バイベクター

数学において、バイベクトルまたは2 ベクトルは、外積代数または幾何代数における量であり、スカラーとベクトルの概念を拡張する。スカラーを次数 0 の量、ベクトルを次数 1 の量と考えると、バイベクトルは次数 2 である。バイベクトルは、数学や物理学の多くの分野で応用されている。バイベクトルは、 2 次元の複素数と、3 次元の擬似ベクトルとベクトル四元数の両方に関連している。バイベクトルは、任意の次元数の空間で回転を生成するために使用でき、そのような回転を分類するための便利なツールである。

幾何学的には、単純なバイベクトルは、有向平面セグメント（または有向平面セグメント）を特徴付けるものとして解釈できます。これは、ベクトルが有向線分を特徴付けるものと考えられるのと同じです。^[2]バイベクトルa ∧ b は、 aとbが張る平面の姿勢（または方向）を持ち、同じ姿勢の任意の基準平面セグメントのスカラー倍の面積を持ち（幾何代数では、大きさは辺aとbを持つ平行四辺形の面積に等しくなります）、向きは、aとbが張る平面内で b があるaの辺になります。^{[2] [3]} わかりやすく言えば、どの面も同じ平面に平行（同じ姿勢）で、同じ面積で、同じ向きであれば、同じバイベクトルを定義します（図を参照）。

二重ベクトルはベクトルの外積によって生成されます。つまり、2 つのベクトルaとbが与えられたとき、それらの外積a ∧ bは二重ベクトルであり、任意の二重ベクトルの和も同様です。すべての二重ベクトルがそのような和なしで外積として表現できるわけではありません。より正確には、外積として表現できる二重ベクトルは単純と呼ばれます。3 次元までのすべての二重ベクトルは単純ですが、それより高次元ではそうではありません。^[4] 2 つのベクトルの外積は交代であるため、a ∧ aはゼロ二重ベクトルであり、b ∧ aは二重ベクトルa ∧ bの負であり、反対の方向になります。二重ベクトルに直接関連する概念は、階数 2反対称テンソルと歪対称行列です。

双ベクトルは、1844年にドイツの数学者ヘルマン・グラスマンが外積代数で2つのベクトルの結果として初めて定義しました。ちょうどその前年、アイルランドでウィリアム・ローワン・ハミルトンが四元数を発見していました。ハミルトンはベクトル と双ベクトルの両方を造語し、後者は彼の著書「四元数に関する講義」（1853年）で、 ベクトル部分に双ベクトルを持つ双四元数を紹介しました。1888年にイギリスの数学者ウィリアム・キングドン・クリフォードがグラスマン代数に幾何積を追加し、ハミルトンとグラスマンの両方のアイデアを取り入れてクリフォード代数を設立して初めて、この記事の双ベクトルが生まれました。ヘンリー・フォーダーは1941年に外積代数を開発するために双ベクトルという用語を使用しました。^[5]

1890年代にジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドはベクトル解析を開発した。これには、四元数の乗算から導かれる別々の外積と内積が含まれていた。 ^{[6] [7] [8]}ベクトル解析と、ギブスとウィルソンの著書『ベクトル解析』の成功により、20世紀の数学と物理学の多くがベクトルの用語で定式化されたため、ハミルトンとクリフォードの洞察は長い間見過ごされてきた。ギブスは、3次元でのバイベクトルの役割を果たすためにベクトルを使用し、ハミルトンの意味でバイベクトルを使用したが、この用法は時々模倣されてきた。^{[9] [10] [11]今日、}バイ ベクトルは主に幾何代数、つまり二次形式を持つ実数または複素数ベクトル空間上のクリフォード代数のトピックとして研究されている。その復活はデイヴィッド・ヘステネスによって主導され、彼は他の人々とともに幾何代数を物理学のさまざまな新しい応用に応用しました。^[12]

この記事では、バイベクトルは、物理学のほとんどの分野に適用できる実幾何代数でのみ考慮されます。また、特に明記しない限り、すべての例はユークリッド計量を持ち、したがって正定値の 二次形式になります。

双ベクトルは、距離 と呼ばれることもある関連する二次形式を持つベクトル空間上の幾何積の定義から生じます。ベクトルa、b、cの場合、幾何積は次の特性を満たします。

結合性

${\displaystyle (\mathbf {ab} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {bc} )}$

左と右の分配性

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {ab} +\mathbf {ac} \\(\mathbf {b} +\mathbf {c} )\mathbf {a} &=\mathbf {ba} +\mathbf {ca} \end{aligned}}}$

スカラー平方

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=Q(\mathbf {a} )}$、ここでQ は二次形式であり、正定値である必要はありません。

結合法則から、a ( ab ) = a ² bはスカラー倍のbです。 b がa と平行でなく、したがってaのスカラー倍数でない場合、ab はスカラーになりません。しかし

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )={\tfrac {1}{2}}\left((\mathbf {a} +\mathbf { b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2}\right)}$

はスカラーの合計であり、したがってスカラーです。ベクトルによって形成される三角形の余弦定理から、その値は| a | | b | cos θです。ここでθはベクトル間の角度です。したがって、2 つのベクトル間のスカラー積と同じであり、同じように記述されます。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )。}$

これは対称でスカラー値であり、2 つのベクトル間の角度を決定するために使用できます。特に、aとbが直交する場合、積はゼロになります。

スカラー積が他の量の幾何積の対称部分として定式化できるのと同様に、外積（「ウェッジ」積または「累進」積と呼ばれることもある）は、その反対称部分として定式化できます。

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )}$

aとbでは反対称である

${\displaystyle \mathbf {b} \wedge \mathbf {a} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ba} -\mathbf {ab} )=-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=-\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$

さらに、

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba } )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=\mathbf {ab} }$

