接線

幾何学において、部分接線および関連用語は、与えられた点における曲線の接線と座標軸を使用して定義される特定の線分のことである。これらの用語は今日ではやや古風であるが、20 世紀初頭までは一般的に使用されていた。

P  = ( x ,  y ) を、 x軸への投影がA  = ( x , 0 )である曲線上の点とします。Pで曲線の接線を引き、この線がx軸と交差する点をTとします。すると、TA はPにおける部分接線と定義されます。同様に、 Pにおける曲線の法線がNでx軸と交差する場合、AN は部分正規線と呼ばれます。この文脈では、長さPTとPN は接線と法線と呼ばれますが、接線と法線とも呼ばれる接線と法線 と混同しないように注意してください。

φ をx軸に対する接線の傾斜角とします。これは接線角とも呼ばれます。すると

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {dy}{dx}}={\frac {AP}{TA}}={\frac {AN}{AP}}.}$

つまり、差接線は

${\displaystyle y\cot \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}},}$

そして非正規分布は

${\displaystyle y\tan \varphi =y{\frac {dy}{dx}}.}$

法線は次のように与えられる。

${\displaystyle y\sec \varphi =y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}},}$

そして接線は次のように与えられる。

${\displaystyle y\csc \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{ 2}}}.}$

P  = ( r , θ) を極座標で定義された曲線上の点とし、O を原点とします。 O を通り OP に垂直な線を引き、この線がPにおける曲線の接線と交差する点をTとします。同様に、曲線の法線が線と交差する点をNとします。すると、 OTとON はそれぞれPにおける曲線の極サブタンジェントと極サブノーマルと呼ばれます。

ψを接線と光線OPの間の角度とします。これは極接線角とも呼ばれます。すると

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {r}{\tfrac {dr}{d\theta }}}={\frac {OP}{ON}}={\frac {OT}{OP}}.}$

極小接線は

${\displaystyle r\tan \psi ={\frac {r^{2}}{\tfrac {dr}{d\theta }}},}$

そして非正規分布は

${\displaystyle r\cot \psi ={\frac {dr}{d\theta }}.}$

• J. エドワーズ (1892)。『微分積分学』ロンドン: マクミラン社、pp. 150, 154。

• B. ウィリアムソン「サブタンジェントとサブノーマル」および「極サブタンジェントと極サブノーマル」『微分計算に関する初等論文』（1899 年）p 215、223 インターネット アーカイブ