CRマニホールド

埋め込みCR多様体（複素空間における超曲面と楔形の辺）の理論と抽象CR多様体（複素分布Lで与えられるもの）の理論には明確な違いがある。形式的な幾何学的特徴の多くは類似している。これらには以下が含まれる。

• 凸性の概念（レヴィ形式によって提供される）
• ドルボー演算子に類似した正準微分演算子と、それに関連するコホモロジー（接線コーシー・リーマンまたは${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$-複雑な）。

埋め込みCR多様体は、コーシー・リーマン方程式に対するノイマン問題とディリクレ問題という、いくつかの追加的な構造も有している。

本稿ではまず、埋め込みCR多様体の幾何学について論じ、これらの構造を本質的に定義する方法を示し、次にそれらを抽象的な設定に一般化する。

埋め込みCR多様体は、まず第一に、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$複素化された接束のサブバンドルのペアを定義する${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$による：

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$反正則関数を消滅させる複素ベクトルから構成される。正則座標では：

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$正則関数を消滅させる複素ベクトルから構成される。座標系では：

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

また、ドルボー複合体の特徴的な消滅装置も関連する。

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$座標では、

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$座標では、

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

これらの外積は自明な表記Ω ^{( p , q )}で表され、ドルボー演算子とその複素共役は、以下の方法でこれらの空間間を写像します。

${\displaystyle \partial$ \Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

さらに、通常の外部微分は次のように分解される。${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$。

させて${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$実部分多様体であり、局所的には滑らかな実数値関数系の軌跡として定義される。

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

このシステムの微分方程式の複素線形部分が最大ランクを持つと仮定します。つまり、微分方程式が次の独立条件を満たすとします。

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

この条件は、陰関数定理を適用するために必要な条件よりも厳密に強いことに注意してください。具体的には、Mは実次元の多様体です。${\displaystyle 2n-k.}$MはCR 余次元kの一般的な埋め込み CR 部分多様体であると言います。形容詞「一般的」は接空間が ${\displaystyle TM}$の接空間を張る${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$複素数上。ほとんどの応用例ではk  =  1 であり、この場合、多様体は超曲面型であると言われます。

させて${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$すべての定義関数を消滅させるベクトルのサブバンドルとする${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$超曲面上の可積分分布に関する通常の考察によれば、Lは対合的であることに注意してください。さらに、独立条件は、Lが定数ランクn − kの束であることを意味します。  

以降、特に断りのない限り、 k  = 1と仮定する （つまり、CR 多様体は超曲面型である）。

M を単一の定義関数F = 0を持つ超曲面型の CR 多様体とする。Mのレヴィ形式は、エウジェニオ・エリア・レヴィにちなんで名付けられ、^{[ 3 ]}エルミート 2 形式である。

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

これにより、 L上の計量が決定されます。hが正定値である場合、 Mは厳密に擬凸であると言われます( F<0側から) ( hが正半定値の場合は擬凸)。 ^{[ 4 ]} CR 多様体の理論における解析的な存在と一意性の結果の多くは、擬凸性に依存しています。

この命名法は擬凸領域の研究に由来する。Mは(厳密に) 擬凸領域の境界である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$領域の側面から見たCR多様体として（厳密に）擬凸である場合に限る。（多重劣調和関数およびスタイン多様体を参照。）

Mを超曲面型の CR 多様体とする。レヴィ形式は、 L上で定義され、線束に値をとるベクトル値 2 形式である。

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

によって与えられた

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h は、積分可能性条件により、 vとwがLのセクションにどのように拡張されるかに依存しないため、 L上の半双線形形式を定義します。この形式は、バンドル上のエルミート形式に拡張されます。${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$同じ表現で。拡張形は、レヴィ形と呼ばれることもある。