つまり、幾何積は対称スカラー積と交代外積の和です。

a ∧ bの性質を調べるために、次の式を考える。

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2},}$

ピタゴラスの三角関数の等式を用いると、( a ∧ b ) ²の値は

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}(\cos ^{2}\theta -1)=-\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta }$

負の平方の場合、それはスカラー量またはベクトル量にはなり得ないので、新しい種類のオブジェクトであるバイベクトルになります。その大きさは | a | | b | | sin θ |です。ここで、θ はベクトル間の角度であり、平行ベクトルの場合は 0 になります。

ベクトルと区別するために、ここではバイベクトルを太字の大文字で表記します。例:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \,,}$

ただし、ベクトルとバイベクトルはどちらも幾何代数の要素であるため、他の規則も使用されます。

幾何積（つまり、スカラーとベクトルの繰り返し和と幾何積をとることによって形成されるすべてのオブジェクト）によって生成される代数は、ベクトル空間上の幾何代数です。ユークリッドベクトル空間の場合、この代数はCl _n ( R )と書き表されます。ここで、nはベクトル空間R ⁿの次元です。Cl _n ( R )はベクトル空間であると同時に代数でもあり、R ⁿ内のベクトル間のすべての積によって生成されるため、すべてのベクトルとバイベクトルが含まれます。より正確には、ベクトル空間として、ベクトルとバイベクトルを線型部分空間として含みますが、部分代数としては含みません（2 つのベクトルの幾何積は一般に別のベクトルではないため）。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$

すべての2重ベクトルの空間は次元を持つ⁠1/2⁠ n ( n − 1 )であり、 ⋀ ² R ⁿと表記され、 ^[13]元のベクトル空間の 2番目の外冪である。

双ベクトルによって生成される部分代数は、幾何代数の偶部分代数であり、 Clと表記される。^[0]
_いいえ( R )。この代数は、スカラーとバイベクトルのすべての反復和と幾何積を考慮した結果です。次元は2 ^{n −1}で、線形部分空間として⋀ ² R ^{n を}含みます。2 次元と 3 次元では、偶数部分代数はスカラーとバイベクトルのみを含み、それぞれが特に重要です。2 次元では、偶数部分代数は複素数Cと同型ですが、3 次元では四元数Hと同型です。偶数部分代数は、任意の次元の 回転を含みます。

前のセクションで述べたように、単純なバイベクトル、つまり 2 つのベクトルaとbの外積であるベクトルの大きさは、| a | | b | sin θです。ここで、 θはベクトル間の角度です。これは| B |と表記され、Bはバイベクトルです。

一般的なバイベクトルの場合、大きさは、バイベクトルを空間⋀ ² R ^{n の}ベクトルとして考えることで計算できます。大きさがゼロの場合、バイベクトルのすべての成分はゼロであり、バイベクトルはゼロバイベクトルであり、幾何代数の要素としてスカラーゼロに等しくなります。

単位バイベクトルとは、単位の大きさを持つベクトルのことである。このようなバイベクトルは、任意の非ゼロのバイベクトルをその大きさで割ることによって得られる。

${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\left\vert \mathbf {B} \right\vert }}.}$

特に有用なのは、ベクトル空間の標準基底の積から形成される単位バイベクトルです。e iとe _{j が}異なる基底ベクトルである場合、積 e i ∧ e j はバイベクトルです。e i と e j は直交するため、e _i ∧ e _j = e _i e _jであり_、 e ij_と表記さ_れ、ベクトル_が単位_ベクトルである_ため、単位の大きさを持ちます。このようにして基底から生成されたすべてのバイベクトルの集合は、⋀ 2 R n の基底を形成します_。たとえば^、4^次元では、⋀ ² R ⁴の基底は ( e ₁ e ₂、e ₁ e ₃、e ₁ e ₄、e ₂ e 3 、e ₂ e ₄、e ₃ e ₄ ) または ( e ₁₂、e ₁₃、e ₁₄、e ₂₃、e ₂₄、e ₃₄ ) です。^[14]

2つのベクトルの外積は2ベクトルであるが、すべての2ベクトルが2つのベクトルの外積であるわけではない。例えば、4次元では2ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4} =\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{12}+\ mathbf {e} _{34}}$

2つのベクトルの外積として書くことはできない。2つのベクトルの外積として書くことができる2ベクトルは単純である。2次元と3次元ではすべての2ベクトルは単純であるが、4次元以上ではそうではない。4次元では、すべての2ベクトルは最大で2つの外積の和である。2ベクトルが実数平方を持つのはそれが単純である場合のみであり、単純な2ベクトルのみが有向平面領域によって幾何学的に表すことができる。^[4]

2つの2ベクトルAとBの幾何積は、

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} .}$

量A · Bはスカラー値のスカラー積であり、一方A ∧ Bは4次元以上で生じるグレード4の外積である。量A × Bはバイベクトル値の交換子積であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {AB} -\mathbf {BA} ),}$^[15]

二ベクトル空間⋀ ² R ⁿはR上のリー代数であり、交換子積はリー括弧である。二ベクトルの完全な幾何積は偶数部分代数を生成する。

特に興味深いのは、バイベクトルとそれ自身の積である。交換子積は反対称なので、積は次のように簡略化される。

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

双ベクトルが単純であれば、最後の項はゼロで積はスカラー値A · Aとなり、単純さのチェックに使用できる。特に双ベクトルの外積は4次元以上でのみ存在するため、2次元および3次元のすべての双ベクトルは単純である。^[4]

双ベクトルは、任意の次元数の歪対称行列と同型である。例えば、3次元の一般的な双ベクトルB ₂₃ e ₂₃ + B ₃₁ e ₃₁ + B ₁₂ e ₁₂は、次の行列に写像される。

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}0&B_{12}&-B_{31}\\-B_{12}&0&B_{23}\\B_{31}&-B_{23}&0\end{pmatrix}}.}$

