幾何微積分

数学において、幾何微積分は幾何代数を拡張して微分と積分を含む。この形式論は強力であり、ベクトル解析、微分幾何学、微分形式などの他の数学理論を再現できることが示される。^[1]

幾何代​​数が与えられたとき、と をベクトルとし、 をベクトルの多重ベクトル値関数とする。におけるの方向微分は次のように定義される。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

ただし、極限はすべての に対して存在し、極限はスカラー に対して取られます。これは方向微分の通常の定義に似ていますが、必ずしもスカラー値ではない関数に拡張されます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \epsilon }$

次に、基底ベクトル のセットを選択し、の方向で方向微分を実行する と表記される演算子を検討します。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

次に、アインシュタインの和記法を使用して、演算子を考えます。

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

つまり

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

ここで幾何積は方向微分の後に適用されます。より詳しく説明すると、

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

この演算子はフレームの選択とは独立しており、幾何学的計算でベクトル微分と呼ばれるものを定義するために使用できます。

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

これは勾配の通常の定義に似ていますが、これも必ずしもスカラー値ではない関数に拡張されます。

方向微分はその方向に関して線形です。つまり、次のようになります。

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

このことから、方向微分はその方向とベクトル微分との内積であることがわかります。方向はと書けることに注意するだけで、次のようになります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

このため、がよく指摘されます。 ${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$

ベクトル微分に対する標準的な演算順序は、そのすぐ右にある最も近い関数にのみ作用するというものである。2つの関数とが与えられている場合、例えば、 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

偏微分は積の法則を示すが、ベクトル微分はこの特性を部分的にしか継承しない。2つの関数とを考えてみよう。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

幾何積は一般にと可換ではないので、先に進むには新しい表記法が必要である。解決策は、オーバードット表記法を採用することである。オーバードット表記法では、オーバードットを持つベクトル微分は、同じオーバードットを共有するマルチベクトル値関数のスコープとなる。この場合、次のように定義する。 ${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

ベクトル微分に対する積の法則は

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

を - 次多重ベクトルとする。すると、内部微分と外部微分という追加の演算子のペアを定義することができる。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

特に、がグレード1（ベクトル値関数）の場合、次のように書くことができます。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

そして、発散と回転を次のように 特定する。

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

ベクトル微分とは異なり、内部微分演算子も外部微分演算子も可逆ではありません。

上で説明したベクトルに関する微分は、一般的な多重ベクトルに関する微分、つまり多重ベクトル微分に一般化できます。

を多重ベクトルの多重ベクトル値関数とする。方向 に関するの方向微分（ここで、 と は多重ベクトル）は次のように定義される。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,}$

ここで はスカラー積である。ベクトル基底とそれに対応する双対基底を用いて、多ベクトル微分は方向微分によって次のように定義される^[2]${\displaystyle A*B=\langle AB\rangle }$${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \{e^{i}\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .}$

この方程式は、記事のセクション「幾何代数#双対基底」で説明されているように、ブレードの逆基底の成分で表現されています。 ${\displaystyle \partial _{X}}$

多重ベクトル微分の重要な性質は、

${\displaystyle \partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,}$

ここで、 はに含まれる等級への の射影です。 ${\displaystyle P_{X}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

多重ベクトル微分はラグランジアン場の理論に応用されています。

を - 次元ベクトル空間に張られる基底ベクトルの集合とします。幾何代数から、擬似スカラーはこれらの基底ベクトルによって囲まれる-平行四辺形の符号付き体積であると解釈されます。基底ベクトルが正規直交である場合、これは単位擬似スカラーです。 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$${\displaystyle n}$

より一般的には、全体の - 次元ベクトル空間における部分空間の長さ、面積、またはその他の一般的な - 体積を扱うために、基底ベクトルの のサブセットに制限することができます。これらの選択された基底ベクトルを で表します。これらの基底ベクトルによって囲まれる - 平行体の一般的な - 体積は、等級多重ベクトルです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$