レヴィ形式は、双対性の観点からも特徴づけることができる。Vを消滅させる複素余接束の直線部分束を考える。

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

各局所セクション α ∈ Γ( H ₀ M ) に対して、

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

h _αは α に関連付けられた複素数値エルミート形式です。1形式${\displaystyle \alpha }$実在する。複素超平面束${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$は実超平面束の複素化であり、${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\ker \alpha }$厳密に擬凸の場合、この束は接触構造を定義します。${\displaystyle M}$、 と${\displaystyle \alpha }$接触フォーム。接触フォームの等角クラスは明確に定義されている。

接触形式の選択によりベクトル場が定義される。${\displaystyle T}$接触構造に対して横方向、${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$このベクトル場はリープベクトル場と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle i_{T}d\alpha =0,\quad \alpha (T)=1}$。

多様体が超曲面型でない場合、レヴィ形式の一般化が存在し、その場合、形式は線束ではなくベクトル束の値をとるようになる。この場合、レヴィ形式というよりは、構造に対するレヴィ形式の集合について語ることができる。

強擬凸型の抽象CR多様体上では、レヴィ形式は擬エルミート計量を生み出す。${\displaystyle L}$。 もし${\displaystyle Z,W\in L}$すると、エルミート内積を次のように定義します^{[ 5 ]}

${\displaystyle \langle Z,W\rangle ={\frac {1}{i}}d\alpha (Z,{\overline {W}})}$。

これは正則接ベクトルのエルミート計量のみを定義するものであり、退化しています。これを拡張して実接空間上のリーマン計量を定義することができます。${\displaystyle TM}$任意のベクトル場を観察することによって${\displaystyle X\in TM}$次のように表現できます

${\displaystyle X=Z_{X}+{\overline {Z}}_{X}+a_{X}T{\text{ where }}Z_{X}\in L,a_{X}\in {\mathbb {R} }}$; もし ${\displaystyle X,Y\in TM{\text{ then }}\langle X,Y\rangle =\Re \langle Z_{X},Z_{W}\rangle +a_{X}a_{Y}}$。

これはリーマン計量を定義する${\displaystyle TM}$。レヴィ形式は投影の長さを与える。${\displaystyle [v,{\overline {w}}]}$で${\displaystyle T}$-方向。

この計量を用いると、接続とねじれ、および関連する曲率テンソル（例えば、リッチ曲率とスカラー曲率）を定義できます。これにより、 David JerisonとJohn Leeによって最初に研究された類似の CR Yamabe 問題が生じます。CR 多様体に関連付けられた接続は、Sidney M. Websterが等価性問題の研究に関する論文で最初に定義および研究し、また、独立して Tanaka によっても定義および研究されました。^{[ 6 ]}これらの概念の説明は、記事で見つけることができます。^{[ 7 ] [ 5 ]}厳密に擬凸な CR 多様体には、接触形式の選択とは独立して定義される標準的なCartan 接続もあります。この接続は、3 次元では Cartan によって、より高次元ではSS ChernとJ. Moserによって導入されました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}カルタン・チェルン・モーザー接続とその曲率はCR微分同相写像の下で不変である。

CR幾何学の基本的な問いの一つは、抽象的なCR構造を備えた滑らかな多様体が、ある空間に埋め込まれた多様体として実現できるのはいつか、という問いである。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$したがって、多様体を埋め込むだけでなく、抽象多様体を埋め込むマップがグローバル埋め込みにおいて${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$埋め込み多様体の誘導CR構造を引き戻さなければならない（それは、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) 引き戻し CR 構造が抽象 CR 構造と一致するようにする。このようなマップの座標関数は CR 関数であり、つまりヌル空間にある。${\displaystyle {\bar {\partial }}_{b}}$-演算子。このヌル空間が点ごとの乗算を持つ代数であることは容易に示すことができる。局所的埋め込み可能性と大域的埋め込み可能性の両方の問題を検討することができる。

Louis Boutet de Monvel ^{[ 11 ]}は、抽象的に定義されたコンパクトで強擬凸な実次元 5 以上 CR 多様体がグローバルに埋め込み可能であることを証明しました。彼の研究は、${\displaystyle \Box _{b}}$-演算子（下記参照）は関数に作用し、閉域を持ちます。${\displaystyle L^{2}}$そうすれば、CR多様体はグローバルに埋め込み可能となる。

