接続（ベクトル束）

数学、特に微分幾何学とゲージ理論において、ファイバー束上の接続は、束上の平行移動の概念を定義する手段であり、つまり、近くの点上のファイバーを「接続」または識別する方法である。最も一般的なケースはベクトル束上の線型接続であり、この場合、平行移動の概念は線型でなければならない。線型接続は、共変微分によって同等に指定される。共変微分は、束のセクションを基本多様体の接線方向に沿って微分し、平行セクションが微分ゼロを持つようにする演算子である。線型接続は、擬似リーマン多様体の接線バンドル上のレヴィ-チヴィタ接続を任意のベクトル束に一般化し、ベクトル場を微分する標準的な方法を提供する。非線型接続は、この概念を、ファイバーが必ずしも線型ではないバンドルに一般化する。

線形接続は、それを記述するための代数的枠組みを提示した Jean-Louis KoszulにちなんでKoszul 接続とも呼ばれます(Koszul 1950)。

この記事では、座標を重視しない一般的な数学表記法を使用してベクトル束上の接続を定義します。ただし、他の表記法も頻繁に使用されます。一般相対性理論では、ベクトル束の計算は通常、インデックス付きテンソルを使用して記述されます。ゲージ理論では、ベクトル空間ファイバーの自己準同型性が強調されます。メトリック接続に関する記事で説明されているように、異なる表記法は同等です(そこでのコメントはすべてのベクトル束に適用されます)。

M をユークリッド空間などの微分可能多様体とします。ベクトル値関数は、自明なベクトル束の切断として見ることができます。一般的な微分可能ベクトル束の切断を考えることができるので、 M上の関数を微分する方法の一般化として、切断を微分できるかどうかを尋ねるのは自然なことです。 ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$

モデルケースは、ユークリッド空間上の関数を微分することです。この設定では、方向の点における導関数は、標準の公式によって定義されます。 ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

あらゆる に対して、これは新しいベクトルを定義する。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

多様体 上のベクトル束の切断に渡るとき、この定義には2つの重要な問題があります。まず、多様体は線型構造を持たないため、 の項は上では意味をなさない。代わりに、となるような経路を取り、 を計算します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x+tv}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

しかし、これはまだ意味をなさない。なぜなら、 と は、それぞれ異なるベクトル空間の要素であり、つまり、これら 2 つの項の減算は自然に定義されないからである。 ${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle X(\gamma (0))}$${\displaystyle E_{\ガンマ (t)}}$${\displaystyle E_{x}.}$

この問題は、ベクトル束への接続という追加の構造を導入することで解決されます。接続を理解するには、少なくとも 3 つの観点があります。正確に定式化すると、3 つの観点はすべて同等になります。

1. (平行移動) 接続は、すべての微分可能パスにすべて の線形同型を割り当てるものと見なすことができます。この同型を使用して、ファイバーに移動してから差分を取ることができます。明示的には、これが にのみ依存し、を延長するパスには依存しないようにするには、への依存性に (定義で) 制限を課す必要があります。これは簡単に定式化できないため、この「平行移動」の概念は通常、接続を定義する他の方法の副産物として派生します。実際、次の「エーレスマン接続」の概念は、平行移動の無限小定式化に他なりません。${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$$${\displaystyle \nabla_{v}X=\lim_{t\to 0}{\frac{P_{t}^{\gamma}X(\gamma(t))-X(\gamma(0))}{t}}.}$$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle P_{t}^{\gamma}}$${\displaystyle \gamma .}$
2. (エーレスマン接続) この切断は、滑らかな多様体から滑らかな多様体への滑らかな写像として見ることができます。そのため、接空間の要素であるプッシュフォワードを検討することができます。接続のエーレスマンの定式化では、それぞれに、 の直和分解を2 つの線形部分空間に割り当てる方法を選択します。そのうちの 1 つは の自然な埋め込みです。この追加データを使用して、を に投影することによって がに値を持つことを定義します。ベクトル束の線形構造を尊重するために、ファイバー上でeが変化するにつれての直和分解がどのように移動するかについて追加の制限を課します。${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle dX(v),}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e\in E_{x},}$${\displaystyle T_{X(x)}E}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle \nabla _{v}X}$${\displaystyle dX(v)}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle T_{e}E}$
3. (共変微分)ユークリッドの文脈における標準微分は、特定の依存関係を満たし、最も基本的な依存関係は線形性です。共変微分は、積の法則の形式とともに、これらの特性を模倣する任意の操作として定義されます。${\displaystyle dX(v)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$

