フィッシャー情報量

情報幾何学において、フィッシャー情報計量^[1]は、滑らかな統計多様体、すなわち、共通の確率空間上で定義された確率測度である点を持つ滑らかな多様体上で定義できる特定のリーマン計量である。これは、測定値間の情報差を計算するために使用できる。^{[説明が必要]}

この計量はいくつかの点で興味深い。チェンツォフの定理によれば、統計モデル上のフィッシャー情報計量は、十分な統計量の下で不変である唯一のリーマン計量（再スケーリングを除く）である。^{[2] [3]}

これは、相対エントロピーの無限小形式（すなわち、カルバック・ライブラー距離）であると理解することもできます。具体的には、これは距離のヘッセ行列です。あるいは、適切な変数変更後の平坦空間ユークリッド計量によって誘導される計量として理解することもできます。複素射影ヒルベルト空間に拡張されると、これはフビニ・スタディ計量になります。混合状態の観点から記述されると、これは量子ビュール計量です。

純粋に行列として考えた場合、これはフィッシャー情報行列として知られています。観測されたランダム変数の観点から隠れたパラメータを推定するために使用される測定技術として考えた場合、これは観測情報として知られています。

座標 の統計多様体を考えると、尤度 、つまり x の確率密度を の関数として表すと次の 式が得られます。ここで は、( 離散または連続)ランダム変数Xの値空間Rから抽出されます。尤度は では正規化されますが、 では正規化されません。 ${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n})}$${\displaystyle p(x\mid \theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \int _{R}p(x\mid \theta )\,dx=1}$

フィッシャー情報指標は次の形式をとる: ^{[説明が必要]}

${\displaystyle g_{jk}(\theta )=-\int _{R}{\frac {\partial ^{2}\log p(x\mid \theta )}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}p(x\mid \theta )\,dx.}$

積分はR内のすべての値xに対して実行されます。変数はリーマン多様体上の座標になります。ラベルjとk は多様体上のローカル座標軸を表します。 ${\displaystyle \theta }$

確率がギブス測度から導かれる場合、任意のマルコフ過程の場合と同様に、 はラグランジュ乗数であるとも理解できます。ラグランジュ乗数は、ある量の期待値を一定に保つなどの制約を強制するために使用されます。n個の異なる期待値を一定に保つn 個の制約がある場合、多様体の次元は元の空間よりもn次元小さくなります。この場合、計量はパーティション関数から明示的に導くことができます。導出と議論はそこで示されています。 ${\displaystyle \theta }$

情報理論から代入すると、上記の定義と同等の形式は次のようになります。 ${\displaystyle i(x\mid \theta )=-\log {}p(x\mid \theta )}$

${\displaystyle g_{jk}(\theta )=\int _{R}{\frac {\partial ^{2}i(x\mid \theta )}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}p(x\mid \theta )\,dx=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}i(x\mid \theta )}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}\right].}$

同値形式が上記の定義に等しいことを示すために、

${\displaystyle \mathrm {E} \left[{\frac {\partial \log {}p(x\mid \theta )}{\partial \theta _{j}}}\right]=0}$

両面に 塗ります。${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}}$

フィッシャー情報計量は、指数族に対して特に単純であり、 となります。計量は、自然パラメータ を使用している場合、特に単純な形式になります。この場合、となるため、計量は となります。 $${\displaystyle p(x\mid \theta )=\exp \!{\bigl [}\ \eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\ {\bigr ]}}$$$${\displaystyle g_{jk}(\theta )={\frac {\partial ^{2}A(\theta )}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}-{\frac {\partial ^{2}\eta (\theta )}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}\cdot \mathrm {E} [T(x)]}$$${\displaystyle \eta (\theta )=\theta }$${\displaystyle \nabla _{\theta }^{2}A}$

多変量正規分布を 精度行列と します。${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}$$${\displaystyle -\ln p(x|\mu ,\Sigma )={\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )+{\frac {1}{2}}\ln \det(\Sigma )+C}$$${\displaystyle T=\Sigma ^{-1}}$

メトリックは、 のため、平均部分と精度/分散部分に分割されます。平均部分は精度行列です: 。精度部分は です。 ${\displaystyle g_{\mu ,\Sigma }=0}$${\displaystyle g_{\mu _{i},\mu _{j}}=T_{ij}}$${\displaystyle g_{T,T}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{T}^{2}\ln \det T}$