これを両辺のベクトルで乗算すると、ベクトルと二ベクトルの積から外積を引いたものと同じベクトルが得られます。例としては、角速度テンソルがあります。

歪対称行列は指数写像を通じて行列式1の直交行列を生成する。特に、回転に関連付けられたバイベクトルに指数写像を適用すると、回転行列が得られる。上記の歪対称行列によって与えられる 回転行列M _Rは、

${\displaystyle M_{R}=\exp {M_{B}}.}$

M _Rによって記述される回転は、回転子Rによって記述される 回転と同じであり、

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}B},}$

行列M _{R は}回転子Rから直接計算することもできる。3次元では、これは次のように表される。

${\displaystyle M_{R}={\begin{pmatrix}(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}.}$

二重ベクトルは、回転行列の固有値に関連しています。回転行列Mが与えられている場合、その行列の特性方程式0 = det( M − λI )を解くことで、固有値を計算できます。代数の基本定理により、これには 3 つの根があります (固有ベクトルは 1 つだけ、つまり回転軸しかないため、そのうちの 1 つだけが実数です)。その他の根は、複素共役のペアでなければなりません。それらは単位絶対値を持つため、純虚数対数であり、回転に関連付けられた二重ベクトルの絶対値 (回転角度でもある) に等しくなります。複素固有値に関連付けられた固有ベクトルは二重ベクトルの平面内にあるため、2 つの平行でない固有ベクトルの外積は二重ベクトル (またはその倍数) になります。

幾何代​​数で座標を扱う場合、基底ベクトルを( e ₁、e ₂、 ...)と表記するのが一般的であり、ここでもこの表記法を使用します。

実2次元空間R ²のベクトルは、 a = a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂と表記される。ここで、a ₁とa ₂は実数、e ₁とe ₂は正規直交基底ベクトルである。このような2つのベクトルの幾何積は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})\\&=a_{1}b_{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}+a_{1}b_{2}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{2}b_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\\&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

これは、対称でスカラー値のスカラー積と、反対称で双ベクトル値の外部積に分割できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{aligned}}}$

2次元のすべての2ベクトルはこの形式、つまり2ベクトルe ₁ e ₂の倍数であり、ベクトルではなく2ベクトルであることを強調するためにe _{12と表記される。e 12}の大きさは1であり、

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}^{2}=-1,}$

したがって、これは単位バイベクトルと呼ばれます。単位バイベクトルという用語は他の次元でも使用できますが、2次元でのみ一意に定義され (符号を除く)、すべてのバイベクトルはe ₁₂の倍数です。代数の最高級要素であるe _{12 は}、記号iが与えられる擬似スカラーでもあります。

負の二乗と単位絶対値という特性により、単位バイベクトルは複素数の虚数単位と同一視できます。バイベクトルとスカラーはともに、複素数Cと同型な幾何代数の偶数部分代数を形成します。偶数部分代数の基底は(1, e ₁₂ )で、代数全体の基底は(1, e ₁ , e ₂ , e ₁₂ )です。

複素数は通常、座標軸と 2 次元ベクトルで識別されます。これは、複素数を幾何代数のベクトル要素と関連付けることを意味します。これには矛盾はありません。一般的なベクトルから複素数を取得するには、軸を実軸 (たとえば、e ₁₎として識別する必要があるためです。これはすべてのベクトルに掛け合わされて、偶数部分代数の要素を生成します。

複素数のすべての特性は、バイベクトルから導き出すことができますが、特に興味深いのが 2 つです。まず、複素数と同様に、バイベクトルの積は、したがって偶数部分代数は可換です。これは 2 次元でのみ当てはまるため、可換性に依存する 2 次元のバイベクトルの特性は、通常、高次元には一般化されません。

第二に、一般的なバイベクトルは次のように書ける。

${\displaystyle \theta \mathbf {e} _{12}=i\theta ,}$

ここでθは実数である。これを指数写像のテイラー級数に代入し、 e ₁₂ ² = −1の性質を用いると、オイラーの公式の双ベクトル版が得られる。

${\displaystyle \exp {\theta \mathbf {e} _{12}}=\exp {i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },}$

これを任意のベクトルに掛けると、原点を中心 に角度θ回転します。

${\displaystyle (x'\mathbf {e} _{1}+y'\mathbf {e} _{2})=(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})\exp {i\theta }.}$

2次元のベクトルと2重ベクトルの積は反可換なので、次の積はすべて同じ回転を生成する。

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} \exp {i\theta }=\exp(-i\theta )\,\mathbf {v} =\exp({-i\theta }/{2})\,\mathbf {v} \exp({i\theta }/{2}).}$

これらのうち、最後の積は高次元に一般化されるものである。必要な量は回転子と呼ばれ、記号Rで与えられる。したがって、2次元では角度θで回転する回転子は次のように書ける。

${\displaystyle R=\exp({-{\tfrac {1}{2}}i\theta })=\exp({-{\tfrac {1}{2}}\theta \mathbf {e} _{12}}),}$

そしてそれが生み出す回転は^[16]

${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$

3次元では、2つのベクトルの幾何積は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3})\\&=a_{1}b_{1}{\mathbf {e} _{1}}^{2}+a_{2}b_{2}{\mathbf {e} _{2}}^{2}+a_{3}b_{3}{\mathbf {e} _{3}}^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

これは、対称でスカラー値のスカラー積と、反対称で双ベクトル値の外部積に分割できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{31}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{aligned}}}$

3次元では、すべてのバイベクトルは単純であり、外積の結果です。単位バイベクトルe ₂₃、e ₃₁、e _{12 は}、バイベクトル空間⋀ ² R ³の基底を形成し、それ自体が3次元線形空間です。したがって、一般的なバイベクトルは次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{23}\mathbf {e} _{23}+A_{31}\mathbf {e} _{31}+A_{12}\mathbf {e} _{12},}$

