セオドア・フランケル

セオドア・フランケル（1929年6月17日 - 2017年8月5日）^[1]は、アンドレオッティ・フランケルの定理とフランケル予想を提唱した数学者です。

フランケルは1955年にカリフォルニア大学バークレー校で博士号を取得した。博士課程の指導教官はハーレー・フランダースであった。 ^{[2]フランケルは}カリフォルニア大学サンディエゴ校の数学の名誉教授であり、ニュージャージー州プリンストンの高等研究所に長年所属していた。彼は大域微分幾何学、モース理論、相対性理論の研究で知られている。彼はスタンフォード大学とブラウン大学で教授を務めた後、1965年にカリフォルニア大学サンディエゴ校の数学科に加わった。

1930 年代、ジョン・シングは、弧長の第二変分公式を極小ループに適用することで、現在シングの定理として知られているものを確立しました。フランケルは、シングの方法を高次元オブジェクトに適用しました。その結果、彼は、閉じた多様体上の正に曲がったリーマン計量が与えられた場合、任意の 2 つの完全に測地線状のコンパクト部分多様体は、その次元が十分に大きい場合、必ず交差することを証明できました。アイデアは、2 つの部分多様体間の最小測地線にシングの方法を適用するというものです。同じアプローチで、フランケルは、正に曲がったケーラー多様体の複素部分多様体は、その次元が十分に大きい場合、必ず交差することを証明しました。これらの結果は、後にサミュエル・ゴールドバーグと小林昭七によって拡張され、正則二分曲率の正値が可能になりました。^[3]

ルネ・トムの研究に触発されて、フランケルとアルド・アンドレオッティはモース理論を用いてレフシェッツ超平面定理の新しい証明を与えた。議論の核心は、複素二次形式の実部の固有値は形式± zのペアで現れなければならないという代数的事実である。これは、固定点までの距離によって与えられるモース関数を考えることにより、レフシェッツの定理の文脈で重要になる。臨界点における2次解析は上記の代数解析によって直ちに助けられ、ホモロジー消失現象はモース不等式によって従う。^[4]

対応する 1 パラメータの等長写像群が正則写像として作用するキリング ベクトル場が与えられたとき、フランケルはカルタンの公式を使用して、ベクトル場とケーラー形式の内積が閉じていることを示した。最初のベッティ数がゼロであると仮定すると、ド ラームの定理が適用され、臨界点がベクトル場のゼロと一致する関数が構成される。臨界点における 2 次解析により、ベクトル場のゼロの集合は関数の非退化臨界多様体であることが示される。ラウル ボットによる臨界多様体に対するモース理論の発展に続いて、フランケルは多様体のベッティ数が臨界多様体のベッティ数によって完全にエンコードされ、これらの多様体に沿ったモース関数のインデックスもエンコードされることを確立することができた。フランケルのこれらのアイデアは、後にマイケル アティヤやナイジェル ヒッチンなどの研究にとって重要となった。^{[5] [6]}

記事

• アンドレオッティ、アルド、フランケル、セオドア (1959) 。「超平面セクションに関するレフシェッツの定理」。数学年報。第 2 シリーズ。69 ( 3  ) : 713–717。doi :10.2307/1970034。JSTOR 1970034。MR  0177422。Zbl 0115.38405  。
•  フランケル、セオドア (1959 ) 。「ケーラー多様体上の不動点とねじれ」。数学年報。第 2 シリーズ。70 ( 1): 1–8。doi :10.2307/1969889。JSTOR 1969889。MR  0131883。Zbl 0088.38002  。
• フランケル、セオドア (1961)。「正の曲率を持つ多様体」。パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス 。11 ( 1): 165–174。doi : 10.2140/ pjm.1961.11.165。MR 0123272。Zbl 0107.39002  。

教科書

• フランケル、セオドア（1979年）。『重力曲率。アインシュタインの理論入門』サンフランシスコ：WHフリーマン・アンド・カンパニー ISBN 0-7167-1062-5. MR  0518868. Zbl  0427.53009.^[7]
• フランケル、セオドア (2011)。物理学の幾何学: 入門(1997 年初版の第 3 版)。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。doi : 10.1017 / CBO9781139061377。ISBN 978-1-107-60260-1MR 2884939。Zbl 1250.58001  。 ​