特に、一変数正規分布の場合、となります。 とすると、 となります。 これがポアンカレ半平面モデルです。 ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}t&0\\0&(2t^{2})^{-1}\end{bmatrix}}=\sigma ^{-2}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x=\mu /{\sqrt {2}},y=\sigma }$${\displaystyle ds^{2}=2{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}}$

2 つの単変量正規分布間の最短経路 (測地線) は、軸に平行か、軸を中心とした半円弧のいずれかになります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu /{\sqrt {2}}}$

測地線接続の公式は であり、弧長パラメータ化は です。 ${\displaystyle \delta _{\mu _{0}},\delta _{\mu _{1}}}$$${\displaystyle \phi \mapsto {\mathcal {N}}\left({\frac {\mu _{0}+\mu _{1}}{2}}+{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{2}}\cos \phi ,\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi \right)}$$${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{2{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle s={\sqrt {2}}\ln \tan(\phi /2)}$

あるいは、この計量は相対エントロピーの2次導関数またはカルバック・ライブラー距離として得ることができる。^[4]これを得るには、互いに無限に近い 2つの確率分布とを考慮する。${\displaystyle P(\theta )}$${\displaystyle P(\theta _{0})}$

${\displaystyle P(\theta )=P(\theta _{0})+\sum _{j}\Delta \theta ^{j}\left.{\frac {\partial P}{\partial \theta ^{j}}}\right|_{\theta _{0}}}$

のj方向への変化は極めて小さい。すると、カルバック・ライブラー距離は のときに絶対最小値0を持つので、の 2次までの展開は次のように表される。${\displaystyle \Delta \theta ^{j}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }[P(\theta _{0})\|P(\theta )]}$${\displaystyle P(\theta )=P(\theta _{0})}$${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$

${\displaystyle f_{\theta _{0}}(\theta ):=D_{\mathrm {KL} }[P(\theta _{0})\|P(\theta )]={\frac {1}{2}}\sum _{jk}\Delta \theta ^{j}\Delta \theta ^{k}g_{jk}(\theta _{0})+\mathrm {O} (\Delta \theta ^{3})}$。

対称行列は正（半）定値であり、極値点における関数のヘッセ行列です。これは直感的に次のように考えることができます。「統計微分多様体上の 2 つの極小に近い点間の距離は、それらの点間の情報差です。」 ${\displaystyle g_{jk}}$${\displaystyle f_{\theta _{0}}(\theta )}$${\displaystyle \theta _{0}}$

ルッペイナー計量とワインホールド計量は、平衡統計力学で見られるギブス分布に対して計算されるフィッシャー情報計量である。^{[5] [6]}

リーマン多様体上の曲線の作用は次のように表される。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\frac {\partial \theta ^{j}}{\partial t}}g_{jk}(\theta ){\frac {\partial \theta ^{k}}{\partial t}}dt}$

ここでの経路パラメータは時間tである。この動作は、システムが時間aから時間bに移動するときの自由エントロピーの変化を与えると理解できる。^[6]具体的には、

${\displaystyle \Delta S=(b-a)A\,}$

自由エントロピーの変化として。この観察は化学および加工産業で実際の応用につながっています^[要出典]：システムの自由エントロピーの変化を最小限に抑えるためには、プロセスの望ましいエンドポイント間の最小測地線経路をたどる必要があります。コーシー・シュワルツの不等式により、測地線はエントロピーを最小化します。この不等式は、作用が曲線の長さの2乗以下に制限されることを示しています。

フィッシャー計量により、作用と曲線の長さをジェンセン・シャノン距離と関連付けることもできる。^[6]具体的には、

${\displaystyle (b-a)\int _{a}^{b}{\frac {\partial \theta ^{j}}{\partial t}}g_{jk}{\frac {\partial \theta ^{k}}{\partial t}}\,dt=8\int _{a}^{b}dJSD}$

ここで、被積分関数dJSDは、経路に沿ったジェンセン・シャノン距離の微小変化であると理解される。同様に、曲線の長さについては、

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\frac {\partial \theta ^{j}}{\partial t}}g_{jk}{\frac {\partial \theta ^{k}}{\partial t}}}}\,dt={\sqrt {8}}\int _{a}^{b}{\sqrt {dJSD}}}$

つまり、ジェンセン・シャノン ダイバージェンスの平方根は、フィッシャー メトリック (8 の平方根で割ったもの) に等しいということです。

離散確率空間、つまり有限のオブジェクト集合上の確率空間では、フィッシャー計量は、適切な変数変換を行った後、単位球面の正の直交座標（例えば、 の「象限」 ）に制限されたユークリッド計量であると理解できます。^[7]${\displaystyle R^{2}}$