次元3では、グローバル埋め込み可能性に障害がある。3つの球面上の標準的なCR構造${\displaystyle S^{3}}$複素ベクトル場によって張られる。 ${\displaystyle {\overline {Z}}=z_{1}\partial _{{\overline {z}}_{2}}-z_{2}\partial _{{\overline {z}}_{1}}}$。 のために ${\displaystyle \epsilon \in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$、 と${\displaystyle |\epsilon |<1}$複素ベクトル場${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }={\overline {Z}}+\epsilon Z}$3次元球面上に抽象的なCR構造を定義するが、これらは大域的に埋め込み可能ではない。これらはしばしばロッシの例^{[ 12 ]}と呼ばれるが、ハンス・グラウエルトの初期の研究に遡り、アルド・アンドレオッティとユム・トン・シウの論文^{[ 13 ]}にも登場する。これらの例は、すべての点の近傍では局所的に埋め込み可能だが、大域的に埋め込み可能ではない。CR関数の代数は点を分離しない。バーンズ^{[ 14 ]}が示したように、すべての解は${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }f=0}$偶関数である。

ジョセフ・J・コーンは、グローバル埋め込み可能性がコーン・ラプラシアンを意味することを示した。 ${\displaystyle \Box _{b}}$（下記参照）関数に作用する範囲は閉じている${\displaystyle L^{2}}$^{[ 15 ]}これをBoutet de Monvelの結果と組み合わせると、コンパクトな厳密に擬凸なCR多様体のグローバル埋め込み可能性は、像の閉性に等しいことがわかります 。${\displaystyle \Box _{b}}$関数に作用する。したがって、閉域特性は${\displaystyle \Box _{b}}$CR不変である。

コンパクトな 3 次元多様体上の CR 構造の埋め込み可能な摂動の集合は、無限次元であり、かつ無限余次元であることに注意されたい。摂動項のフーリエ係数の正値条件の下で、Daniel Burns とCharles Epstein は、3 次元球面上の標準 CR 構造の小さな摂動に対するグローバル埋め込み可能性を証明した。^{[ 16 ]}実際、彼らは、CR 関数の代数全体が小さな「正の摂動」の下で安定的に変形することを示した。その後まもなく、Lempert は、コンパクトで厳密に擬凸な実超曲面上の CR 構造の任意の小さな埋め込み可能な摂動が、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$元の埋め込みの小さな摂動として埋め込むことができる。^{[ 17 ] [ 18 ]}論文^{[ 16 ]}では、埋め込み可能な正の摂動と埋め込み可能性に対する無限の障害を含む、そのような摂動の正規形も予想している。この正規形の存在はジョン・ブランド^{[ 19 ]}によって証明された。

次元 3 では、コンパクト多様体上に定義された抽象的な強擬凸 CR 構造のグローバル埋め込みを保証するCR 不変な非摂動条件がSagun Chanillo、Hung-Lin Chiu、Paul C. Yang ^{[ 20 ]}によって発見されました。CR Paneitz 作用素が非負で CR Yamabe 定数が正であるという仮定の下で、グローバル埋め込みが実現します。2 番目の条件は、抽象多様体の Webster 曲率が正の定数で下から抑えられることを要求することで、非 CR 不変条件に弱めることができます。これにより、著者らは Kohn のラプラシアンの最初の正の固有値に対する鋭い下限を得ることができます。この下限は、リーマン幾何学におけるコンパクト多様体のLaplace–Beltrami 作用素の最初の正の固有値に対するAndré Lichnerowiczの下限の CR 幾何学における類似物です。^{[ 21 ]}次元 3 における CR パネイツ演算子の非負性は、平地健吾によって最初に観測された実次元 3 の CR 多様体上の CR パネイツ演算子の共形共変性から、次の CR 不変条件である。^{[ 22 ]}パネイツ演算子の CR バージョン、いわゆるCR パネイツ演算子は、 C. ロビン グラハムとジョン リーの研究で初めて登場した。この演算子は、実次元 5 以上では共形共変であるとは知られておらず、実次元 3 でのみ共形共変である。実次元 5 以上では常に非負演算子である。^{[ 23 ]}

