り立ちます。 なので、 が成り立ちます 。 さらに、は計量空間位相に関するラドン測度であり、同じ半径 (この計量に関して) のすべての球が同じ測度であるという意味において一様です。 ${\displaystyle g\in O(n)}$${\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1}$${\displaystyle \gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1}$${\displaystyle \gamma _{k,n}}$

これは のすべての向き付けられた 次元部分空間からなる多様体です。これは の二重被覆であり、 と表記されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})}$

均質空間としては次のように表現できます。

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})=\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (k)\times \operatorname {SO} (n-k)).}$

次元空間上の実数または複素数の非退化対称双線型形式（すなわちスカラー積）が与えられたとき、全等方グラスマン多様体は、すべての 次元部分空間からなる部分多様体として定義され、${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$

${\displaystyle Q(u,v)=0,\,\forall \,u,v\in w.}$

実数または複素数のスカラー積に関する 最大等方グラスマン多様体は、カルタンのスピノル理論と密接に関係している。^[8] カルタン埋め込みの下では、それらの連結成分は、スピン表現の下で、射影化された極小スピノル軌道に同変微分同相である。これは、プルッカー写像埋め込みのイメージと同様に、多数の二次曲面の交差、 カルタン二次曲面として切り出される、いわゆる射影純粋スピノル多様体である。^{[8] [9] [10]}

グラスマン多様体の主な応用は、コンパクト多様体上の接続を持つバンドルの「普遍的な」埋め込み空間としてである。^{[11] [12]}

もう一つの重要な応用はシューベルト計算である。これはシューベルト多様体の交差理論を用いて、射影空間内の点、直線、平面などの与えられた集合と交差する点、直線、平面などの数を計算する数え上げ幾何学である。シューベルトセルのサブ多様体は、ベテ仮説法を用いて、ゴーダンモデルなどの量子可積分スピンシステムにおける可換演算子の完全な集合の同時固有ベクトルをパラメータ化するためにも使用できる。^[13]

さらなる応用は、カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式や関連するKP 階層など、偏微分方程式の古典的な完全積分可能なシステムの階層の解である。これらは、無限次元グラスマン多様体上のアーベル群フローの観点から表現できる。^{[14] [15] [16] [17] KP 方程式は、} KP タウ関数 の観点から広田双線型形式で表現され、プルッカー関係式と同等である。^{[18] [17]} 同様の構成は、無限次元最大等方グラスマン多様体上のアーベル群フローの観点から、BKP 可積分階層の解にも当てはまる。^{[15] [16] [19]}

有限次元正グラスマン多様体は、KPフローパラメータの実数値に対して特異でないKP方程式のソリトン解を表現するために使用できる。 ^{[20] [21] [22]}

最大限超対称な超ヤン・ミルズ理論における素粒子の散乱振幅は、平面極限において、アンプリチュードロンと呼ばれる正グラスマン構成体を介して計算することができる。^[23]

グラスマン多様体は、ビデオベースの顔認識や形状認識などのコンピュータビジョンタスクにも応用されており、 ^[24]グランドツアーと呼ばれるデータ視覚化技術にも使用されています。

• シューベルト計算
• 微分幾何学におけるグラスマン多様体の使用例については、ガウス写像を参照のこと。
• 射影幾何学では、Plücker埋め込みとPlücker座標を参照してください。
• 旗多様体はグラスマン多様体の一般化であり、その要素は幾何学的に見ると、指定された次元の部分空間の入れ子になったシーケンスです。
• シュティーフェル多様体はグラスマニアン上の正規直交フレームの束です。
• 部分空間の特別なクラスが与えられれば、等方性グラスマン多様体やラグランジアン グラスマン多様体など、これらの部分空間のグラスマン多様体を定義できます。
• 等方性グラスマニアン
• ラグランジアン グラスマン多様体
• グラスマン多様体はK理論における分類空間、特にU( n )の分類空間を提供する。スキームのホモトピー理論では、グラスマン多様体は代数K理論に対して同様の役割を果たす。^[25]
• アフィングラスマン多様体
• グラスマンバンドル
• グラスマングラフ

• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ(1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー (第2版)。ニューヨーク:ジョンワイリーアンドサンズ。p. 211。ISBN 0-471-05059-8. MR  1288523. Zbl  0836.14001.
• Hatcher, Allen (2003). ベクトルバンドルと K 理論(PDF) (2.0 版).セクション1.2
• ミルナー、ジョン W. ;スタシェフ、ジェームズ D. (1974)。特性クラス。数学研究年報。第 76 巻。プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08122-0。第5章から第7章を参照
• ハリス、ジョー（1992）。代数幾何学：初級コース。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-97716-3。
• ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群、対称空間、アカデミックプレス、ISBN 978-0-8218-2848-9
• Lee, John M. (2012).滑らかな多様体入門.数学の大学院テキスト. 第218巻（第2版）. ニューヨーク・ロンドン: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.
• マティラ、ペルティ（1995）。ユークリッド空間における集合と測度の幾何学。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-65595-1。
• Shafarevich, Igor R. (2013). 基礎代数幾何学 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4。