点によってパラメータ化された、次元N +1の平坦なユークリッド空間を考える。ユークリッド空間の計量は次のように与えられる。 ${\displaystyle y=(y_{0},\cdots ,y_{n})}$

${\displaystyle h=\sum _{i=0}^{N}dy_{i}\;dy_{i}}$

ここで は1 形式であり、余接空間の基底ベクトルです。を接空間の基底ベクトルとして書き表すと、 ${\displaystyle \textstyle dy_{i}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}$

${\displaystyle dy_{j}\left({\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right)=\delta _{jk}}$、

ユークリッド計量は次のように書ける。

${\displaystyle h_{jk}^{\mathrm {flat} }=h\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right)=\delta _{jk}}$

上付き文字「flat」は、座標形式で記述する場合、このメトリックがフラット空間座標を基準としていることを思い出させるためにあります。 ${\displaystyle y}$

( N + 1)次元ユークリッド空間に埋め込まれたN次元単位球面は 次のように定義される。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}y_{i}^{2}=1}$

この埋め込みにより球面上の計量が誘導され、それは周囲空間上のユークリッド計量から直接継承されます。座標が球面上に位置するように制約されることに注意すれば、これは上記とまったく同じ形式になります。これは、たとえばラグランジュ乗数法を使用して行うことができます。

ここで変数の変化を考えてみましょう。球面条件は確率正規化条件になります。 ${\displaystyle p_{i}=y_{i}^{2}}$

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$

一方、指標は

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\sum _{i}dy_{i}\;dy_{i}=\sum _{i}d{\sqrt {p_{i}}}\;d{\sqrt {p_{i}}}\\&={\frac {1}{4}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}\;dp_{i}}{p_{i}}}={\frac {1}{4}}\sum _{i}p_{i}\;d(\log p_{i})\;d(\log p_{i})\end{aligned}}}$

最後のものは、フィッシャー情報メトリックの 4 分の 1 として認識できます。プロセスを完了するには、確率が多様体変数のパラメトリック関数であること、つまり であることを思い出してください。したがって、上記はパラメーター多様体上のメトリックを誘導します。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p_{i}=p_{i}(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{4}}\sum _{i}p_{i}(\theta )\;d(\log p_{i}(\theta ))\;d(\log p_{i}(\theta ))\\&={\frac {1}{4}}\sum _{jk}\sum _{i}p_{i}(\theta )\;{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{j}}}{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{k}}}d\theta _{j}d\theta _{k}\end{aligned}}}$

または、座標形式では、フィッシャー情報メトリックは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{jk}(\theta )=4h_{jk}^{\mathrm {fisher} }&=4h\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}},{\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)\\&=\sum _{i}p_{i}(\theta )\;{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{j}}}\;{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{k}}}\\&=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{j}}}\;{\frac {\partial \log p_{i}(\theta )}{\partial \theta _{k}}}\right]\end{aligned}}}$

ここで、以前と同様に、

${\displaystyle d\theta _{j}\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)=\delta _{jk}.}$

上付き文字「fisher」は、この表現が座標に適用可能であることを思い出させるためにあります。一方、非座標形式はユークリッド（平坦空間）計量と同じです。つまり、統計多様体上のフィッシャー情報計量は、変数を適切に変更した後、球面の正の直交座標に制限されたユークリッド計量の単純な（4倍）ものです。 ${\displaystyle \theta }$

ランダム変数が離散的ではなく連続的である場合、議論は依然として成り立ちます。これは、2つの異なる方法のいずれかで見ることができます。1つの方法は、すべての操作が明確に定義され、収束するなどであることを確認するために、適切に制限を定義するなど、上記のすべての手順を無限次元空間で注意深く書き直すことです。もう1つの方法は、グロモフ[7]が指摘したように、カテゴリ理論^的アプローチを使用することです。つまり、上記の操作は確率のカテゴリでも有効であることに注意することです。ここで、そのようなカテゴリはラドン-ニコディム特性を持つこと、つまり、ラドン-ニコディム定理がこのカテゴリで成り立つことに注意する必要があります。これにはヒルベルト空間が含まれます。これらは平方積分可能であり、上記の操作では、平方の合計を平方の積分で安全に置き換えるのに十分です。 ${\displaystyle p}$

