クーラント代数

数学の一分野である微分幾何学において、クーラン代数とは、リー代数よりも一般的な、内積と適合括弧を伴うベクトル束である。

これはセオドア・クーランにちなんで名付けられました。クーランは 1990 年^[1]に、上の歪対称括弧（今日ではクーラン括弧と呼ばれていますが、ヤコビ恒等式を満たさない）の発見を通じて、クーラン代数体の標準的なプロトタイプを暗黙的に考案しました。クーラン代数体の一般的な概念は、1997 年に張居劉、アラン・ワインスタイン、平徐がリー代数体の二重の研究の中で導入しました。 ^[2]${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

クーラン代数は、括弧付きのベクトル束、非退化のファイバー単位の内積 、およびバンドル マップ(アンカーと呼ばれる)のデータで構成され、次の公理に従います。 ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\Gamma E\times \Gamma E\to \Gamma E}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\to M\times \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho :E\to TM}$

1. ヤコビ恒等式:${\displaystyle [\phi ,[\chi ,\psi ]]=[[\phi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\phi ,\psi ]]}$
2. ライプニッツの法則:${\displaystyle [\phi ,f\psi ]=\rho (\phi )f\psi +f[\phi ,\psi ]}$
3. 歪対称性の障害:${\displaystyle [\phi ,\psi ]+[\psi ,\phi ]={\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$
4. 括弧内の内積の不変性:${\displaystyle \rho (\phi )\langle \psi ,\chi \rangle =\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +\langle \psi ,[\phi ,\chi ]\rangle }$

ここで、は の切断であり、は基本多様体 上の滑らかな関数です。 写像は、 、ド・ラーム微分、の双対写像、および内積によって誘導される 同型との合成です。${\displaystyle \phi ,\chi ,\psi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$${\displaystyle \kappa ^{-1}\rho ^{T}d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$${\displaystyle d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle \rho ^{T}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle E\to E^{*}}$

ブラケットを斜め対称にするための別の定義を次のように 与えることができる。

${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]={\tfrac {1}{2}}{\big (}[\phi ,\psi ]-[\psi ,\phi ]{\big .})}$

これはもはや上記のヤコビ恒等公理を満たしません。代わりにホモトピック ヤコビ恒等公理を満たします。

${\displaystyle [[\phi ,[[\psi ,\chi ]]\,]]+{\text{cycl.}}=DT(\phi ,\psi ,\chi )}$

どこですか ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\phi ,\psi ,\chi )={\frac {1}{3}}\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +{\text{cycl.}}}$

ライプニッツ則とスカラー積の不変性は関係によって修正され、歪対称性の破れは公理によって置き換えられる。 ${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]=[\phi ,\psi ]-{\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$

${\displaystyle \rho \circ D=0}$

歪対称括弧は、微分およびヤコビエーターとともに、強くホモトピックなリー代数を形成します。 ${\displaystyle [[\cdot ,\cdot ]]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle T}$

3 番目の公理からわかるように、括弧は歪対称ではありません。代わりに、特定のヤコビ恒等式 (最初の公理) とライプニッツの規則 (2 番目の公理) を満たしています。これら 2 つの公理から、アンカー マップは括弧の射であることが分かります。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho [\phi ,\psi ]=[\rho (\phi ),\rho (\psi )].}$

4番目の規則は括弧内の内積の不変性である。分極化により、

${\displaystyle \rho (\phi )\langle \chi ,\psi \rangle =\langle [\phi ,\chi ],\psi \rangle +\langle \chi ,[\phi ,\psi ]\rangle .}$

クーラン代数の例としては、1988年にシェヴェラによって導入されたひねりを加えた直和上のドルフマン括弧^[3]が挙げられ、次のように定義されます。 ^[4]${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]:=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -\iota _{Y}d\xi +\iota _{X}\iota _{Y}H)}$

ここで、はベクトル場、は 1 形式、 は括弧をひねった閉じた 3 形式です。この括弧は、一般化された複素構造の積分可能性を記述するために使用されます。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \xi ,\eta }$${\displaystyle H}$

より一般的な例は、上の誘導微分が再びと記述されるリー代数から生じます。次に、 の下で閉じた A -3 形式を持つドルフマン括弧と同じ式を使用します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H}$${\displaystyle d}$

クーラン代数の別の例としては、2 次リー代数、つまり不変スカラー積を持つリー代数があります。ここでは、基本多様体は単なる点であるため、アンカー マップ (および) は自明です。 ${\displaystyle D}$

Weinstein らの論文で説明されている例は、リー代数から来ています。がリー代数 (アンカーと括弧付き) である場合、その双対もリー代数 (上の微分を誘導) および(右側で次数付きライプニッツ規則を使用して-括弧を まで拡張) です。 この概念は、およびで対称です(Roytenberg を参照)。 ここで、アンカー および括弧 付きで、は上記のおよびでの歪対称化です(およびと同等)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle [.,.]_{A}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle d_{A^{*}}}$${\displaystyle \wedge ^{*}A}$${\displaystyle d_{A^{*}}[X,Y]_{A}=[d_{A^{*}}X,Y]_{A}+[X,d_{A^{*}}Y]_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \wedge ^{*}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle E=A\oplus A^{*}}$${\displaystyle \rho (X+\alpha )=\rho _{A}(X)+\rho _{A^{*}}(\alpha )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=([X,Y]_{A}+{\mathcal {L}}_{\alpha }^{A^{*}}Y-\iota _{\beta }d_{A^{*}}X)+([\alpha ,\beta ]_{A^{*}}+{\mathcal {L}}_{X}^{A}\beta -\iota _{Y}d_{A}\alpha )}$。

分割符号の内積を持つクーラン代数体（例えば標準的なもの）が与えられた場合、ディラック構造は最大等方性積分可能ベクトル部分束、すなわち ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$${\displaystyle L\to M}$

${\displaystyle \langle L,L\rangle \equiv 0}$、

${\displaystyle \mathrm {rk} \,L={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rk} \,E}$、

${\displaystyle [\Gamma L,\Gamma L]\subset \Gamma L}$。

Courant によって発見され、Dorfman によって平行に示されたように、2 形式のグラフは最大等方性であり、さらに の場合にのみ積分可能です。つまり、2 形式は de Rham 微分に関して閉じており、つまり はプレシンプレクティック構造です。 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$${\displaystyle d\omega =0}$

2 番目のクラスの例は、のときのみグラフが最大等方性かつ積分可能である、つまり が上のポアソン双ベクトルである双ベクトルから生じます。 ${\displaystyle \Pi \in \Gamma (\wedge ^{2}TM)}$${\displaystyle [\Pi ,\Pi ]=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$

分割符号の内積を持つクーラン代数体を考えると、一般化複素構造は、複素化クーラン代数体におけるディラック構造であり、さらに次の性質を持つ。 ${\displaystyle L\to M}$

${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=0}$

ここで、 は複素化における標準複素構造に関する複素共役を意味します。 ${\displaystyle {\bar {\ }}}$

^{グアルティエリ[5]}によって詳細に研究されたように、一般化された複素構造は複素幾何学に類似した幾何学の研究を可能にします。

例としては、プレシンプレクティック構造やポアソン構造の他に、複素構造 のグラフもあります。 ${\displaystyle J:TM\to TM}$

• Roytenberg, Dmitry (1999). 「クーラン代数、導出括弧、さらにはシンプレクティック超多様体」. arXiv : math.DG/9910078 .