メルカトル図法

前述のように、等方性条件は、${\displaystyle h=k=\sec \varphi }$半径 の地球上の点を考えます。${\displaystyle R}$経度付き​${\displaystyle \lambda }$⁠そして緯度⁠${\displaystyle \varphi }$ラジアンで表す。もし${\displaystyle \varphi }$ごくわずかな量だけ増加する${\displaystyle d\varphi }$⁠、ポイントが移動する⁠${\displaystyle R\,d\varphi }$半径の地球の経線に沿って${\displaystyle R}$⁠ 、したがって、 ⁠の対応する変化${\displaystyle y}$⁠は⁠${\displaystyle dy=hR\,d\varphi =R\sec \varphi \,d\varphi }$したがって​​${\displaystyle y'(\varphi )=R\sec \varphi }$同様に、増加させる${\displaystyle \lambda }$⁠による⁠${\displaystyle d\lambda }$ポイントを移動します${\displaystyle R\cos \varphi \,d\lambda }$地球の緯線に沿って、${\displaystyle dx=kR\cos \varphi \,d\lambda =Rd\lambda }$つまり、​${\displaystyle x'(\lambda )=R}$これら2つの方程式を統合する と$${\displaystyle x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}$$ と共に​${\displaystyle x(\lambda _{0})=0}$そして​​${\displaystyle y(0)=0}$⁠与える $${\displaystyle x(\lambda )=\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }R\,du,\qquad y(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }R\sec v\,dv.}$$ 値​${\displaystyle \lambda _{0}}$は、任意の中央子午線（多くの場合、本初子午線） の経度です。${\displaystyle \lambda _{0}=0}$正割関数の角度までの定${\displaystyle \varphi }$は、反グデルマン角またはランバート角と呼ばれる関連する双曲線角です。${\displaystyle \varphi }$⁠ , ^{[ 32 ] [ 33 ]}$${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )=R\,{\ln }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}.}$$ 垂直座標${\displaystyle y}$歴史的には、の南北部分と呼ばれていました。${\displaystyle \varphi }$図において、${\displaystyle y}$に対してプロットされる${\displaystyle \varphi }$⁠ケースの場合⁠${\displaystyle R=1}$⁠ 、それは⁠の反グデルマン行列式に等しい。${\displaystyle \varphi }$⁠ ; 極では無限大に近づく。数値は⁠${\displaystyle y}$⁠は通常、印刷された地図には表示されません。一部の地図では非線形の緯度スケールが示されていますが、多くの場合、地図には選択された経線と緯線のグリッドのみが表示されます。

等角写像であるメルカトル図法は、球面上の各点を実数座標のペアではなく、単一の複素数で表すことができるため、非常に便利です。このいわゆるリーマン球面上の各点を表す複素数は、立体投影によって球面を複素平面に等角写像することで得られます。そこから、メルカトル図法は複素対数になります。${\displaystyle z\mapsto \log z}$⁠、複素平面（対数が定義されていない原点を除く）から両端が無限に広がる円筒への等角写像。 [ ^{34 ]地理}座標から出発して${\displaystyle (\lambda ,\varphi )}$ラジアンで表すと、立体投影は複素数になります。${\displaystyle \textstyle z=e^{\lambda i}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}}$北極を原点にマッピングします。したがって、次の関数${\displaystyle M}$⁠は、地理座標の複素数値メルカトル図法です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}M(\lambda ,\varphi )&={\log }{\bigl (}e^{\lambda i}\,{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}\\[3mu]&={\log }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}+\lambda i.\end{aligned}}}$$ 結果として得られる複素数の虚部は経度を表し、実部は投影された負の緯度を表す。^{[ 34 ]}複素数と世界地図のプロットに関する一般的な慣習に合わせるために、4分の1回転させ、スケーリング係数を乗じることで任意に拡大縮小することができる。${\displaystyle -Ri}$⁠ .

経度を逆数として求める${\displaystyle x}$座標は自明です。緯度は の逆数として求められます。${\displaystyle y}$グーデルマン的として​​${\displaystyle y/R}$⁠ . ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =\operatorname {gd} \left({\frac {y}{R}}\right)=2\tan ^{-1}\left(\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right)-{\frac {\pi }{2}}.}$$

円角に関連する多くの恒等式があります${\displaystyle \varphi }$⁠反グーデルマン的⁠${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =y/R}$⁠、双曲線角であり、これを用いて一方の関数から他方の関数への別の表現を構築することができる。 ^{[ 33 ]}（グーデルマン関数を参照。）実数値の場合、 ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠、計算のための適切な表現は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )&=\sinh ^{-1}(\tan \varphi ),\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={\tan ^{-1}}{\bigl (}{\sinh(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}}$$ ここでsinhは双曲線正弦関数です。複素平面全体で有効な別の表現は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi &={2\tanh ^{-1}}{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }{\bigr )},\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={2\tan ^{-1}}{\bigl (}{\tanh {\tfrac {1}{2}}(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}}$$ ここでtanhは双曲線正接関数である。

上記の式は地球の半径を用いて表されている。${\displaystyle R}$マップの幅を直接扱う方が便利な場合が多いです。${\displaystyle W}$つまり、地図が地球全体を示していると仮定すると、${\displaystyle R=W/2\pi }$⁠ .