ユークリッド計量からフィッシャー計量を導く上記の操作は、複素射影ヒルベルト空間に拡張できる。この場合、フビニ・スタディ計量が得られる。^[8]これはおそらく驚くべきことではない。フビニ・スタディ計量は量子力学において情報を測定する手段を提供するからである。ビュール計量 はヘルストローム計量とも呼ばれ、フビニ・スタディ計量と同一であるが^{[8]、後者は通常以下のように}純粋状態で記述されるのに対し、ビュール計量は混合状態で記述される。複素座標 の位相をゼロに設定することにより、上記とまったく同じように、フィッシャー情報計量のちょうど 4 分の 1 が得られる。

まず、同じトリックを使って、極座標で書かれた確率振幅を構築します。

${\displaystyle \psi (x;\theta )={\sqrt {p(x;\theta )}}\;e^{i\alpha (x;\theta )}}$

ここで、は複素数値の確率振幅であり、は厳密に実数である。前の計算は と設定することで得られる。確率が単体内にあるという通常の条件、すなわち ${\displaystyle \psi (x;\theta )}$${\displaystyle p(x;\theta )}$${\displaystyle \alpha (x;\theta )}$${\displaystyle \alpha (x;\theta )=0}$

${\displaystyle \int _{X}p(x;\theta )\,dx=1}$

は、二乗振幅を正規化するという考えによって同等に表現されます。

${\displaystyle \int _{X}\vert \psi (x;\theta )\vert ^{2}\,dx=1}$

が実際の場合、これは球の表面です。 ${\displaystyle \psi (x;\theta )}$

フビニ・スタディ計量は、量子力学のブラケット記法を用いて無限小形式で書かれ、

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \mid \delta \psi \rangle }{\langle \psi \mid \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \mid \psi \rangle \;\langle \psi \mid \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \mid \psi \rangle }^{2}}}.}$

この表記では、測度空間X全体にわたる積分は次のように表される。 ${\displaystyle \langle x\mid \psi \rangle =\psi (x;\theta )}$

${\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle =\int _{X}\phi ^{*}(x;\theta )\psi (x;\theta )\,dx.}$

この表現は無限小変化として理解できる。つまり、余接空間における1形式として理解できる。無限小表記を用いると、上記の確率の極形式は単純に ${\displaystyle \vert \delta \psi \rangle }$

${\displaystyle \delta \psi =\left({\frac {\delta p}{2p}}+i\delta \alpha \right)\psi }$

上記をFubini-Studyメトリックに代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}={}&{\frac {1}{4}}\int _{X}(\delta \log p)^{2}\;p\,dx\\[8pt]{}&+\int _{X}(\delta \alpha )^{2}\;p\,dx-\left(\int _{X}\delta \alpha \;p\,dx\right)^{2}\\[8pt]&{}+{\frac {i}{2}}\int _{X}(\delta \log p\delta \alpha -\delta \alpha \delta \log p)\;p\,dx\end{aligned}}}$

上記の を設定すると、最初の項がフィッシャー情報計量（の 4 分の 1）であることが明らかになります。上記の完全な形式は、標準リーマン幾何学の表記法に変更して、計量が接空間に作用する対称2 形式になるようにすることで、少し明確になります。表記法の変更は、およびを置き換え、積分が単なる期待値であることに注意してください。つまり、 ${\displaystyle \delta \alpha =0}$${\displaystyle \delta \to d}$${\displaystyle ds^{2}\to h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h={}&{\frac {1}{4}}\mathrm {E} \left[(d\log p)^{2}\right]+\mathrm {E} \left[(d\alpha )^{2}\right]-\left(\mathrm {E} \left[d\alpha \right]\right)^{2}\\[8pt]{}&+{\frac {i}{2}}\mathrm {E} \left[d\log p\wedge d\alpha \right]\end{aligned}}}$

虚数項はシンプレクティック形式であり、ベリー位相または幾何位相です。指数表記では、メトリックは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{jk}={}&h\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}},{\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)\\[8pt]={}&{\frac {1}{4}}\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \log p}{\partial \theta _{j}}}{\frac {\partial \log p}{\partial \theta _{k}}}\right]\\[8pt]{}&+\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{j}}}{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{k}}}\right]-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{j}}}\right]\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{k}}}\right]\\[8pt]&{}+{\frac {i}{2}}\mathrm {E} \left[{\frac {\partial \log p}{\partial \theta _{j}}}{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{k}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial \theta _{j}}}{\frac {\partial \log p}{\partial \theta _{k}}}\right]\end{aligned}}}$

