軸を中心に曲線を回転させて作成したサーフェス
曲線 x = 2 + cos( z )の一部を z 軸の 周りで回転させる トーラス は 、正方形であり、その対角線の 1 つに平行な軸を中心に回転します。 回転面は 、 ユークリッド 空間 において 、 曲線 （ 母線 ）を 回転 軸 （通常は 端点を除いて母線 と交差し ない）の周りを 1 回転 させることによって作られる面である。 [1]
この回転によって作られる面によって囲まれる体積が 回転立体で ある。
直線によって生成される回転面の例としては、 直線が軸に平行かどうかによって 円筒面 と 円錐面があります。任意の直径の周りを回転する円は球を生成し、その球は 大円に なります。また、円を円の内部と交差しない軸の周りで回転させると、それ自体と交差しない トーラス( リングトーラス )が生成されます 。
プロパティ 回転軸を通る平面によって作られる回転面の断面は 子午線断面 と呼ばれる。任意の子午線断面は、それと軸によって決定される平面内の母線とみなすことができる。 [2]
回転軸に垂直な平面によって作られる回転面の断面は円です。
双曲面 （1 枚または 2 枚）と 楕円放物 面の特殊なケースには回転面があります。これらは 、軸に垂直な
断面 がすべて円形である二次曲面として識別できます。
曲線が パラメトリック 関数 x ( t ) 、 y ( t ) で表され、 t が 区間 [ a 、 b ] にわたっており、回転軸が y 軸である場合、 表面積 A y は、端点a と bの間で x ( t ) が負にならない
という条件で 積分 によって与えられます 。この式は、 パップスの重心定理 の微積分学上の同等物です。 [3] この量は
ピタゴラスの定理
に由来し、 弧長の 式にあるように、曲線の円弧の小さな部分を表します 。量 2π x ( t ) は、パップスの定理で要求されるように、この小さな部分の経路（の重心）です。
あ
ええ
= 2 π
∫
1つの
b
x （ t ）
（
d x
d t
）
2
+
（
d ええ
d t
）
2
d t 、
{\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}
（
d x
d t
）
2
+
（
d ええ
d t
）
2
{\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}
同様に、回転軸が x 軸であり、 y ( t ) が負にならない場合、面積は [4]で与えられる。
あ
x
= 2 π
∫
1つの
b
ええ （ t ）
（
d x
d t
）
2
+
（
d ええ
d t
）
2
d t 。
{\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}
連続曲線が関数 y = f ( x ) 、 a ≤ x ≤ b で記述される場合、積分は
x 軸
の周りの回転に対しては となり 、
y 軸
の周りの回転に対しては となる （ a ≥ 0 の場合）。これらは上記の式から導かれる。 [5]
あ
x
= 2 π
∫
1つの
b
ええ
1 +
（
d ええ
d x
）
2
d x = 2 π
∫
1つの
b
ふ （ x ）
1 +
（
ふ ′
（ x ）
）
2
d x
{\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}
あ
ええ
= 2 π
∫
1つの
b
x
1 +
（
d ええ
d x
）
2
d x
{\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}
これは多変数積分からも導かれる。平面曲線が で与えられる場合 、対応する回転面は x 軸の周りを回転すると で与えられる直交座標を持つ 。 この場合、表面積は 表面積積分で与えられる。
⟨ x （ t ） 、 ええ （ t ） ⟩
{\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }
r
（ t 、 θ ） = ⟨ ええ （ t ） コス （ θ ） 、 ええ （ t ） 罪 （ θ ） 、 x （ t ） ⟩
{\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }
0 ≤ θ ≤ 2 π
{\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }
あ
x
=
∬
S
d S =
∬
[ 1つの 、 b ] × [ 0 、 2 π ]
‖
∂
r
∂ t
×
∂
r
∂ θ
‖
d θ
d t =
∫
1つの
b
∫
0
2 π
‖
∂
r
∂ t
×
∂
r
∂ θ
‖
d θ
d t 。
{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}
偏微分を計算すると が得られ
、外積を計算すると、 三角
関数の
恒等式が 使用された が得られます。この外積により、
同じ三角関数の恒等式が再び使用された が得られます。y 軸を中心に回転して得られる表面の微分も同様です。
∂
r
∂ t
=
⟨
d ええ
d t
コス （ θ ） 、
d ええ
d t
罪 （ θ ） 、
d x
d t
⟩
、
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}
∂
r
∂ θ
= ⟨ − ええ 罪 （ θ ） 、 ええ コス （ θ ） 、 0 ⟩
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }
∂
r
∂ t
×
∂
r
∂ θ
=
⟨
ええ コス （ θ ）
d x
d t
、 ええ 罪 （ θ ）
d x
d t
、 ええ
d ええ
d t
⟩
= ええ
⟨
コス （ θ ）
d x
d t
、 罪 （ θ ）
d x
d t
、
d ええ
d t
⟩
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }
sin
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}
A
x
=
∫
a
b
∫
0
2
π
‖
∂
r
∂
t
×
∂
r
∂
θ
‖
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
‖
y
⟨
y
cos
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
sin
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
d
y
d
t
⟩
‖
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
