正角地図投影

地図作成において、正角地図投影とは、地球（球体または楕円体）上で交差する 2 つの曲線間のすべての角度が投影画像で保持される地図です。つまり、その投影は数学的な意味で正角地図です。たとえば、2 本の道路が 39° の角度で交差する場合、正角投影の地図上でそれらの画像は 39° の角度で交差します。

正角投影法は、地図上のすべての点で局所的に正角である投影法として定義できますが、正角性が失われる特異点が存在する可能性があります。したがって、すべての小さな図形は、地図上のそのイメージとほぼ相似です。投影法では、小さな領域内の 2 つの長さの比率が維持されます。投影法のティソ指示線はすべて円です。

等角投影では小さな図形のみが保存されます。大きな図形は等角投影でも歪んでしまいます。

正角投影では、どんな小さな図形も画像と相似ですが、相似比（スケール）は場所によって異なり、これが正角投影の歪みの原因となります。

正角投影では、緯線と経線は地図上で直交しますが、この特性を持つ地図がすべて正角であるわけではありません。反例として、正距円筒図法と等面積円筒図法 (通常のアスペクト) があります。これらの投影法は、それぞれ経線方向と緯線方向に異なる比率で拡大します。したがって、緯線と経線は地図上で直交しますが、これらの投影法では他の角度は保存されません。つまり、これらの投影法は正角ではありません。

1775年にレオンハルト・オイラーが証明したように、正角地図投影は等面積にはならず、また等面積地図投影は正角にはならない。^{[1]これは、}カール・ガウスの1827年の定理エグレギウム[注目すべき定理] の結果でもある。

球面上の円盤状領域の等角パラメータ化は、地図全体にわたって最大スケールと最小スケールの比を最小にする場合、スケール最適とみなされます。これは、円盤の境界に単位スケールを割り当てることによって発生します。チェビシェフはこの定理を適用して、ロシア帝国のヨーロッパ部分の等角地図を作成し、スケール誤差を 1/50 に削減しました。^[2]

• メルカトル図法（正角円筒図法）
  • 通常のアスペクトのメルカトル図法（地図上の等角線はすべて直線として描画されます。）
  • 横メルカトル図法
    • ガウス・クリューゲル座標系（この投影法では、楕円体上の中央子午線の長さが保持されます）
  • 斜メルカトル図法
    • 宇宙斜メルカトル図法（地球の自転とほぼ等角な衛星軌道を周回する斜メルカトル図法の修正投影法）
• ランベルト正角円錐図法
  • 斜正角円錐図法（この図法は、アメリカ大陸や日本列島などの細長い地域に使用されることがあります。）
• 平射図法（正角方位図法。地球上のすべての円が地図上で円または直線として描かれます。）
  • ミラー偏平図法（アフリカ大陸とヨーロッパ大陸の修正立体図法）^[3]
  • GS50 投影(この投影は、複素数の多項式による調整を加えたステレオ投影から作成されます。)
• リトロー図法（正角逆方位図法）
• ラグランジュ投影（多円錐投影であり、ランベルト正角円錐投影とメビウス変換を組み合わせたもの）
  • オーガスト外転サイクロイド投影（球面を円内に投影するラグランジュ投影と複素数上の 3 次多項式の組み合わせ）
• 楕円関数の応用
  • パースの五点図法(これは、4 つの特異点を除いて地球を正角正方形に投影します。)
  • リーの正角投影による世界の四面体投影

大規模な地図では、図が十分に小さいとみなせるため、正角投影法が使用されることが多くあります。地図上の図は、実際の図とほぼ同じです。

非等角投影は、投影が局所的に等角となるような限定された領域で使用できます。多数の地図を貼り合わせると、丸みが復元されます。多数の地図から新しいシートを作成したり、中心を変更したりするには、物体を再投影する必要があります。

シームレスなオンライン マップは、非常に大きなメルカトル図法にすることができるため、任意の場所をマップの中心にすることができ、マップは正角のままです。ただし、このような投影法を使用して 2 つの遠く離れた図形の長さや面積を比較することは困難です。

ユニバーサル横メルカトル座標系とフランスのランベール座標系は、シームレスさとスケールの可変性の間のトレードオフをサポートする投影法です。

海図や航空図など、方向を表す地図は正角図法で投影されます。気圧を含む天気図など、勾配が重要な値を扱う地図も正角図法で投影されます。

正角図法では縮尺が小さい地図でも縮尺が大きく異なるため、最近の世界地図では他の投影法が使用されています。歴史的には、メルカトル図法やステレオ図法による半球図など、多くの世界地図が正角図法で描かれています。

広い地域を含む正角地図は場所によって縮尺が異なるため、長さや面積を比較することは困難です。ただし、一部の手法では、子午線上の 1 度の長さ = 111 km = 60海里とする必要があります。非正角地図では、ある地点で同じ長さでも地図上の長さが変わるため、このような手法は使用できません。

メルカトル図法やステレオ図法では、緯度によってスケールが異なるため、緯度別のバースケールが付加されることが多い。斜視図法などの複雑な図法では、スケール係数の等高線図が付加されることもある。

• 地図投影法の一覧

• オイラー、レオンハルト(1778)。 「De repraesentatione superficiei sphaericae super plano」[平面上の球面の表現について]。Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae (ラテン語)。1777 (1): 107–132。E490

• アダムス、オスカー(1925)。楕円関数の等角世界地図への応用(PDF)。米国沿岸測地測量局特別出版。第 112 巻。米国 GPO。
• コックス、ジャック・フランソワ (1935)。 "Répresentation de la surface entière de la terre dans une Triangle équilatéral" [正三角形における地球の表面全体の表現]。ベルギー王立アカデミー紀要。 5e série (フランス語)。21：66～71。
• Furuti, Carlos (2005). 「地図投影: 正角投影」。progonos.com/ furuti 。2018-06-15 にオリジナルからアーカイブ。
• ギュユー、エミール (1887)。 「Nouveau système de projected de la sphere: Généralisation de la project de Mercator」[球面の新しい投影システム: メルカトル図法の一般化]。アナレス ハイドログラフィックス。セリエ 2 (フランス語)。9：16～35。
• Lee, LP (1976)。楕円関数に基づく正角投影。Cartographica Monographs。第 16 巻。トロント: BV Gutsell、ヨーク大学。ISBN 0-919870-16-3。『カナダ地図製作者 13』補足第 1 号。
• Leick, Alfred; Rapoport, Lev; Tatarnikov, Dmitry (2015). 「付録 C: 等角マッピング」. GPS 衛星測量. Wiley. pp. 715–739. doi :10.1002/9781119018612.app3. ISBN 9781119018612。
• ピアース、チャールズ( 1879 ) 。「球面の五等分投影」。アメリカ数学ジャーナル。2 (4): 394–397。doi :10.2307 / 2369491。JSTOR  2369491。
• シュヴァルツ、ヘルマン(1869)。 "Ueber einige Abbildungsaufgaben" [一部のマッピングの問題について]。クレレの日記（ドイツ語）。1869 (70): 105–120。土井：10.1515/crll.1869.70.105。S2CID  121291546。
• スナイダー、ジョン(1989)。地図投影のアルバム(PDF)。USGS プロフェッショナル ペーパー。第 1453 巻。US GPO。
• Thomas, Paul (1952)。測地学と地図作成における正角投影(PDF)。米国沿岸測地測量局特別刊行物。第 251 巻。米国 GPO。