メルカトル図法のy座標は極で無限大になるため、地図は90度未満の緯度で切り詰める必要があります。これは対称的に行う必要はありません。メルカトルの原図は北緯80度、南緯66度で切り詰められており、その結果、ヨーロッパ諸国は地図の中心に向かって移動しています。彼の地図の縦横比は198 / 120 = 1.65です。さらに極端な切り詰めも使用されています。フィンランドの学校用地図帳は北緯約76度、南緯約56度で切り詰められており、縦横比は1.97です。

多くのウェブベースの地図作成では、アスペクト比が1のメルカトル図法のズーム可能なバージョンが使用されています。この場合、到達可能な最大緯度はy  =  ± ⁠ W / 2 ⁠、または同等に⁠ y / R ⁠ = πに対応する必要があります。対応する緯度を計算するには、逆変換式のいずれかを使用できます。   $${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]\approx \tan ^{-1}\left[11.5487\right]\approx 85.05113^{\circ }.}$$

（非割線投影の場合）赤道上での縮尺は1です。したがって、赤道上での定規の測定値の解釈は次のようになります。

上記のモデルでは、RF  = 1 / 300Mなので 、1 cmは 3,000  km に相当します。

他の平行線ではスケールファクターは sec φなので、

上記のモデルでは、緯度60度において 1cmは1,500kmに相当する。 

これは、緯線上の選択された終点間の最短距離ではありません。なぜなら、緯線は大円ではないからです。距離が短い場合は差は小さいですが、経度分離λが増加するにつれて差は大きくなります。緯線 60° 上で経度 10° 離れた 2 点 A と B の場合、緯線に沿った距離は、大円距離より約 0.5 km 大きくなります 。(緯線に沿った距離 AB は( a  cos φ ) λ  です。弦 AB の長さは2( a  cos φ ) sin λ / 2です   。この弦は中心で2arcsin(cos φ sin λ / 2 )に等しい角度をなしており、 A   と B の間の大円距離は2 a  arcsin(cos φ sin λ / 2 )です。 )経度分離が 180°の   極端な場合、緯線に沿った距離はその緯線の円周の 1/2 になります。つまり、10,007.5  km です。一方、これらの点間の測地線は、極を通る大円弧で、中心で 60° の角度をなしています。この弧の長さは、大円周の 6 分の 1、約 6,672  km です。その差は 3,338  km なので、縮尺係数の緯度による変化を補正した後でも、地図から定規で測った距離はかなり誤解を招くものとなります。

地図上の経線は地球上の大円ですが、連続的な縮尺の変化により、定規による測定だけでは経線上の遠方の点間の真の距離を求めることはできません。しかし、メルカトル図法1569年世界地図（シート3、9、15）やそれ以降のすべての海図のように、正確で細かい緯度目盛りが地図に記されており、そこから緯度を直接読み取ることができる場合、2つの緯度φ1とφ2間_{の経線距離}は単純に $${\displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}$$

終点の緯度を確実に決定できない場合は、定規距離に基づいて計算することで求めることができます。赤道から測った地図子午線上の終点の定規距離をy ₁とy ₂とすると、球面上のこれらの点間の真の距離は、逆メルカトル図法のいずれかの公式を使用して求められます。 $${\displaystyle m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}$$ ここで、R は地図の幅WからR  = ⁠ W / 2 π ⁠ で計算できます。たとえば、R  =  1の地図では、 y  =  0、1、2、3の値は、 φ  =  0°、50°、75°、84°の緯度に対応し、したがって、 地図上の 1 cm の連続する間隔は、地球上での緯度間隔 50°、25°、9°、および距離 5,560  km、2,780  km、1,000  km に対応します。

メルカトル図法において、経線に対して角度α の直線は​​等角航路です。α = π / 2 または 3 π / 2 の場合、等角航路は  緯線のいずれかに対応します。そのうちの 1 つ、赤道だけが大円です。α = 0またはπの場合、それは経線大円に対応します (地球を一周すると)。その他の値の場合、それは地球上で極から極まで螺旋を描き、すべての経線と同じ角度で交わるため、大円ではありません。^{[ 33 ]}このセクションでは、これらのケースのうち最後のケースのみを取り上げます。  

αが0でもπでもない場合、上記の微小要素の図は、緯度φとφ + δφの間の球面上の微小航路の長さがsec α δφであることを示しています。航路上で αは 一定である   ため、この式を積分すると、地球上の有限航路に対して次の式が得られます。 $${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .}$$

繰り返しますが、地図上の正確な緯度目盛りからΔφを直接読み取れる場合、緯度φ1とφ2を持つ地図上の点間の等角距離は上記の式で与えられます。そのような目盛りがない場合は、端点と赤道間の定規距離_y1と_y2から逆算して結果を _求めます_。$${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.}$$

これらの公式は球面上の航路距離を与えるものであり、真の距離とは大きく異なる場合があり、真の距離を求めるにはより高度な計算が必要となる。^{[ e ]}