y
cos
2
(
θ
)
(
d
x
d
t
)
2
+
sin
2
(
θ
)
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
y
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
θ
d
t
=
∫
a
b
2
π
y
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}
例えば、単位半径 の球面は、 tが [0,π] の範囲にある とき、 曲線 y ( t ) = sin( t ) 、 x ( t ) = cos( t ) によって生成されます。したがって、その面積は
A
=
2
π
∫
0
π
sin
(
t
)
(
cos
(
t
)
)
2
+
(
sin
(
t
)
)
2
d
t
=
2
π
∫
0
π
sin
(
t
)
d
t
=
4
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}
半径r の球面曲線の場合 、 y ( x ) = √ r 2 − x 2 をx 軸の
周りに回転させると、
A
=
2
π
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
1
+
x
2
r
2
−
x
2
d
x
=
2
π
r
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
1
r
2
−
x
2
d
x
=
2
π
r
∫
−
r
r
d
x
=
4
π
r
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}
極小 回転面とは 、与えられた2点間の曲線の回転面のうち、 表面積を 最小にする面 のことである。 [6] 変分法 における基本的な問題は 、この極小回転面を生成する2点間の曲線を見つけることである。 [6]
回転の極小面 （ 回転面で ありながら極小面でもある面）は 平面 と カテノイド の2つだけである 。 [7]
座標式 によって記述される曲線を x 軸の周りで回転させることによって得られる回転面は、 最も簡単には によって記述できます。これにより 、 および による パラメータ化は として得られます 。代わりに、曲線を y 軸の周りで回転させると、曲線は によって記述され、パラメータ および による 式が得られます 。
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
2
+
z
2
=
f
(
x
)
2
{\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
(
x
,
f
(
x
)
cos
(
θ
)
,
f
(
x
)
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}
y
=
f
(
x
2
+
z
2
)
{\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}
(
x
cos
(
θ
)
,
f
(
x
)
,
x
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
x と y がパラメータ で定義されている場合、 および によるパラメータ化が得られます 。 および が の関数である場合 、曲線を x 軸の周りで回転して得られる回転面は で記述され 、曲線を y 軸の周りで回転して得られる回転面は で記述されます 。
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
θ
{\displaystyle \theta }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
t
{\displaystyle t}
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
cos
(
θ
)
,
y
(
t
)
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}
(
x
(
t
)
cos
(
θ
)
,
y
(
t
)
,
x
(
t
)
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}
測地線 子午線は 常に回転面上の測地線である。他の測地線は クレローの関係 式によって決まる。 [8]
トロイド 正方形から生成されたトロイド 回転軸が面と交差しない穴のある回転面は、トーラスと呼ばれます。 [9] たとえば、長方形をその辺の1つに平行な軸を中心に回転させると、中空の正方形断面のリングが生成されます。回転した図形が 円で ある場合、その物体は トーラス と呼ばれます。
参照
参考文献
^ Middlemiss、Marks、Smart。「15-4. 回転面」。 解析幾何学 （第3版）。378ページ。LCCN 68015472 。 ^ ウィルソン、WA; トレーシー、JI (1925)、 解析幾何学 （改訂版）、DCヒースアンドカンパニー、p. 227 ^ Thomas, George B. 「6.7: 回転面の面積、6.11: Pappus の定理」。 微積分 学 (第 3 版)。pp. 206– 209, 217– 219。LCCN 69016407。 ^ Singh, RR (1993). 工学数学 (第 6 版). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 。 ^ スウォコウスキー、アール・W. (1983)。 解析幾何学による微積分 （別版）。プリンドル、ウェーバー、シュミット。p. 617。ISBN 0-87150-341-7 。 ^ ab Weisstein, Eric W. 「回転の最小面」 。MathWorld 。 ^ Weisstein, Eric W. 「カテノイド」 。MathWorld 。 ^ プレスリー、アンドリュー。「第9章 測地線」 初等微分幾何学 、第2版、シュプリンガー、ロンドン、2012年、227〜230頁。 ^ Weisstein, Eric W. 「Toroid」. MathWorld .
外部リンク 
![{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e20c212de99b253a52f3442b8f74ea73d61ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad143220b39defd5b72caa82d8beb7b47d4946)
