退化した双線形形式

数学、特に線型代数学において、ベクトル空間V上の退化した双線型形式 f  ( x , y  )とは、 v ↦ ( x ↦ f  ( x ,  v  )) で与えられるVからV ^∗ ( Vの双対空間)への写像が同型でない双線型形式である。Vが有限次元の場合の同等の定義は、 Vが非自明な核を持つということである。つまり、 Vには0 でないx が存在し、

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$全ての${\displaystyle \,y\in V.}$

非退化形式または非特異形式は、退化していない双線型形式であり、つまり が同型、または有限次元で同値と なる場合、かつ次の場合のみである。^[1]${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$すべて に対して はを意味します。${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle x=0}$

非退化形式の最も重要な例は、内積とシンプレクティック形式です。対称非退化形式は、内積の重要な一般化であり、多くの場合、必要なのは写像が正値ではなく同型であることだけです。たとえば、接空間に内積構造を持つ多様体はリーマン多様体ですが、これを対称非退化形式に緩和すると擬似リーマン多様体になります。 ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Vが有限次元の場合、 Vの何らかの基底に対して、双線型形式が退化しているのは、関連する行列の行列式がゼロである場合、つまり行列が特異である場合に限ります。したがって、退化形式は特異形式とも呼ばれます。同様に、非退化形式は、関連する行列が非特異である場合に限ります。したがって、非退化形式は非特異形式とも呼ばれます。これらの記述は、選択された基底に依存しません。

二次形式 Qに対して、Q ( v ) = 0となる非零ベクトルv ∈ Vが存在する場合、Q は等方性二次形式です。Q がすべての非零ベクトルに対して同じ符号を持つ場合、 Q は定常二次形式または異方性二次形式です。

ユニモジュラ形式と完全ペアリングという密接に関連した概念があります。これらは体上では一致しますが、一般の環上では一致しません。

実二次代数の研究では、二次形式の種類の違いが明らかになります。積zz * は、複素数、分割複素数、双対数のそれぞれについて二次形式です。z = x + ε yの場合、双対数形式はx ²で、これは退化した二次形式です。分割複素数の場合は等方形式であり、複素数の場合は定形式です。

非退化形式の最も重要な例は、内積とシンプレクティック形式です。対称非退化形式は、内積の重要な一般化であり、多くの場合、必要なのは写像が正値ではなく同型であることだけです。たとえば、接空間に内積構造を持つ多様体はリーマン多様体ですが、これを対称非退化形式に緩和すると擬似リーマン多様体になります。 ${\displaystyle V\to V^{*}}$

無限次元空間では、 ƒ が単射ではあるが射影ではない双線型形式を持つ場合があることに注意する。例えば、閉有界区間上の連続関数の空間では、形式 ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi,\psi)=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

は射影的ではない。例えば、ディラックのデルタ関数は双対空間にあるが、要求される形式ではない。一方、この双線型形式は

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$すべては${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi =0.\,}$

ƒ が単射性を満たす（ただし必ずしも全射性を満たすとは限らない）ような場合、ƒ は弱非退化であると言われる。

fがすべてのベクトル上で等しく消える場合、それは完全に退化していると言われる。V上の任意の双線型形式fが与えられたとき、ベクトルの集合

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

はVの完全に退化した部分空間を形成します。写像fが非退化となるのは、この部分空間が自明な場合のみです。

幾何学的には、二次形式の等方性直線は、射影空間における関連する二次超曲面の点に対応する。そのような直線は、対応する点が特異点である場合に限り、双線型形式に対しても等方性である。したがって、代数的に閉じた体上では、ヒルベルトの零点定理により、二次形式には常に等方性直線が存在するが、双線型形式には、曲面が特異である場合に限り等方性直線が存在することが保証される。

• 不定内積空間 - 不定符号を持つヒルベルト空間の一般化フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• デュアルシステム
• 線型形式 – ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像