ベクトルのように追加できる

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =(A_{23}+B_{23})\mathbf {e} _{23}+(A_{31}+B_{31})\mathbf {e} _{31}+(A_{12}+B_{12})\mathbf {e} _{12}.}$

掛け算すると次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =-A_{23}B_{23}-A_{31}B_{31}-A_{12}B_{12}+(A_{12}B_{31}-A_{31}B_{12})\mathbf {e} _{23}+(A_{23}B_{12}-A_{12}B_{23})\mathbf {e} _{31}+(A_{31}B_{23}-A_{23}B_{31})\mathbf {e} _{12}}$

これは次のように対称スカラー部分と反対称二ベクトル部分に分割できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &=-A_{12}B_{12}-A_{31}B_{31}-A_{23}B_{23}\\\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{23}B_{31}-A_{31}B_{23})\mathbf {e} _{12}+(A_{12}B_{23}-A_{23}B_{12})\mathbf {e} _{13}+(A_{31}B_{12}-A_{12}B_{31})\mathbf {e} _{23}.\end{aligned}}}$

3 次元の 2 つの 2 ベクトルの外積はゼロです。

2重ベクトルBは、その大きさと単位2重ベクトルの積として表すことができるので、| B |をβと書き、指数写像のテイラー級数を使用すると、次のように表すことができる。

${\displaystyle \exp {\mathbf {B} }=\exp({\beta {\frac {\mathbf {B} }{\beta }}})=\cos {\beta }+{\frac {\mathbf {B} }{\beta }}\sin {\beta }.}$

これはオイラーの公式の別のバージョンですが、3 次元の一般的なバイベクトルを使用します。2 次元とは異なり、バイベクトルは可換ではないため、可換性に依存する特性は 3 次元には適用されません。たとえば、一般に3 次元 (またはそれ以上) では exp( A + B ) ≠ exp( A ) exp( B )です。

3次元の完全な幾何代数Cl ₃ ( R )は基底( 1 , e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₂₃ , e ₃₁ , e ₁₂ , e ₁₂₃ )を持つ。要素e ₁₂₃は三ベクトルであり、幾何学の擬スカラーである。3次元の二ベクトルは、以下で説明するように、関連する擬ベクトル^[17]と同一視されることがある。

双ベクトルは幾何積の下では閉じていないが、偶数部分代数は閉じている。3次元では、それは幾何代数のすべてのスカラー要素と双ベクトル要素から構成されるため、一般要素は、例えばa + Aと書くことができる。ここで、aはスカラー部分、Aは双ベクトル部分である。それはClと書く。^[0]
₃基底は(1, e ₂₃ , e ₃₁ , e ₁₂ )である。偶数部分代数の 2 つの一般元の積は

${\displaystyle (a+\mathbf {A} )(b+\mathbf {B} )=ab+a\mathbf {B} +b\mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

偶数部分代数、つまりスカラーとバイベクトルからなる代数は、四元数Hと同型です。これは、基底を四元数基底と比較するか、または、バイベクトルスカラー積A · Bの負の積に関連する符号の変更を除いて四元数積と同一である上記の積から確認できます。他の四元数の特性も同様に幾何代数に関連付けたり、幾何代数から導出したりできます。

これは、四元数をスカラー部分とベクトル部分に分割する通常の方法は、スカラー部分とバイベクトル部分に分割する方が適切であることを示唆しています。このようにすると、四元数の積は単なる幾何積になります。また、3 次元の四元数を 2 次元の複素数に関連付けます。それぞれが次元の偶数部分代数と同型であり、この関係は高次元にも一般化されます。

回転ベクトルは、回転の軸と角度の表現から、3 次元で回転を表現する簡潔な方法です。最も簡潔な形式では、回転ベクトルは、回転軸である単位ベクトル ωと (符号付き)回転角θの積であるベクトルで構成され、全体的な回転ベクトルθωの大きさは (符号なし) 回転角に等しくなります。

回転に関連する四元数は

${\displaystyle q=\left(\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta },\omega \sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)}$

幾何代​​数では、回転はバイベクトルで表されます。これは、四元数との関係で見ることができます。回転面の単位バイベクトルをΩとし、回転角をθとします。回転バイベクトルはΩ θです。四元数は、バイベクトルΩ θの半分の指数にほぼ対応します。つまり、四元数の成分は、次の式のスカラー部分とバイベクトル部分に対応します。 $${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta }=\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }}$$

指数はべき級数で定義することができ、 Ωの2乗が−1であるという事実を使って簡単に評価できます。

したがって、回転はバイベクトルで表すことができます。四元数が幾何代数の要素であるのと同様に、四元数はその代数における指数写像によって関連付けられます。

双ベクトルΩ θ は指数写像を通じて回転を生成します。生成された偶数要素は、四元数と同じように、3 次元の一般的なベクトルを回転させます。 $${\displaystyle \mathbf {v} '=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta )\,\mathbf {v} \exp({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta ).}$$

2次元の場合と同様に、量exp(− ⁠1/2⁠ Ω θ )は回転子と呼ばれ、 Rと表記されます。量exp( ⁠1/2⁠ Ω θ ) はR ⁻¹となり、回転は次のように生成される。 $${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.}$$

これは 2 次元と同じですが、ここでは回転子が四元数と同型の 4 次元オブジェクトである点が異なります。これはすべての次元に一般化でき、回転子は単位の大きさを持つ偶数部分代数の要素であり、指数写像によって二重ベクトルから生成されます。回転子は回転群の二重被覆を形成するため、回転子Rと− R は同じ回転を表します。