基底がゼロ次元でない限り、与えられた微分可能ベクトル束上には常に無限の数の接続が存在するため、セクションを微分する方法の対応する選択肢が常に存在します。コンテキストに応じて、たとえば特定の偏微分方程式を解くことによって決定される選択肢など、区別された選択肢がある場合があります。接束の場合、任意の擬リーマン計量（特に任意のリーマン計量）は、レヴィ-チヴィタ接続と呼ばれる標準的な接続を決定します。

を滑らかな多様体上の滑らかな実ベクトル束とします。の滑らかな切断空間を で表します。上の共変微分は、次のいずれかの構造と同値です。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle E\to M}$

1. 上のすべての滑らかな関数と上のすべての滑らかなセクションに対して積の法則が成り立つような線形写像${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$ $${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E.}$
2. 任意の滑らかなセクションsと任意のへの、 xとに滑らかに依存する-線型写像の割り当て。この写像は、任意の 2 つの滑らかなセクションと任意の実数と に対して、任意の滑らかな関数 に対して、によってに関連します。${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to E_{x}}$$${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$${\displaystyle s_{1},s_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla (fs)}$${\displaystyle \nabla s}$$${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

ベクトル空間と線型写像のベクトル空間の間の標準的な同一視を使用すること以外では、これら 2 つの定義は同一であり、使用される言語のみが異なります。 ${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes E_{x}}$${\displaystyle T_{x}M\to E_{x},}$

を で表すのが一般的で、はに暗黙的に含まれます。この表記法では、上記の定義の2番目のバージョンの積の法則は次のように書かれます。 ${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$${\displaystyle \nabla _{v}s,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v.}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

注意:複素ベクトル束の場合、上記の定義は依然として意味を持ちますが、通常は、出現するすべての箇所で「実」と「 」を「複素」と「 」に変更することによって修正されるものと解釈されます。これにより、複素ベクトル空間間の実線型写像がすべて複素線型であるとは限らないため、追加の制限が課せられます。複素ベクトル束は実ベクトル束と見なすこともできるため、この区別には多少の曖昧さがあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ベクトル束 が与えられると、それに構築できる多くの付随束があります。たとえば、双対ベクトル束、テンソル冪、対称および反対称テンソル冪、直和 などです。 への接続は、これらの付随束のいずれかへの接続を誘導します。付随束上の接続間の受け渡しの容易さは、主束接続の理論によってより簡潔に表現されますが、ここでは基本的な誘導接続のいくつかを示します。 ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$${\displaystyle E^{\oplus k}}$${\displaystyle E}$

上の接続が与えられたとき、上の誘導双対接続は次のように暗黙的に定義される。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

ここでは滑らかなベクトル場、は の切断、 は双対バンドル の切断、そしてベクトル空間とその双対（と の間の各ファイバー上で発生する）間の自然なペアリング、つまり です。この定義は基本的に、 のペアリングに対して自然積則が満たされるように が上の接続となることを強制していることに注意してください。 ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \xi ,s\rangle :=\xi (s)}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

2つのベクトル束上の接続が与えられたとき、テンソル積接続を次の式で 定義する。${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

ここで、 が得られます。これは、テンソル積接続の積則を強制するための自然な組み合わせ方法であることに再度注意してください。テンソル積 に適用された上記の構成を繰り返し適用することで、任意のおよびベクトル束に対する上のテンソル冪接続も得られます。 ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle E}$

直和接続は次のように定義される。

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

どこ。 ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

ベクトル束の対称冪と外冪はテンソル冪の部分空間として自然に見ることができるので、テンソル積接続の定義は、この設定にそのまま適用できます。実際、対称代数と外冪はテンソル代数の内部に直接の和として存在し、接続はこの自然な分割を尊重するため、これらの和に制限するだけで済みます。明示的には、対称積接続を次のように 定義します。${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\odot t+s\odot \nabla _{X}t}$

外部製品の 接続

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

すべての について。これらの製品を繰り返し適用すると、それぞれ および に対称的な誘導電力と外部電力接続が得られます。 ${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle S^{k}E}$${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

最後に、自己準同型のベクトル束上の誘導接続、すなわち自己準同型接続を定義することができる。これは、と上の双対接続のテンソル積接続にすぎない。およびの場合、合成も となるので、自己準同型接続に対して次の積規則が成り立つ。 ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

