エルミート多様体

数学、より具体的には微分幾何学 において、エルミート多様体はリーマン多様体の複素類似体です。より正確には、エルミート多様体は、各（正則）接空間上で滑らかに変化するエルミート内積を持つ複素多様体です。また、エルミート多様体は、複素構造を保存するリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできます。

複素構造は本質的には積分条件を備えたほぼ複素構造であり、この条件は多様体上のユニタリ構造（U(n)構造）をもたらします。この条件を削除すると、ほぼエルミート多様体が得られます。

ほぼエルミート多様体では、選択した計量とほぼ複素構造のみに依存する基本 2 形式(またはコシンプレクティック構造) を導入できます。この形式は常に非退化です。閉じている (つまり、シンプレクティック形式) という追加の積分可能条件により、ほぼケーラー構造が得られます。ほぼ複素構造と基本形式の両方が積分可能である場合、ケーラー構造が得られます。

滑らかな多様体上の複素ベクトル束上のエルミート計量は、各ファイバー上の滑らかに変化する正定値エルミート形式です。このような計量は、内のすべての点に対して、 ファイバー内の すべての に対して、内 の すべての非ゼロ に対してとなるベクトル束の滑らかな大域セクションとして考えることができます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle (E\otimes {\overline {E}})^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle E_{p}}$$${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle E_{p}}$

エルミート多様体は、その正則接束上にエルミート計量を持つ複素多様体です。同様に、概エルミート多様体は、その正則接束上にエルミート計量を持つ 概複素多様体です。

エルミート多様体上では、計量は局所正則座標でと 表すことができます。 ここで、 は正定値エルミート行列の要素です。 ${\displaystyle (z^{\alpha })}$$${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$$${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$

(ほぼ)複素多様体M上のエルミート計量hは、基礎となる滑らかな多様体上のリーマン計量g を定義します。計量gはhの実部として定義されます。 $${\displaystyle g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).}$$

形式gはTM ^C上の対称双線型形式、つまり複素接束である。gはその共役に等しいので、 TM上の実形式の複素化である。 TM上のgの対称性と正定値は、hの対応する性質から導かれる。局所正則座標では、計量g は次のように書ける。 $${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).}$$

hに次数 (1,1) の複素微分形式ωを関連付けることもできます。形式 ω はhの虚数部を引いたものとして定義されます。 $${\displaystyle \omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).}$$

ω は共役に等しいので、TM上の実形式の複素化である。形式 ω は、関連 (1,1) 形式、基本形式、またはエルミート形式など、さまざまな名前で呼ばれる。局所正則座標では、 ω は次のように書ける。 $${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.}$$

座標表現から、 h、g、ωの 3 つの形式のいずれかが他の 2 つを一意に決定することが明らかです。リーマン計量gとそれに関連する (1,1) 形式ω は 、すべての複素接ベクトルuとvに対して、ほぼ複素構造 Jによって次のように 関連付けられます。エルミート計量h は、gとωから次の恒等式によって 復元できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle h=g-i\omega .}$$

h、g、 ω の3 つの形式はすべて、ほぼ複素構造 J を保存します。つまり、 すべての複素接線ベクトルuとvに対してです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$$

（ほぼ）複素多様体M上のエルミート構造は、以下のどちらかで指定できる。

1. 上記のようなエルミート計量h、
2. ほぼ複素構造Jを保存するリーマン計量g、または
3. J を保存し、すべての非ゼロ実接ベクトルuに対してω ( u , Ju ) > 0の意味で正定値である非退化2形式ω。

多くの著者がg自体をエルミート計量と呼んでいることに注意してください。

すべての（ほぼ）複素多様体はエルミート計量を許容します。これは、リーマン計量に対する類似の記述から直接導かれます。ほぼ複素多様体M上の任意のリーマン計量gが与えられた場合、ほぼ複素構造Jと互換性のある新しい計量g ′ を明白な方法で構築できます。 $${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$$

ほぼ複素多様体M上のエルミート計量を選択することは、 M上のU( n )-構造を選択することと同等です。つまり、Mのフレームバンドルの構造群をGL( n , C )からユニタリ群U( n ) に縮小することです。ほぼエルミート多様体上のユニタリフレームは、エルミート計量に関して正規直交する複素線型フレームです。 Mのユニタリフレームバンドルは、すべてのユニタリフレームの主な U( n )-バンドルです。

ほぼエルミート多様体M はいずれも、 gによって決定されるリーマン体積形式とまったく同じ標準体積形式を持つ。この形式は、関連する (1,1) 形式ωを用いて次のように与えられる。 ここで、 ω ^{n は}ωとそれ自身とのn回のくさび積である。したがって、体積形式はM上の実 ( n , n ) 形式である。局所正則座標では、体積形式は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$$$${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$$

正則ベクトル束上のエルミート計量を考えることもできます。

エルミート多様体の最も重要なクラスはケーラー多様体です。これらはエルミート形式ωが閉じているエルミート多様体です。 この場合、形式 ω はケーラー形式と呼ばれます。ケーラー形式はシンプレクティック形式であるため、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体になります。 $${\displaystyle d\omega =0\,.}$$

関連する (1,1) 形式が閉じているほぼエルミート多様体は、当然、ほぼケーラー多様体と呼ばれます。任意のシンプレクティック多様体は、ほぼケーラー多様体になるような互換性のあるほぼ複素構造を許容します。

ケーラー多様体は、積分可能条件を満たすほぼエルミート多様体です。これはいくつかの同等な方法で表現できます。

( M , g , ω, J )を実数次元2 nのほぼエルミート多様体とし、∇ をgのレヴィ・チヴィタ接続とします。以下はMがケーラーとなるための同値な条件です。

• ωは閉じており、 Jは積分可能である。
• ∇ J = 0 ,
• ∇ω = 0、
• ∇のホロノミー群はJに付随するユニタリ群U( n )に含まれる。

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 のうち 2 」の特性に対応します。

特に、Mがエルミート多様体の場合、条件 dω = 0 は、明らかにはるかに強い条件∇ ω = ∇ J = 0と同等です。ケーラー理論の豊富さは、これらの特性に一部起因しています。

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• 小林昭七、野水勝己 (1996) [1963].微分幾何学の基礎、第2巻。Wiley Classics Library。ニューヨーク：Wiley Interscience。ISBN 0-471-15732-5。
• 小平邦彦（1986）『複素多様体と複素構造の変形』数学の古典。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 3-540-22614-1。