擬リーマン多様体の曲率の尺度
微分幾何学 において 、 ヘルマン ・ワイル にちなんで名付けられた ワイル曲率テンソル [1]は、 時空 の 曲率 、より一般的には 擬似リーマン多様体の 曲率の尺度である 。 リーマン曲率テンソル と同様に、ワイルテンソルは 測地線 に沿って移動する物体が感じる 潮汐力 を表現する。ワイルテンソルは、物体の体積がどのように変化するかに関する情報ではなく、潮汐力によって物体の形状がどのように歪むかのみを伝える点で、リーマン曲率テンソルと異なる。リーマンテンソルの トレース 成分である リッチ曲率 は、潮汐力の存在下で体積がどのように変化するかに関する情報を正確に含んでいるため、ワイルテンソルは リーマンテンソルの トレースのない 成分である。この テンソルは リーマン テンソルと同じ対称性を持ちますが、トレースフリーであるという追加条件を満たしています。つまり、任意のインデックス ペアの メトリック縮約は ゼロになります。これは、リッチ テンソルの線形表現であるテンソルをリーマン テンソルから減算することで得られます。
一般相対性理論 では 、ワイル曲率は自由空間に存在する曲率の唯一の部分であり、 真空アインシュタイン方程式 の解であり、物質のない空間領域を通る 重力波 の伝播を支配します。 [2]より一般的には、ワイル曲率は リッチ平坦多様体 の曲率の唯一の要素であり、常に アインシュタイン多様体 の場の方程式の 特性 を支配します 。 [2]
次元 2 と 3 では、ワイル曲率テンソルは同じようにゼロになります。次元 ≥ 4 では、ワイル曲率は一般にゼロではありません。次元 ≥ 4 でワイルテンソルがゼロになると、計量は局所的に 共形平坦になります。つまり、計量テンソルが定数テンソルに比例する 局所座標系が 存在します。この事実は、 一般相対性理論 の前身である ノルドストロームの重力理論 の重要な要素でした 。
意味 ワイルテンソルは、曲率テンソルからさまざまなトレースを減算することで得ることができます。これは、リーマンテンソルを (0,4) 価数テンソルとして記述することで最も簡単に行うことができます (計量と縮約することにより)。 (0,4) 価数ワイルテンソルは、次のようになります (Petersen 2006、p. 92)
Ｃ = R −
1
ん − 2
（
R 私 c
−
s ん
グ
）
∧ ◯
グ −
s
2 ん （ ん − 1 ）
グ
∧ ◯
グ
{\displaystyle C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}
ここで、 n は多様体の次元、 g は計量、 R はリーマンテンソル、 Ric は リッチテンソル 、 s は スカラー曲率 、 2 つの対称 (0,2) テンソルの
クルカルニ-ノミズ積 を表します。
h
∧ ◯
け
{\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k}
（ h
∧ ◯
け ）
（
ヴ
1
、
ヴ
2
、
ヴ
3
、
ヴ
4
）
=
h
（
ヴ
1
、
ヴ
3
）
け
（
ヴ
2
、
ヴ
4
）
+ h
（
ヴ
2
、
ヴ
4
）
け
（
ヴ
1
、
ヴ
3
）
−
h
（
ヴ
1
、
ヴ
4
）
け
（
ヴ
2
、
ヴ
3
）
− h
（
ヴ
2
、
ヴ
3
）
け
（
ヴ
1
、
ヴ
4
）
{\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}}
テンソル成分表記では、これは次のように書ける。
Ｃ
私 け ℓ メートル
=
R
私 け ℓ メートル
+
1
ん − 2
（
R
私 メートル
グ
け ℓ
−
R
私 ℓ
グ
け メートル
+
R
け ℓ
グ
私 メートル
−
R
け メートル
グ
私 ℓ
）
+
1
（ ん − 1 ） （ ん − 2 ）
R
（
グ
私 ℓ
グ
け メートル
−
グ
私 メートル
グ
け ℓ
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}}
通常の(1,3)価ワイルテンソルは、上記を計量の逆数で縮約することによって与えられます。
分解（ １ ）は、リーマンテンソルを 直交 直和 として表現し、
|
R
|
2
=
|
C
|
2
+
|
1
n
−
2
(
R
i
c
−
s
n
g
)
∧
◯
g
|
2
+
|
s
2
n
(
n
−
1
)
g
∧
◯
g
|
2
.
{\displaystyle |R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.}
この分解は リッチ分解 と呼ばれ、リーマン曲率テンソルを 直交群 の作用下でのその 既約 成分に表現します。 特殊直交群 の作用に対する不変因子、自己双対部分 C + と反自己双対部分 C − に分解されます 。
ワイルテンソルは 、リッチテンソルのトレース調整された倍数である
スハウテンテンソルを使って表現することもできる。
P
=
1
n
−
2
(
R
i
c
−
s
2
(
n
−
1
)
g
)
.
{\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).}
それから
C
=
R
−
P
∧
◯
g
.