ここでも、 と設定することで、最初の項がフィッシャー情報計量（の 4 分の 1）であることが明確にわかります。同様に、フビニ–スタディ計量は、平坦なユークリッド計量の複素拡張によって誘導される複素射影ヒルベルト空間上の計量として理解できます。これとビュール計量の違いは、ビュール計量が混合状態で記述されることです。 ${\displaystyle \alpha =0}$

もう少し形式的で抽象的な定義としては、次のようになる。^[9]

X を有向多様体とし、 をX 上の測度とします。同様に、を 上の確率空間とし、シグマ代数と確率 とします。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \Omega =X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Sigma }$${\displaystyle P=\mu }$

Xの統計多様体 S ( X )は、 X上のすべての測度の空間として定義されます(シグマ代数は固定されています) 。この空間は無限次元であり、通常はフレシェ空間と見なされることに注意してください。S ( X )の点は測度です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$

点を選び、接空間を考える。フィッシャー情報計量は接空間 の内積となる。表記法を少し乱用すると、これを次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mu \in S(X)}$ ${\displaystyle T_{\mu }S}$

${\displaystyle g(\sigma _{1},\sigma _{2})=\int _{X}{\frac {d\sigma _{1}}{d\mu }}{\frac {d\sigma _{2}}{d\mu }}d\mu }$

ここで、および は接空間のベクトルです。つまり、 です 。表記の乱用は、接ベクトルを微分であるかのように書き、積分を書く際に余分なd を挿入することです。積分は、空間X全体にわたって測度を使用して実行されることを意図しています。この表記の乱用は、実際には測度論では完全に正常であるとみなされており、ラドン・ニコディム微分の標準表記です。 ${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in T_{\mu }S}$${\displaystyle \mu }$

積分が明確に定義されるためには、空間S ( X ) がラドン・ニコディム特性を持つ必要があり、より具体的には、接空間は二乗積分可能なベクトルに制限されます。二乗積分可能であることは、コーシー数列が弱位相の下で有限値に収束する、つまり空間にその極限点が含まれるということと同等です。ヒルベルト空間がこの特性を持つことに留意してください。

この計量の定義は、いくつかのステップで前の定義と同等であることがわかります。まず、滑らかに変化するパラメータ によってパラメータ化された測度のみを考慮して、 S ( X )の部分多様体を選択します。次に、が有限次元の場合、部分多様体も有限次元です。同様に、接空間は と同じ次元を持ちます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

多少言葉の乱用はあるものの、指数写像は接空間のベクトルから基になる多様体内の点への写像を提供することに留意されたい。したがって、 が接空間のベクトルである場合、 は点 に関連付けられた対応する確率である（指数写像を に平行移動した後）。逆に、点 が与えられた場合、対数は接空間内の点を与える（大まかに言えば、ここでも、原点 から点 に移動する必要があるため、詳細については元のソースを参照）。したがって、前述のより単純な定義で対数の外観が得られる。 ${\displaystyle \sigma \in T_{\mu }S}$${\displaystyle p=\exp(\sigma )}$${\displaystyle p\in S(X)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p\in S(X)}$${\displaystyle \mu }$

• クラメール・ラオ行き
• フィッシャー情報
• ヘリンガー距離
• 情報幾何学

• ガルベシュ・ラスクーティ・サヤン・ムケルジー (2014)。ミラー降下の情報幾何学https://arxiv.org/pdf/1310.7780.pdf

• Feng, Edward H.; Crooks, Gavin E. (2009). 「熱力学的長さの平衡から遠い測定」. Physical Review E. 79 ( 1 Pt 1): 012104. arXiv : 0807.0621 . Bibcode :2009PhRvE..79a2104F. doi :10.1103/PhysRevE.79.012104. PMID  19257090. S2CID  8210246.
• 甘利俊一（1985）「統計学における微分幾何的手法」、統計学講義ノート、Springer-Verlag、ベルリン。
• 天利俊一、長岡宏 (2000)情報幾何学の方法、数学モノグラフの翻訳、v. 191、アメリカ数学会。
• Paolo Gibilisco、Eva Riccomagno、Maria Piera Rogantin、Henry P. Wynn (2009) Algebraic and Geometric Methods in Statistics、Cambridge U. Press、Cambridge。