回転ベクトルは軸ベクトルの一例である。軸ベクトル、または擬似ベクトルは、原点を通る反転、平面での反射、またはその他の方向反転線形変換によって、通常のベクトル（「極ベクトル」とも呼ばれる）に対して座標の符号が変化するという特別な特徴を持つベクトルである。^{[18]例としては、}トルク、角運動量、ベクトル磁場などの量が挙げられる。ベクトル代数で軸ベクトルを使用する量は、幾何学代数ではバイベクトルによって適切に表される。^[19] より正確には、基になる方向が選択されると、軸ベクトルは通常のベクトルと自然に同一視される。ホッジ双対は軸ベクトルとバイベクトル間の同型性を与えるので、各軸ベクトルはバイベクトルに関連付けられ、その逆も同様である。つまり、

${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} \,,\quad \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle {\star }}$はホッジスターです。基底方向が原点を通る反転によって逆転した場合、軸ベクトルと通常のベクトルの同一視とホッジ双対の両方の符号が変わりますが、バイベクトルは変化しません。あるいは、Cl ₃ ( R )の単位擬スカラー、i = e ₁ e ₂ e ₃を使用すると、次のようになります 。

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.}$

この積は単なる幾何積なので、使用するのは簡単です。しかし、（2次元の場合と同様に）単位擬似スカラーi は-1の2乗になるため、反対称となり、積の1つに負の値が必要になります。

この関係は、ベクトル値のクロス積やバイベクトル値の外部積などの演算にも適用されます。行列式として記述すると、同じように計算されます。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,}$

これらはホッジ双対によって次のように関連付けられます。

${\displaystyle {\star }(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )=\mathbf {a\times b} \,,\quad {\star }(\mathbf {a\times b} )=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \,.}$

二ベクトルには軸ベクトルに比べて多くの利点がある。軸ベクトルと極ベクトル、つまりそれらによって表される量の曖昧さをより明確にするため、どの演算が許可され、その結果が何であるかがより明確になる。たとえば、三重積の外積から得られる極ベクトルと軸ベクトルの内積は擬スカラーになるはずで、計算がベクトルと二ベクトルの外積として表現されれば、結果はより明らかになる。二ベクトルは他の次元にも一般化され、特に二ベクトルは、3次元だけでなく2次元でもトルクや角運動量などの量を記述するために使用できる。また、次のセクションで示すように、いくつかの点で幾何学的直感とよく一致する。^[20]

名前と代数からわかるように、バイベクトルの魅力の 1 つは、自然な幾何学的解釈ができることです。これはどの次元でも記述できますが、より高次元に適用する前に、より身近なオブジェクトと平行線を描くことができる 3 次元で記述するのが最適です。2 次元では、空間が 2 次元であるため平面が 1 つしかなく、すべてのバイベクトルはスケール係数のみが異なる平面に関連付けられているため、幾何学的解釈は簡単です。

すべてのバイベクトルは平面、より正確には有向平面セグメントとして解釈できます。3 次元では、バイベクトルには幾何学的に解釈できる 3 つの特性があります。

• 空間における平面の配置、正確には平面の姿勢（あるいは平面の回転、幾何学的方向、勾配）は、バイベクトル成分の比に関連付けられます。特に、3 つの基底バイベクトルe ₂₃、e ₃₁、e _{12 、またはそれらのスカラー倍数は、それぞれ}yz平面、zx平面、xy平面に関連付けられます。
• 二ベクトルの大きさは、平面部分の面積と関連しています。面積には特定の形状がないので、任意の形状を使用できます。角度の測定など、他の方法で表すこともできます。ただし、ベクトルが長さとして解釈される場合、二ベクトルは通常、次のように同じ単位の面積として解釈されます。
• ベクトルの方向と同様に、バイベクトルに関連付けられた平面には、平面内での方向、循環、または回転の感覚があり、平面内ではない視点から見ると、時計回りと反時計回りの2 つの値を取ります。これは、バイベクトルの符号の変化に関連付けられています。つまり、方向が反転すると、バイベクトルは否定されます。または、2 つのバイベクトルの姿勢と大きさが同じで方向が反対の場合、一方が他方の負になります。
• ベクトルの原点を0とする平行四辺形として想像すると、符号付き面積はベクトルの直交座標（a _x b _y − b _x a _y ）の行列式となる。^[21]

3次元では、すべての2ベクトルは2つのベクトルの外積で生成できます。2ベクトルB = a ∧ bの場合、 Bの大きさは

${\displaystyle |\mathbf {B} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

ここで、θ はベクトル間の角度です。これは、図に示すように、辺aとb を持つ平行四辺形の面積です。1 つの解釈は、 b がaに沿って動くにつれて、この面積がbによって掃引されるというものです。外積は反対称なので、 aとbの順序を逆にしてa をbに沿って動かすと、最初のベクトルの負の反対方向の二ベクトルが生成されます。二ベクトルa ∧ bの平面にはaとb の両方が含まれるため、どちらも平面に平行です。

双ベクトルと軸ベクトルはホッジ双対によって関連付けられます。実ベクトル空間では、ホッジ双対は部分空間をその直交補空間に関連付けます。そのため、双ベクトルが平面によって表される場合、それに関連付けられた軸ベクトルは単に平面の表面法線になります。平面には、両側に 1 つずつ、合計 2 つの法線があり、平面と双ベクトルに 2 つの可能な方向が与えられます。

これは、外積を外積に関連付けます。また、トルクや角運動量などの物理量を表すためにも使用できます。ベクトル代数では、通常、計算元の力、線形運動量、または変位の平面に垂直なベクトルで表されます。ただし、代わりにバイベクトルを使用する場合、平面はバイベクトルの平面であるため、量とその作用を表すより自然な方法になります。また、ベクトル表現とは異なり、他の次元に一般化されます。

2 つのバイベクトルの積は幾何学的に解釈できます。非ゼロのバイベクトルAとBの場合、積は次のように対称部分と反対称部分に分割できます。

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

ベクトルと同様に、これらには大きさ| A ·​​ B | = | A | | B | cos θおよび| A × B | = | A | | B | sin θがあり、ここでθは平面間の角度です。3 次元では、平面の双対である法線ベクトル間の角度と同じであり、高次元ではある程度一般化されます。