この式を逆にすると、自己準同型接続を、

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

任意の に対して、双対接続とテンソル積接続を最初に定義する必要がなくなります。 ${\displaystyle u,s,X}$

階数のベクトルバンドルと線型群への任意の表現が与えられると、関連するベクトルバンドル上に誘導接続が存在します。この理論は、のフレームバンドル上の主バンドル接続に渡して主バンドルの理論を使用することで、最も簡潔に表現されます。上記の各例は、この構成の特殊なケースと見なすことができます。つまり、双対バンドルは逆転置（または逆随伴）表現に、テンソル積はテンソル積表現に、直和は直和表現に対応します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$${\displaystyle E}$

をベクトル束とする。次数の値微分形式はテンソル積束の切断である。 ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

このような形式の空間は次のように表される。

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

ここで最後のテンソル積は、上の滑らかな関数の環上の加群のテンソル積を表します。 ${\displaystyle M}$

値0形式はバンドルの一部分です。つまり、 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

この表記では、上の接続は 線型写像である。 ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

接続は外微分をベクトル束値形式に一般化したものと考えることができる。実際、接続が与えられた場合、外共変微分に拡張する唯一の方法がある。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

この外共変微分は、次のライプニッツ規則によって定義されます。この規則は、形式の単純なテンソル上で指定され、線形に拡張されます。 ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

ここで、となるため、 はセクションであり、は の 1 形式部分とくさび形にすることで定義されるの値を持つ -形式を表します。値を持つ 0 形式の場合、これにより接続 に対する通常のライプニッツ規則が回復されることに注意してください。 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$${\displaystyle \deg \omega =r}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$${\displaystyle (r+1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \nabla s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

通常の外部微分とは異なり、一般に となります。実際、は接続の曲率に直接関係しています(以下を参照)。 ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle \nabla }$

多様体上のすべてのベクトル束には接続があり、これは1 の分割を使って証明できます。しかし、接続は一意ではありません。と が上の 2 つの接続である場合、それらの差は-線型演算子です。つまり、 ${\displaystyle \nabla _{1}}$${\displaystyle \nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

上のすべての滑らかな関数とのすべての滑らかなセクションに対して、 が成り立ちます。したがって、差は、自己準同型バンドル 内の値を持つ上の 1 形式と一意に識別できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

逆に、が 上の接続であり、 がに値を持つ 上の1 形式である場合、 は上の接続です。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \nabla +A}$${\displaystyle E}$

言い換えると、 上の接続空間はのアフィン空間です。このアフィン空間は一般に と表記されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

を階数のベクトルバンドルとし、をのフレームバンドルとします。すると、 への（主）接続はへの接続を誘導します。まず、 の切断は右同変写像と一対一に対応していることに注目してください。（これは、上の の引き戻しを考えればわかります。これは、自明バンドルと同型です。）の切断が与えられたとき、対応する同変写像を とします。すると、 の共変微分は次のように与えられます 。${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi (s)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

ここで、 はから までの水平方向の揚力です。(水平方向の揚力は 上の接続によって決まることを思い出してください。) ${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

逆に、 上の接続は上の接続を決定し、これら 2 つの構成は相互に逆になります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

上の接続は、上の線型エーレスマン接続によっても同等に決定されます。これは、関連する主接続を構築する 1 つの方法を提供します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

#誘導接続で説明した誘導接続は、上で使用した標準表現以外の表現を使用して、 のフレームバンドルへの他の関連バンドル上の接続として構築できます。たとえば、 が上のの標準表現を表す場合、上のの表現への関連バンドルは直和バンドル であり、誘導接続はまさに上で説明したものになります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \rho \oplus \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E\oplus E}$

を階数 のベクトル束とし、をの開部分集合とし、 上で が自明であるとする。したがって、集合 上では、切断の 局所的な滑らかなフレームが許容される。${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

フレームは任意の に対してファイバーの基底を定義するので、フレーム内の 任意の局所断面を次のように展開することができる。${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

滑らかな関数のコレクション。 ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

上の接続が与えられれば、接続の特性積則を用いて、セクションの局所フレームで上 を表現することができる。任意の基底セクション に対して、量は局所フレームで次のように 展開できる。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

ここで、は局所的な1形式の集合である。これらの形式は、次のように定義される1形式の行列にまとめることができる。 ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

