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幾何解析は、微分方程式、特に楕円型偏微分方程式(PDE)のツールを用いて微分幾何学や微分位相幾何学における新しい結果を確立する数学分野です。線形楕円型 PDEの使用は、少なくともホッジ理論まで遡ります。より最近では、主に非線形偏微分方程式を用いて、ユークリッド空間の部分多様体、リーマン多様体、シンプレクティック多様体などの空間の幾何学的および位相的性質を研究することを指します。このアプローチは、ティボール・ラドとジェシー・ダグラスによる極小曲面の研究、ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアによるリーマン多様体のユークリッド空間への等長埋め込みの研究、ルイス・ニレンバーグによるミンコフスキー問題とワイル問題の研究、アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフとアレクセイ・ポゴレロフによる凸超曲面の研究に遡ります。 1980年代には、カレン・ウーレンベック[ 1 ]、クリフォード・トーベス、シン・トゥン・ヤウ、リチャード・シューン、リチャード・ハミルトンによる基礎的な貢献により、今日まで続く幾何学解析の特に刺激的で生産的な時代が幕を開けた。特筆すべき業績は、グリゴリー・ペレルマンによるポアンカレ予想の解決であり、これはリチャード・ハミルトンが開始し、大部分を遂行したプログラムを完成させたものである。
幾何解析の範囲には、偏微分方程式の研究における幾何学的手法の利用（「幾何偏微分方程式」とも呼ばれる）と、偏微分方程式の理論を幾何学に応用することの両方が含まれます。曲線や曲面、あるいは曲面境界を持つ領域に関する問題だけでなく、任意の次元のリーマン多様体の研究も含まれます。変分法は、変分原理から生じる微分方程式が強い幾何学的内容を持つため、幾何解析の一部とみなされることもあります。幾何解析には、多様体上の微分方程式の研究や、微分方程式と位相幾何学の関係を扱う大域解析も含まれます。
以下は、幾何解析における主要なトピックの一部です。