2 ベクトルは面積として足し合わせることができます。3 次元の 2 つの非ゼロ 2 ベクトルBとCが与えられた場合、両方に含まれるベクトル ( aなど)を見つけることは常に可能です。そのため、2 ベクトルはa を含む外積として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \end{aligned}}}$

これは、図に示すように、幾何学的に解釈できます。2 つの面積を合計すると 3 番目の面積が得られ、3 つの面積はa、b、c、b + c を辺とする角柱の面を形成します。これは、外積の 分配法則を使用して面積を計算する 2 つの方法に対応します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} +\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \\&=\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} +\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$

これは 3 次元でのみ機能します。これは、両方のバイベクトルに平行なベクトルが存在する必要がある唯一の次元だからです。より高次元では、バイベクトルは一般に単一の平面に関連付けられていません。または、関連付けられている場合でも (単純なバイベクトルの場合)、2 つのバイベクトルに共通のベクトルがないため、合計すると単純でないバイベクトルになります。

4次元では、バイベクトルの空間⋀ ² R ⁴の基底要素は ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ) なので、一般的なバイベクトルは次の形式になります。

${\displaystyle \mathbf {A} =a_{12}\mathbf {e} _{12}+a_{13}\mathbf {e} _{13}+a_{14}\mathbf {e} _{14}+a_{23}\mathbf {e} _{23}+a_{24}\mathbf {e} _{24}+a_{34}\mathbf {e} _{34}.}$

4 次元では、バイベクトルのホッジ双対はバイベクトルであり、空間⋀ ² R ^{4 は}それ自身と双対です。法線ベクトルは一意ではなく、すべての平面はそのホッジ双対空間内のすべてのベクトルと直交します。これを使用して、次のようにバイベクトルを 2 つの「半分」に分割できます。直交するバイベクトルのペアは 3 つあります: ( e ₁₂、e ₃₄ )、( e ₁₃、e ₂₄ )、( e ₁₄、e ₂₃ )。最初の 2 つのペアからそれぞれ 1 つのバイベクトルを選択する方法は 4 通りあり、最初の 2 つを選択すると、それらの合計が他のペアの 3 番目のバイベクトルになります。たとえば、 ( e ₁₂、e ₁₃、e ₁₄ )と( e ₂₃、e ₂₄、e ₃₄ )です。

4次元では、バイベクトルはR ⁴のベクトルの外積によって生成されますが、R ³やR ^{2とは1つの重要な違いがあります。4次元では、すべてのバイベクトルが単純というわけではありません。e} ₁₂ + e ₃₄のように、2つのベクトルの外積では生成できないバイベクトルもあります。これは、実数、つまりスカラーの平方を持たないことも意味します。この場合、

${\displaystyle (\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34})^{2}=\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{34}=-2+2\mathbf {e} _{1234}.}$

要素e ₁₂₃₄はCl ₄の擬スカラーであり、スカラーとは異なるため、この平方は非スカラーです。

4次元のすべての2重ベクトルは、最大2つの外積と4つのベクトルを使用して生成できます。上記の2重ベクトルは次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}$

同様に、すべてのバイベクトルは、2 つの単純なバイベクトルの和として表すことができます。このためには、2 つの直交バイベクトルを選択するのが便利で、これは常に可能です。さらに、一般的なバイベクトルの場合、単純なバイベクトルの選択は一意です。つまり、直交バイベクトルに分解する方法は 1 つしかありません。唯一の例外は、2 つの直交バイベクトルの大きさが等しい場合です (上記の例のように)。この場合、分解は一意ではありません。^[4]単純なバイベクトルの場合、分解は常に一意であり、直交部分の 1 つがゼロであるという追加のボーナスがあります。

3次元と同様に、4次元のバイベクトルは指数写像を通じて回転を生成し、すべての回転はこのように生成できます。3次元と同様に、Bがバイベクトルの場合、回転子Rはexp ⁠1/2⁠ Bと回転は同じ方法で生成されます。

${\displaystyle v'=RvR^{-1}.}$

ただし、生成される回転はより複雑です。次のように分類できます。

単純な回転は、4D で平面を固定し、この平面の「周りに」角度だけ回転するものです。

二重回転は、原点という固定点のみを持ち、2つの直交平面を2つの角度で回転します。一般に角度は異なり、平面は一意に指定されます。

等傾斜回転は、回転角度が等しい二重回転です。この場合、回転が行われる平面は一意ではありません。

これらは、バイベクトルによって簡単に生成されます。単純な回転は、バイベクトルの平面と直交する固定平面を持つ単純なバイベクトルによって生成されます。回転は、バイベクトルの平面内でその平面を中心に行われると言えます。他のすべてのバイベクトルは、回転の 2 つの角度が、非単純なバイベクトルを構成する 2 つの単純なバイベクトルの大きさに等しい二重回転を生成します。等傾斜回転は、これらの大きさが等しいときに発生し、その場合、2 つの単純なバイベクトルへの分解は一意ではありません。^[22]

一般に、バイベクトルは交換できませんが、例外として、直交バイベクトルとその指数があります。したがって、バイベクトルB = B ₁ + B ₂ ( B ₁とB ₂は直交単純バイベクトル) を使用して回転を生成すると、次のように交換できる 2 つの単純回転に分解されます。

${\displaystyle R=\exp({\tfrac {1}{2}}(\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}))=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})}$

すべてのバイベクトルは直交バイベクトルの和として表現できるため、これを実行することは常に可能です。

時空は特殊相対論で使われる宇宙の数学的モデルです。3つの空間次元と1つの時間次元が組み合わさった1つの4次元空間で構成されています。ユークリッド計量をミンコフスキー計量に置き換えた幾何学代数とバイベクトルを使用して自然に記述されます。その代数は符号が変更されていることを除いてユークリッド空間の代数と同一であるため、