を 上の の局所接続形式${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$と呼ぶ。 の任意の断面への作用は、積の法則を使って として計算できる。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

局所断面も局所フレームを基底と する列ベクトルとして行列表記で表すと、${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

通常の行列乗算を使うと次のように書ける。

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

ここで、は列ベクトルとしての各成分に外微分を適用するための省略形です。この表記では、局所的には と書くことがよくあります。この意味で、接続は、何らかの自明化における接続 1 形式によって局所的に完全に指定されます。 ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

#接続の集合のアフィン特性 で説明したように、任意の接続は自己準同型値 1 形式によって別の接続と異なります。この観点から、接続 1 形式は、上の接続が上の自明な接続と異なるような自己準同型値 1 形式とまったく同じです。自明な接続は、が の自明化集合であるため存在します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

擬リーマン幾何学では、レヴィ-チヴィタ接続は、接続一形式 の代わりにクリストッフェル 記号で記述されることが多い。擬リーマン多様体の接束だけでなく、任意のベクトル束上の接続に対してクリストッフェル記号を定義することが可能である。これを行うには、ベクトル束 の自明な開部分集合であることに加えて、 が多様体 の局所チャートであり、局所座標 を受け入れると仮定する。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

このような局所チャートでは、微分1形式に対する明確な局所フレームが与えられ、この基底において局所接続1形式は次のように展開できる。 ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

局所滑らかな関数 の集合に対して、上ののクリストッフェル記号と呼ばれる。 およびがレヴィ・チヴィタ接続である 場合、これらの記号は擬リーマン幾何学のクリストッフェル記号と正確に一致する。${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle \nabla }$

局所座標における作用の表現は、局所チャートとクリストッフェル記号を用いてさらに拡張することができ、次のように表される。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

この式を局所座標接線ベクトルで縮約すると次のようになる。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

これはローカルに定義された演算子 のコレクションを定義します${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

という性質を持つ

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

を同じ自明化集合上の別の局所フレームとして選択すると、とを関連付ける滑らかな関数の行列が存在し、これは次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {e'} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

フレーム の局所接続形式の構成を辿っていくと、の接続1形式は次のように与えられること がわかる。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

ここで は の逆行列を表します。行列表記では、これは次のように書かれます。 ${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

ここで、は行列の成分ごとに 外微分を取ることによって与えられる 1 形式行列です。${\displaystyle dg}$${\displaystyle g}$

が接線束で、が の座標変換のヤコビアンである場合、レヴィ-チヴィタ接続のクリストッフェル記号の変換の長い公式は、上記の接続形式のより簡潔な変換法則から復元できます。 ${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

ベクトル束上の接続は、 の曲線に沿った 上の平行移動の概念を定義します。を の滑らかな経路とします。に沿ったの断面が平行であるとは、次の場合 です。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

すべての に対して です。同様に、 によるの引き戻しバンドルを考えることもできます。これは 上のベクトルバンドルで、上にはファイバーがあります。への接続は上の接続に引き戻されます。の 切断が平行であるためには のときのみ必要です。 ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

がからへの経路であるとします。平行区間を定義する上記の方程式は、1 階常微分方程式(上記の局所表現を参照) であるため、考えられる各初期条件に対して一意の解を持ちます。つまり、の各ベクトルに対して、の一意の平行区間が存在します。平行移動マップを定義します。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

によって示されます。 は線型同型であり、逆はからへの逆パスで同じ手順に従うことによって得られます。 ${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma ^{-}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

平行移動は、の点に基づく接続のホロノミー群を定義するために使用できます。これは、に基づくループからのすべての平行移動マップで構成されるのサブグループです。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

接続のホロノミー群は、接続の曲率と密接に関係しています (AmbroseSinger 1953)。

この接続は、その平行移動演算子から次のように復元できます。 がベクトル場であり、 が断面である場合、点 においての積分曲線を選択します。 それぞれについて、から に沿って移動する平行移動マップ を と書きます。特に、すべての について、 が成り立ちます。次に、ベクトル空間 に曲線を定義します。これは微分できます。共変微分は次のように復元されます。 ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

これは、と のファイバー間のすべての平行輸送同型を指定して、上記の式を の定義としてとることで、接続の同等の定義が与えられることを示しています。 ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

上の接続の曲率は、自己準同型束に値を持つ 上の2 次元形式である。つまり、 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