さらに一般的には、基底ベクトルに比例する新しいベクトルの集合を考えることができる。ここで、 のそれぞれは基底ベクトルの1つをスケールする成分である。ゼロでない限り、成分は好きなだけ小さく選ぶことができる。これらの項の外積は -体積として解釈できるため、測度を定義する自然な方法は次のようになる。 ${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

したがって、測度は常にベクトル空間の次元部分空間の単位擬スカラーに比例します。微分形式理論のリーマン体積形式と比較してください。積分はこの測度に関して行われます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

より正式には、部分空間の有向体積を考えます。この体積を単体の和に分割できます。頂点の座標を とします。各頂点に、その頂点を共有する単体の平均測度として測度を割り当てます。すると、体積をより小さな単体に細かく分割する極限で、この体積に対する の積分が得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

上記のようにベクトル微分と積分を定義する理由は、それによってストークスの定理を強力に一般化できるためです。を、第 1 引数で線形である、 - 次入力と一般位置のマルチベクトル値関数とします。このとき、幾何学的微積分の基本定理は、体積上の微分の積分とその境界上の積分を関連付けます。 ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

例として、ベクトル値関数と（）級のマルチベクトルについて考えてみましょう。 ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

同じく、

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

こうして発散定理が回復される。

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

次元空間内の十分に滑らかな- 面は多様体とみなされます。多様体上の各点には、多様体に接する- ブレードを取り付けることができます。局所的には、 は - 次元空間の擬スカラーとして機能します。このブレードは、多様体へのベクトルの 射影を定義します。${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

ベクトル微分が次元空間全体にわたって定義されているのと同様に、多様体上で局所的に定義される 固有微分を定義したい場合があります。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(注: 上記の右辺は、多様体の接空間に存在しない可能性があります。したがって、これは必ずしも接空間に存在する と同じではありません。) ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$

が多様体に接するベクトルである場合、ベクトル微分と固有微分は両方とも同じ方向微分を与えます。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

この操作は完全に有効ですが、それ自体が多様体上にあるとは限らないため、常に有用であるとは限りません。したがって、共変微分は、固有微分を多様体に戻す強制投影であると定義します。 ${\displaystyle \partial F}$

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

一般的な多重ベクトルは射影と棄却の和として表現できるので、この場合

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

我々は新しい関数、形状テンソル を導入する。これは、 ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

ここで は交換子積である。接面を張る局所座標基底では、形状テンソルは次のように与えられる。 ${\displaystyle \times }$${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

重要なのは、一般多様体上では共変微分は可換ではないということである。特に、交換子は形状テンソルと次のように関係している。

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

明らかに、この項は興味深いものです。しかし、固有微分と同様に、この項は必ずしも多様体上にあるわけではありません。したがって、リーマンテンソルを多様体への投影として定義することができます。 ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

最後に、が次数 の場合、内部共変微分と外部共変微分を次のように定義できます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

固有導関数についても同様です。

多様体上で、局所的に基底ベクトルの集合によって張られる接面を割り当てることができます。計量テンソルの成分、クリストッフェル記号、リーマン曲率テンソルを次のように関連付けることができます。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

これらの関係により、微分幾何学の理論が幾何学的計算の中に埋め込まれます。

局所座標系（ ）では、座標微分、…は、座標チャート内の1形式の基本セットを形成します。の多重インデックスが与えられた場合、 -形式 を定義できます。${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle dx^{1}}$${\displaystyle dx^{n}}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$${\displaystyle 1\leq p\leq k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

代わりに、次数の多重ベクトルを次のように 導入することもできる。${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

そして対策

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

微分形式に関する外積とベクトルに関する外積の意味の微妙な違い（前者では増分は共ベクトルであるが、後者では増分はスカラーを表す）を除けば、微分形式

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

その派生語

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

およびそのホッジ双対

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

微分形式の理論を幾何学的計算の中に組み込む。

以下は幾何微積分の歴史をまとめた図です。

• マクドナルド、アラン (2012)。ベクトルと幾何微積分。チャールストン: CreateSpace。ISBN 9781480132450. OCLC  829395829.