すべてのコンパクトに埋め込まれた CR 多様体が${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$非負のパネイツ作用素を持つ。これは、上で議論した埋め込み定理の逆問題のようなものだ。この方向で、ジェフリー・ケース、サグン・チャニロ、ポール・C・ヤンは安定性定理を証明した。つまり、コンパクトなCR多様体の族を埋め込みから始めると、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$そしてその家族のCR構造${\displaystyle J_{t}}$パラメータに関して実解析的に変化する${\displaystyle t,}$また、多様体の族の CR 山辺定数が正の定数によって一様に下から抑えられている場合、族の 1 つのメンバーの CR パナイツ作用素が非負であれば、族全体の CR パナイツ作用素は非負のままである。^{[ 24 ]}逆の問題は最終的に竹内雄也によって解決された。彼は、厳密に擬凸である埋め込みコンパクト CR-3 多様体の場合、この埋め込み多様体に関連付けられた CR パナイツ作用素は非負であることを証明した。^{[ 25 ]}

抽象的な CR 多様体を滑らかな多様体として実現する${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$これは一般に特異点を持つ可能性のある複素多様体を境界付けます。これは、F. Reese Harvey とH. Blaine Lawsonによる論文で研究された複素プラトー問題の内容です。^{[ 26 ]}また、 Stephen S.-T. Yauによる複素プラトー問題に関するさらなる研究もあります。^{[ 27 ]}

抽象的なCR構造の局所埋め込みは、 Louis Nirenbergの例（後述するChenとMei-Chi Shawの著書にもNirenbergの証明が掲載されている）により、実次元3では成り立たない。 ^{[ 28 ]} L. Nirenbergの例は、 Hans Lewyの解けない複素ベクトル場の滑らかな摂動と見なすことができる。反正則ベクトル場から始めることができる。${\displaystyle {\overline {L}}}$ハイゼンベルク群について

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

上記で定義されたベクトル場には、2 つの線形独立な第 1 積分があります。つまり、同次方程式には 2 つの解があります。

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

我々は実次元３の世界にいるため、形式的な積分可能性条件は単純に次のようになる。

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

これは自動です。簡単な計算でわかるように、レヴィ形式は厳密に正定値です。

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

ここで、正則ベクトル場Lは次のように与えられる。

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

線形独立な最初の積分により、CR構造をグラフとして実現できます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$によって与えられた

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

CR構造は、複合体構造の制限に他ならないことがわかる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$グラフに対して、ニレンバーグは単一の非零複素ベクトル場を構築する。${\displaystyle P,}$原点の近傍で定義される${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$彼は次に、もし${\displaystyle Pu=0}$、 それから${\displaystyle u}$は定数でなければならない。したがって、ベクトル場は${\displaystyle P}$第一積分を持たない。ベクトル場${\displaystyle P}$これは、上に示したハイゼンベルク群の反正則ベクトル場を滑らかな複素数値関数で摂動することによって生成される。${\displaystyle \phi }$以下に示すように：

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

したがって、この新しいベクトル場 P は定数以外の第一積分を持たないため、この摂動された CR 構造をグラフとして実現することは不可能である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$L. Nirenberg の研究は、Howard Jacobowitz とFrançois Trèvesによって一般的な結果に拡張されました。^{[ 29 ]}実次元 9 以上では、抽象的な厳密に擬凸なCR 構造の局所埋め込みは、倉西正武の研究によって真であり、実次元 7 では、赤堀の研究によって真です。 ^{[ 30 ]}倉西の証明の簡略化された説明は Webster によるものです。^{[ 31 ]}