それは次の式で定義される。

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

ここで、 および は上の接ベクトル場であり、は の切断です。がとの両方において -線型であり、 が実際に のバンドル自己準同型を定義することを確認する必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E}$

上で述べたように、共変外微分は、 -値形式に作用するときにはゼロに平方する必要はありません。 しかし、演算子は厳密にテンソル（つまり-線形）です。これは、それが に値を持つ 2 形式から誘導されることを意味します。この 2 形式は、まさに上で示した曲率形式です。-値形式の場合、${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

平坦な接続とは、曲率形状が同一に消える接続です。

曲率形式はカルタンの構造方程式と呼ばれる局所記述を持つ。がの自明な開部分集合上の局所形式を持つ場合、 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle A}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

について。この表記を明確にするために、 は自己準同型値を持つ 1 形式であり、したがって局所座標では 1 形式の行列の形をとることに注目してください。この演算は、この行列に外微分を成分ごとに適用し、 は行列の乗算を表します。ここで、成分は乗算されるのではなく、くさび形になります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A\wedge A}$

上の局所座標において、接続形式が局所自己準同型の集合に対して書かれる場合、 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

これをクリストッフェル記号でさらに展開すると、リーマン幾何学でおなじみの表現が得られる。つまり、 が上の切断面である場合、 ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

ここで はの完全な曲率テンソルであり、リーマン幾何学では はリーマン曲率テンソルと同一視されます。 ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$${\displaystyle F_{\nabla }}$

を形式の楔積、自己準同型の交換子として定義し、合成とは対照的に定義すると、 となり、この別の表記法を用いると、カルタン構造方程式は次の形式となること が確認できる。${\displaystyle [A,A]}$${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

この代替表記法は主バンドル接続の理論でよく使用され、代わりに接続形式、つまりリー代数-値 1 形式が使用されます。これには合成の概念はありませんが (自己準同型の場合とは異なり)、リー括弧の概念があります。 ${\displaystyle \omega }$

いくつかの参考文献（例えば (MadsenTornehave1997) を参照）では、カルタン構造方程式はマイナス記号を使用して記述されることがあります。

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

この異なる規則では、行列値 1 形式のウェッジ積における標準的なアインシュタイン表記法とは異なる行列乗算の順序を使用します。

リーマン幾何学の2番目の（微分）ビアンキ恒等式のバージョンは、任意のベクトル束上の接続に対して成り立つ。ベクトル束上の接続は、 上の自己準同型接続を誘導することを思い出してください。この自己準同型接続は、それ自身に外共変微分を持ち、これをあいまいに と呼びます。曲率は大域的に定義された- 値の2次元形式であるため、外共変微分を適用することができます。ビアンキ恒等式は、 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$。

これは、リーマン多様体の場合のビアンキ恒等式の複雑なテンソル式を簡潔に表しており、接続と曲率を局所座標で展開することで、この式から標準的なビアンキ恒等式に変換できます。

一般的な接続に対する最初の（代数的）ビアンキ恒等式に類似するものは一般にありません。これは、レヴィ-チヴィタ接続の特殊な対称性を利用しているからです。つまり、曲率テンソルの のベクトル束のインデックスは、メトリックを使用してインデックスを上げ下げした後、から来る余接束のインデックスと交換できることを利用します。たとえば、これにより、レヴィ-チヴィタ接続に対して捩れのない条件を定義できますが、一般的なベクトル束の場合、-インデックスは のローカル座標基底を参照し、-インデックスは および のローカル座標フレームを参照し、の分割から来ます。ただし、特殊な状況、たとえば の階数が の次元に等しく、はんだ形式が選択されている場合、はんだ付けを使用してインデックスを交換し、レヴィ-チヴィタ接続ではないアフィン接続の捩れの概念を定義できます。 ${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

ベクトルバンドル 上の2 つの接続が与えられた場合、それらが同値と見なされるのはどのような場合かと問うのは自然なことです。ベクトルバンドル の自己同型という明確に定義された概念があります。がすべての点 で可逆である場合、セクションは自己同型です。このような自己同型はのゲージ変換と呼ばれ、すべての自己同型の群はゲージ群と呼ばれ、しばしばまたは と表記されます。ゲージ変換の群は、ベクトルバンドル のフレームバンドルの大文字のA 随伴バンドルのセクションの空間としてうまく特徴付けられます。これは、自然にそれ自身と同一視される小文字の a随伴バンドルと混同しないでください。バンドルは、のそれ自身への共役表現 によって主フレームバンドルに関連付けられたバンドルであり、の場合と同じ一般線型群のファイバーを持ちます。フレームバンドルと同じファイバーを持ち、それに関連付けられているにもかかわらず、はフレームバンドルと等しくなく、それ自体が主バンドルでさえないことに留意してください。ゲージ群は、次のように同値として特徴付けられます。${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

