擬リーマン多様体

数理物理学において、擬リーマン多様体^{[1] [2] は}半リーマン多様体とも呼ばれ、至るところで非退化な計量テンソルを持つ微分可能多様体である。これは、リーマン多様体の一般化であり、正定値の要件が緩和されている。

擬リーマン多様体のすべての接空間は擬ユークリッドベクトル空間です。

一般相対性理論で使用される特殊なケースは、時空をモデル化するための4 次元ローレンツ多様体であり、接線ベクトルは時間的、ヌル、および空間的に分類できます。

微分幾何学において、微分可能多様体はユークリッド空間に局所的に相似な空間です。n次元ユークリッド空間では、任意の点をn 個の実数で指定できます。これらは点の 座標と呼ばれます。

n次元微分可能多様体は、 n次元ユークリッド空間の一般化です。多様体では、座標を局所的にしか定義できない場合があります。これは、n次元ユークリッド空間にマッピングできる多様体のサブセットである座標パッチを定義することによって実現されます。

詳細については 、多様体、微分可能多様体、座標パッチを参照してください。

次元微分可能多様体の各点には接空間（ と表記）が関連付けられています。これは、点 を通過する曲線の同値類として要素が考えられる次元ベクトル空間です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

計量テンソルは、多様体の各接空間における接ベクトルのペアに実数を割り当てる、非退化で滑らかな対称な双線型写像である。計量テンソルを と表記すると、次のように表すことができる。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

この写像は対称かつ双線型なので、多様体のある点における接線ベクトルであれば、 ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

任意の実数に対して。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

非退化とは、すべての に対して となるような非ゼロが存在しないことを意味します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle X\in T_{p}M}$${\displaystyle g(X,Y)=0}$${\displaystyle Y\in T_{p}M}$

n次元実多様体上の計量テンソルgが与えられたとき、任意の直交基底の各ベクトルに適用された計量テンソルに関連付けられた二次形式q ( x ) = g ( x , x )は、 n 個の実数値を生成します。シルベスターの慣性法則により、このようにして生成された正、負、およびゼロの各値の数は、直交基底の選択とは無関係に、計量テンソルの不変量です。計量テンソルのシグネチャ( p、q、r )は、同じ順序で表示されるこれらの数を示します。非退化計量テンソルはr = 0であり、シグネチャは( p、q )と表記される場合があります( p + q = n )。

擬リーマン多様体 ( M、g )は、どこでも非退化で滑らかな対称計量テンソルgを備えた微分可能多様体 Mです。

このような計量は擬似リーマン計量と呼ばれます。ベクトル場に適用すると、多様体の任意の点における結果として得られるスカラー場の値は、正、負、またはゼロになります。

擬リーマン計量のシグネチャは( p ,  q )であり、pとq は両方とも非負です。非退化条件と連続性は、多様体全体でpとqが変わらないことを意味します (多様体が接続されていると仮定)。

ローレンツ多様体は、擬リーマン多様体の重要な特殊なケースであり、計量の符号は(1,  n −1)（同値で、( n −1, 1) 。符号規則を参照）である。このような計量はローレンツ計量と呼ばれる。オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられた。

リーマン多様体の次に、ローレンツ多様体は擬リーマン多様体の最も重要なサブクラスを形成します。これらは一般相対性理論の応用において重要です。

一般相対論の主要な前提は、時空がシグネチャ(3, 1)または同等の(1, 3)の 4 次元ローレンツ多様体としてモデル化できるということです。正定値計量を持つリーマン多様体とは異なり、不定シグネチャでは接ベクトルを時間的、ヌル、または空間的に分類できます。シグネチャが( p , 1)または(1,  q )の場合、多様体は局所的に (場合によってはグローバルに) 時間指向性もあります (因果構造を参照)。

ユークリッド空間が リーマン多様体の局所モデルとして考えられるのと同様に、平坦なミンコフスキー計量を持つミンコフスキー空間はローレンツ多様体の局所モデルである。同様に、シグネチャ( p ,  q )の擬リーマン多様体のモデル空間は擬ユークリッド空間であり、その 座標x _iが存在し、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

リーマン幾何学の定理のいくつかは、擬リーマンの場合に一般化できます。特に、リーマン幾何学の基本定理は、すべての擬リーマン多様体に当てはまります。これにより、擬リーマン多様体上のレヴィ-チヴィタ接続を、関連する曲率テンソルとともに語ることができます。一方、リーマン幾何学には、一般化された場合には成立しない定理が多数あります。たとえば、すべての滑らかな多様体が、与えられたシグネチャの擬リーマン計量を許容するというのは真実ではなく、特定の位相的障害があります。さらに、部分多様体は、必ずしも擬リーマン多様体の構造を継承するわけではありません。たとえば、計量テンソルは、任意の光のような 曲線上でゼロになります。クリフトン・ポール・トーラスは、コンパクトだが完全ではない擬リーマン多様体の例であり、ホップ・リノウの定理ではリーマン多様体では認められない性質の組み合わせである。^[3]

• 因果関係の条件
• 大域的双曲多様体
• 双曲偏微分方程式
• 有向多様体
• 時空

• Benn, IM; Tucker, RW (1987)、スピノルと幾何学入門、物理学への応用(初版 1987 年)、アダム ヒルガー、ISBN 0-85274-169-3
• ビショップ、リチャード L. ; ゴールドバーグ、サミュエル I. (1968)、多様体上のテンソル解析(First Dover 1980 ed.)、マクミラン社、ISBN 0-486-64039-6
• 陳 邦顯 (2011)、擬似リーマン幾何学、[デルタ]不変量とその応用、World Scientific Publisher、ISBN 978-981-4329-63-7
• オニール、バレット (1983)、「相対論への応用を伴う半リーマン幾何学」、純粋および応用数学、第 103 巻、アカデミック プレス、ISBN 9780080570570
• ヴランセアヌ、G. Roşca, R. (1976)、相対性理論と擬似リーマン幾何学入門、ブカレスト: Editura Academiei Republicii Socialiste România

• ウィキメディア・コモンズのローレンツ多様体に関連するメディア