実数次元5における局所埋め込みの問題は未解決のままである。

まず最初に、共境界演算子を定義する必要がある。${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$複素多様体の境界として生じるCR多様体の場合、この演算子は、${\displaystyle {\overline {\partial }}}$内部から境界へ。添え字bは、境界上にいることを思い出すためのものです。共境界演算子は、(0,p)形式を(0,p+1)形式に変換します。複素多様体の境界でなくても、抽象的なCR多様体に対して共境界演算子を定義することもできます。これは、ウェブスター接続を使用して行うことができます。^{[ 32 ]}共境界演算子${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$複合体を形成する、つまり${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$この複体は接線コーシー・リーマン複体またはコーン・ロッシ複体と呼ばれています。この複体の調査とこの複体のコホモロジー群の研究は、ジョセフ・J・コーンとヒューゴ・ロッシによる基礎的な論文で行われました。^{[ 33 ]}

接線CR複素数に関連するものとして、CR幾何学および多変数複素数における基本的な対象であるコーン・ラプラシアンがあります。これは次のように定義されます。

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

ここ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$は、の形式的随伴を表します。${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$に関して${\displaystyle L^{2}(M)}$体積形式は、CR構造に関連付けられた接触形式から導出できる。例えば、下記に引用するAmerican J.に掲載されたJM Leeの論文を参照のこと。Kohn Laplacianは(0,p)形式を(0,p)形式に変換することに注意。Kohn Laplacianによって消滅する関数はCR関数と呼ばれる。これらは正則関数の境界類似物である。CR関数の実部はCR多重調和関数と呼ばれる。Kohn Laplacian${\displaystyle \Box _{b}}$は非負で形式的に自己共役な演算子です。これは退化しており、そのシンボルが消滅する特性集合を持ちます。コンパクトで強擬凸な抽象 CR 多様体上では、無限大に発散し、かつゼロに近づく離散的な正の固有値を持ちます。カーネルは CR 関数で構成されているため、無限次元です。Kohn ラプラシアンの正の固有値が正の定数で下から抑えられている場合、Kohn ラプラシアンは閉域を持ち、その逆もまた然りです。したがって、上記の Kohn の結果を使用して埋め込み CR 構造について、強擬凸なコンパクト CR 構造が埋め込まれているのは、Kohn ラプラシアンの正の固有値が正の定数で下から抑えられている場合に限ると結論付けられます。Kohn ラプラシアンは常に CR 関数に対応するゼロの固有値を持ちます。

推定値${\displaystyle \Box _{b}}$そして${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$さまざまな設定のさまざまな関数空間でこれらの推定値が得られています。これらの推定値は、多様体が強く擬凸である場合に最も簡単に導出できます。なぜなら、その場合、多様体をハイゼンベルク群と十分高い次数で接触させることで置き換えることができるからです。次に、ハイゼンベルク群の群の性質とそれに伴う畳み込み構造を使用して、逆関数/パラメトリック関数または相対パラメトリック関数を書き下すことができます。${\displaystyle \Box _{b}}$[ ^{34 ]​}

具体的な例として${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ハイゼンベルク群には演算子を与えることができる。一般的なハイゼンベルク群を考える。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$また、群左不変でもある反正則ベクトル場を考えます。

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

すると、関数 u は (0,1) の形になります。${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

以来${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$関数上で消滅する場合、ハイゼンベルク群上の関数に対するコーン・ラプラシアンの式は次のようになります。

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

どこ

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

これらはハイゼンベルク群上の群左不変正則ベクトル場である。上記のコーン・ラプラシアンの式は次のように書き換えることができる。まず、次のことが容易に確認できる。

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

したがって、初歩的な計算により次の式が得られます。

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

右辺の最初の演算子は実数演算子であり、実際にはコーン・ラプラシアンの実数部です。これはサブ・ラプラシアンと呼ばれます。これは、ホルマンダー平方和演算子と呼ばれるものの主要な例です。 ^{[ 35 ] [ 36 ]}部分積分によってわかるように、明らかに非負です。一部の著者は、サブ・ラプラシアンを反対の符号で定義しています。この場合、具体的には次のようになります。

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

シンボル${\displaystyle \Delta _{b}}$は、サブ・ラプラシアンの伝統的な記号です。したがって

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$