のゲージ変換はセクションに作用し、したがって共役による接続に作用する。明示的に、が上の接続である場合、次のように 定義される。${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

について。が接続であることを確認するには、積の規則を検証する。 ${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

これはすべての接続のアフィン空間上のの左群作用を定義することが確認できます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

は をモデルにしたアフィン空間なので、となる自己準同型値1形式が存在するはずである。によって誘導される自己準同型接続の定義を用いると、次のことがわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle A_{u}\in \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla +A_{u}}$${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} (E)}}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla -d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

つまり、. ${\displaystyle A_{u}=-d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

2 つの接続がゲージ群の作用によって異なる場合、それらの接続はゲージ同値であるとされ、商空間は上のすべての接続のモジュライ空間です。一般に、この位相空間は滑らかな多様体でもハウスドルフ空間でもありませんが、上のヤン・ミルズ接続のモジュライ空間を内部に含み、これはゲージ理論と物理学で非常に興味深いものです。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

• 古典的な共変微分またはアフィン接続は、 Mの接バンドル上の接続、またはより一般的には、接バンドルとそれ自身およびその双対とのテンソル積をとることによって形成される任意のテンソルバンドル上の接続を定義します。
• 上の接続は、演算子として明示的に記述できます。${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla =d+{\begin{bmatrix}f_{11}(x)&f_{12}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)\end{bmatrix}}dx}$

ここで、はベクトル値の滑らかな関数上で評価された外微分であり、滑らかである。セクションはマップと同一視される。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle f_{ij}(x)}$${\displaystyle a\in \Gamma (\pi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}\\x\mapsto (a_{1}(x),a_{2}(x))\end{cases}}}$

その後

${\displaystyle \nabla (a)=\nabla {\begin{bmatrix}a_{1}(x)\\a_{2}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {da_{1}(x)}{dx}}+f_{11}(x)a_{1}(x)+f_{12}(x)a_{2}(x)\\{\frac {da_{2}(x)}{dx}}+f_{21}(x)a_{1}(x)+f_{22}(x)a_{2}(x)\end{bmatrix}}dx}$

• バンドルにバンドル メトリック(そのベクトル空間ファイバー上の内積) が与えられている場合、メトリック接続はバンドル メトリックと互換性のある接続として定義されます。
• ヤン＝ミルズ接続は、ヤン＝ミルズ運動方程式を満たす特殊なメトリック接続です。
• リーマン接続は、リーマン多様体の接束上の計量接続です。
• レヴィ・チヴィタ接続は、特別なリーマン接続です。つまり、接バンドル上の計量互換で、かつねじれのない接続です。任意のリーマン接続が与えられれば、常にねじれのない同等の接続が 1 つだけ見つかるという意味で、これはユニークです。「同等」とは、曲率テンソルは異なる可能性があるものの、同じ計量と互換性があることを意味します。テレパラレリズムを参照してください。リーマン接続と対応するレヴィ・チヴィタ接続の違いは、ねじれテンソルによって表されます。
• 外微分は( M上の自明な直線束)上の平坦接続です。${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$
• より一般的には、任意の平坦ベクトル束（つまり、遷移関数がすべて定数であるベクトル束）上には、任意の自明化における外微分によって与えられる標準的な平坦接続が存在します。

• Dモジュール
• つながり（数学）

• チャーン、シーイン・シェン（1951）、微分幾何学の話題、高等研究所、謄写版講義ノート
• ダーリング、RWR (1994)、Differential Forms and Connections、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、Bibcode：1994dfc..book.....D、ISBN 0-521-46800-0
• 小林昭七、野水勝己（1996）[1963]、微分幾何学の基礎、第1巻、Wiley Classics Library、ニューヨーク：Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Koszul、JL (1950)、「Homologie et cohomologie des algebres de Lie」、Bulletin de la Société Mathématique de France、78 : 65–127、doi : 10.24033/bsmf.1410
• ウェルズ、RO（1973）、複素多様体上の微分解析、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90419-0
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