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}={\begin{cases}1,&i=1,2,3\\-1,&i=4\end{cases}}}$

（上記の順序とインデックスは普遍的ではないことに注意してください。ここで、e _{4 は}時間のような次元です）。幾何代数はCl _3,1 ( R )であり、バイベクトルの部分空間は⋀ ² R ^3,1です。

単純バイベクトルには 2 つの種類があります。単純バイベクトルe ₂₃、e ₃₁、e _{12は負の平方を持ち、ユークリッド空間}R ³に対応する 3 次元部分空間のバイベクトルを張ります。これらのバイベクトルはR ³で通常の回転を生成します。

単純なバイベクトルe ₁₄、e ₂₄、e ₃₄は正の平方を持ち、平面として空間次元と時間次元にまたがります。これらも指数マップを通じて回転を生成しますが、三角関数の代わりに双曲関数が必要であり、次のように回転子を生成します。

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}{{\boldsymbol {\Omega }}\theta }}=\cosh {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sinh {{\tfrac {1}{2}}\theta },}$

ここで、Ω はバイベクトル（e _{14など）であり、} R ^3,1の反対称線形変換を持つ計量を介して識別されます。これらは、 R ³およびR ⁴と同じ種類の代数を使用して、特にコンパクトな方法で表現されたローレンツブーストです。

一般に、すべての時空回転は指数写像を介してバイベクトルから生成される。つまり、バイベクトルAによって生成される一般的な回転子は、次の形式である。

${\displaystyle R=\exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} }.}$

時空におけるすべての回転の集合はローレンツ群を形成し、そこから特殊相対性理論のほとんどの結果を導き出すことができます。より一般的には、これはユークリッド空間と時空における変換がすべて同じ種類の代数を使用して記述できることを示しています。

（注：このセクションでは、従来の3ベクトルは記号の上に線で示され、時空ベクトルと2ベクトルは太字の記号で示され、例外的にベクトルJとAは大文字で示されます）

マクスウェル方程式は物理学において電場と磁場の関係を記述するのに用いられる。通常4つの微分方程式として与えられるが、場が⋀ ² R ^3,1からの時空バイベクトルとして表現されるとき、特にコンパクトな形をとる。R ³の電場と磁場がEとBである場合、電磁バイベクトルは

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}{\overline {E}}\mathbf {e} _{4}+{\overline {B}}\mathbf {e} _{123},}$

ここで、e _{4 は}時間的次元の基底ベクトルであり、c は光速である。積B e ₁₂₃は、上で述べたように、3次元でBのホッジ双対であるバイベクトルを生成するが、直交ベクトルの積であるE e ₄もバイベクトル値を持つ。全体として、これはバイベクトルとしてより簡潔に表現された電磁テンソルであり、次のように使用される。まず、これは4 次元電流 Jと関連しており、これは次式で与えられるベクトル量で ある。

${\displaystyle \mathbf {J} ={\overline {j}}+c\rho \mathbf {e} _{4},}$

ここで、jは電流密度、ρは電荷密度である。これらは微分演算子∂によって関連しており、それは

${\displaystyle \partial =\nabla -\mathbf {e} _{4}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

演算子 ∇ は幾何代数の微分演算子であり、空間次元に作用し、∇ M = ∇· M + ∇∧ Mで与えられます。ベクトルに適用すると、∇· Mは発散、∇∧ Mは回転ですが、ベクトルの結果ではなく、3 次元で回転の双対であるバイベクトルになります。一般的な量Mの場合、これらは階数を下げる微分演算子および階数を上げる微分演算子として機能します。特に、Mがスカラーの場合、この演算子は単なる勾配であり、幾何代数のdel演算子と考えることができます。

これらを組み合わせると、ソース付きマクスウェル方程式の特にコンパクトな形式が得られます。

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

この方程式は、等級を上げる効果と等級を下げる効果の両方を持つ幾何積を使って幾何代数に従って分解すると、マクスウェルの4つの方程式と等しくなります。また、電磁4元ポテンシャル、つまり次式で与えられる ベクトルAとも関連しています。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\overline {A}}+{\frac {1}{c}}V\mathbf {e} _{4},}$

ここで、Aはベクトル磁気ポテンシャル、Vは電位である。これは電磁バイベクトルと次のように関係している。

${\displaystyle \partial \mathbf {A} =-\mathbf {F} ,}$

同じ微分演算子∂を使用する。^[23]

前のセクションで示唆したように、幾何代数の多くは高次元に一般化されます。実空間R ⁿの幾何代数はCl _n ( R )であり、バイベクトルの部分空間は⋀ ² R ⁿです。

一般的なバイベクトルを形成するために必要な単純バイベクトルの数は次元とともに増加し、nが奇数の場合は( n − 1) / 2、nが偶数の場合はn / 2となる。したがって、4次元と5次元では2つの単純バイベクトルのみが必要であるが、 6次元と7次元では3つ必要となる。たとえば、標準基底 ( e ₁、e ₂、e ₃、e ₄、e ₅、e ₆ ) を持つ6次元では、バイベクトル

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{56}}$

は 3 つの単純な 2 ベクトルの合計ですが、それ以下ではありません。4 次元の場合と同様に、この合計に対して直交する単純な 2 ベクトルを見つけることは常に可能です。

3次元や4次元ではローターは指数写像によって生成されるので、

${\displaystyle \exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} }}$

は、バイベクトルBによって生成されるローターです。次元( n − 2)の固定ブレードの周りの回転平面で発生する単純な回転は、単純なバイベクトルによって生成されますが、他のバイベクトルは、それぞれが回転平面に関連付けられている単純なバイベクトルの和として記述できる、より複雑な回転を生成します。すべてのバイベクトルは、直交および可換の単純なバイベクトルの和として表すことができるため、回転は常に、これらのバイベクトルに関連付けられた平面の周りの可換回転のセットに分解できます。n次元のローターのグループは、スピングループ、Spin( n )です。