{\displaystyle C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.}
指数では、 [4]
C
a
b
c
d
=
R
a
b
c
d
−
2
n
−
2
(
g
a
[
c
R
d
]
b
−
g
b
[
c
R
d
]
a
)
+
2
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
R
g
a
[
c
g
d
]
b
{\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}
ここで、 はリーマンテンソル、 はリッチテンソル、 はリッチスカラー（スカラー曲率）であり、インデックスを囲む括弧は 反対称部分 を表します。同様に、
R
a
b
c
d
{\displaystyle R_{abcd}}
R
a
b
{\displaystyle R_{ab}}
R
{\displaystyle R}
C
a
b
c
d
=
R
a
b
c
d
−
4
S
[
a
[
c
δ
b
]
d
]
{\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}
ここで、 Sは Schoutenテンソル を表します 。
プロパティ
ワイルテンソルは、計量の 共形 変化 に対して不変であるという特別な性質を持っています 。つまり、 ある正のスカラー関数 に対して 、(1,3) 価のワイルテンソルが を満たします。このため、ワイルテンソルは 共形テンソル とも呼ばれます 。したがって、 リーマン多様体が 共形平坦で ある ための 必要条件 は、ワイルテンソルがゼロになることです。次元 ≥ 4 では、この条件 も 十分です。次元 3 では、 コットンテンソルがゼロになることは、リーマン多様体が共形平坦であるための必要かつ十分な条件です。任意の 2 次元 (滑らかな) リーマン多様体は共形平坦であり、これは 等温座標 の存在の結果としてです 。
g
μ
ν
↦
g
μ
ν
′
=
f
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }}
f
{\displaystyle f}
C
′
b
c
d
a
=
C
b
c
d
a
{\displaystyle {C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}}
実際、共形平坦スケールの存在は、過剰決定偏微分方程式を解くことに相当する。
D
d
f
−
d
f
⊗
d
f
+
(
|
d
f
|
2
+
Δ
f
n
−
2
)
g
=
Ric
.
{\displaystyle Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .}
次元 ≥ 4 では、ワイル テンソルの消失が この式の唯一の 積分可能条件です。次元 3 では、代わりに コットン テンソル が積分可能条件になります。
対称性 ワイルテンソルはリーマンテンソルと同じ対称性を持ちます。これには以下が含まれます。
C
(
u
,
v
)
=
−
C
(
v
,
u
)
⟨
C
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
−
⟨
C
(
u
,
v
)
z
,
w
⟩
C
(
u
,
v
)
w
+
C
(
v
,
w
)
u
+
C
(
w
,
u
)
v
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}}
さらに、もちろん、ワイルテンソルはトレースフリーです。
tr
C
(
u
,
⋅
)
v
=
0
{\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0}
すべてのu 、 v に対して 。インデックスでは、これら4つの条件は
C
a
b
c
d
=
−
C
b
a
c
d
=
−
C
a
b
d
c
C
a
b
c
d
+
C
a
c
d
b
+
C
a
d
b
c
=
0
C
a
b
a
c
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}}
ビアンキのアイデンティティ リーマンテンソルの通常の第2ビアンキ恒等式の軌跡をとると、最終的に次のことが分かります。
∇
a
C
a
b
c
d
=
2
(
n
−
3
)
∇
[
c
S
d
]
b
{\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}
ここで、 Sは Schoutenテンソル です 。右側の原子価(0,3)テンソルは 、初期因子を除けば
コットンテンソルです。
参照
注記
^ ヘルマン・ヴァイル (1918-09-01)。 「レーヌ無限微幾何学」。 Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。 2 (3): 384–411。 Bibcode :1918MatZ....2..384W。 土井 ：10.1007/BF01199420。 ISSN 1432-1823。 S2CID 186232500。 ^ ab Danehkar, A. (2009). 「相対論的宇宙論モデルにおけるワイル曲率の重要性について」. Mod. Phys. Lett. A . 24 (38): 3113–3127. arXiv : 0707.2987 . Bibcode :2009MPLA...24.3113D. doi :10.1142/S0217732309032046. S2CID 15949217. ^ グロン＆ハーヴィク 2007、490 ページ
参考文献 ホーキング、スティーブン・W. ; エリス、ジョージ・FR (1973)、 時空の大規模構造 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-09906-4 ピーターセン、ピーター（2006）、 リーマン幾何学 、Graduate Texts in Mathematics、第171巻（第2版）、ベルリン、ニューヨーク： Springer-Verlag 、 ISBN 0387292462 、 MR 2243772 。 Sharpe、RW (1997)、 Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program 、Springer-Verlag、ニューヨーク、 ISBN 0-387-94732-9 。 シンガー, IM ; ソープ, JA (1969)、「4次元アインシュタイン空間の曲率」、 グローバル解析（小平功一名誉論文集） 、東京大学出版会、pp. 355–365 「ワイルテンソル」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] Grøn, オイヴィンド ; Hervik、Sigbjørn (2007)、 アインシュタインの一般相対性理論 、ニューヨーク: Springer、 ISBN 978-0-387-69199-2
![{\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fe6a1fc5ad6e2ad77b9fc603fdaae8c3bba1f4)
![{\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179a28f7ac753ff166f6bb694dd0fbde056ebf4e)
![{\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bc5946c57649b107d431fc644496b3176823cd)