単純なバイベクトルと回転面の数に関連する注目すべき特徴の 1 つは、奇数次元ではすべての回転に固定軸があることです。これを回転軸と呼ぶのは誤解を招きます。なぜなら、高次元では回転はそれに直交する複数の平面で行われるからです。これはバイベクトルに関連しており、奇数次元のバイベクトルは、その下の偶数次元と同じ数のバイベクトルに分解されるため、平面の数は同じですが、次元が 1 つ余分にあります。奇数次元では各平面が 2 次元で回転を生成するため、回転していない次元、つまり軸が 1 つあるはずです。^[24]

二重ベクトルは、 n次元の回転行列にも関連しています。3 次元の場合と同様に、行列の特性方程式を解いて固有値を求めることができます。奇数次元では、これは 1 つの実根を持ち、固有ベクトルは固定軸となります。偶数次元では実根がないため、すべての根または 1 つを除くすべての根が複素共役対になります。各対は、回転に関連付けられた二重ベクトルの単純な要素に関連付けられています。特に、各対の対数は符号を除いた大きさですが、根から生成された固有ベクトルは に平行であるため、二重ベクトルの生成に使用できます。一般に、固有値と二重ベクトルは一意であり、固有値の集合は単純な二重ベクトルへの完全な分解を提供します。根が繰り返される場合、二重ベクトルの単純な二重ベクトルへの分解は一意ではありません。

幾何代​​数は、射影幾何学に簡単に適用できます。使用される幾何代数はCl _n ( R )、n ≥ 3 、つまり実ベクトル空間R ⁿの代数です。これは、実射影空間 RP ^{n −1}内のオブジェクトを記述するために使用されます。 Cl _n ( R )またはR ⁿ内のゼロでないベクトルは、射影空間内の点に関連付けられているため、スケール係数のみが異なるベクトル（外積がゼロ）は同じ点にマッピングされます。⋀ ² R ⁿ内のゼロでない単純なバイベクトルはRP ^{n −1}内の直線を表し、（正または負の）スケール係数のみが異なるバイベクトルは同じ直線を表します。

射影幾何学の記述は、基本的な演算を用いて幾何代数で構築することができる。例えば、ベクトルaとbで表されるRP ^{n −1}内の 2 つの異なる点が与えられた場合、それらを含む直線はa ∧ b (またはb ∧ a ) で与えられる。2 本の直線が 1 点で交差するのは、それらの 2 重ベクトルAとBに対してA ∧ B = 0である場合である。この点は、ベクトルによって与えられる。

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {A} \lor \mathbf {B} =(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )J^{-1}.}$

演算「∨」は交わりであり、これは上記のように結合の観点で定義することができ、J = A ∧ B ^{[説明が必要]}非ゼロのA ∧ Bについてである。これらの演算を使用すると、射影幾何学は幾何代数の観点から定式化することができる。例えば、3番目の（非ゼロの）バイベクトルCが与えられたとき、点pがCによって与えられた直線上にあるのは、次の場合のみ である。

${\displaystyle \mathbf {p} \land \mathbf {C} =0.}$

したがって、 A、B、Cによって与えられた線が同一直線となる ための条件は

${\displaystyle (\mathbf {A} \lor \mathbf {B} )\land \mathbf {C} =0,}$

これはCl ₃ ( R )とRP ²では次のように簡略化される。

${\displaystyle \langle \mathbf {ABC} \rangle =0,}$

ここで、山括弧は幾何積のスカラー部分を表す。同様に、すべての射影空間演算は幾何代数で記述することができ、双ベクトルは射影空間の一般的な直線を表すので、幾何学全体を幾何代数で展開することができる。^[15]

上で述べたように、バイベクトルは歪対称行列として記述することができ、指数写像を通して回転子と同じ回転を記述する回転行列を生成します。回転子も指数写像によって生成されますが、ベクトルに適用されます。ただし、角速度テンソルや電磁テンソルなど、他のバイベクトルでも使用されます。それぞれ 3×3 と 4×4 の歪対称行列またはテンソルです。

⋀ ² R ⁿの実バイベクトルは、n × nの歪対称行列、またはR ⁿ上の次数 2 の反対称テンソルと同型です。バイベクトルは 3 次元ではベクトルと同型ですが (双対を介して)、任意の次元の歪対称行列で表すことができます。これは、バイベクトルを行列で記述される問題に関連付けるのに役立ち、バイベクトルで表現し直して幾何学的解釈を与えると、より簡単に解いたり、他のバイベクトル問題に幾何学的に関連付けられたりすることがよくあります。^[25]

より一般的には、すべての実幾何代数は行列代数と同型である。これらには部分空間としてバイベクトルが含まれるが、その方法は特に有用ではないことが多い。これらの行列は主にクリフォード代数を分類する方法として興味深い。^[26]

• 二元論
• マルチベクトル
• 多重線型代数

• Dorst, Leo; Fontijne, Daniel; Mann, Stephen (2009)。「§ 2.3.3 バイベクトルの視覚化」。コンピュータサイエンスのための幾何学代数: 幾何学へのオブジェクト指向アプローチ(第 2 版)。Morgan Kaufmann。p. 31 ff。ISBN 978-0-12-374942-0。
• ホイットニー、ハスラー（1957）。『幾何積分理論』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-486-44583-0。
• Lounesto, Pertti (2001)。クリフォード代数とスピノル。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-00551-7。^{[永久リンク切れ]}
• Chris Doran & Anthony Lasenby (2003)。「§ 1.6 外積」。物理学者のための幾何代数。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。p. 11以降。ISBN 978-0-521-71595-9。