リー群の表現

数学と理論物理学において、リー群の表現は、リー群のベクトル空間への線型作用である。同様に、表現は、群のベクトル空間上の可逆作用素の群への滑らかな準同型である。表現は、連続対称性の研究において重要な役割を果たしている。そのような表現については多くのことがわかっており、その研究における基本的なツールは、リー代数の対応する「無限小」表現の使用である。

群の複素表現は、体 上の有限次元ベクトル空間への群の作用である。リー群Gの表現がn次元ベクトル空間Vに作用すると、滑らかな群準同型となる。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$、

ここで、は合成されたのすべての可逆な線型変換の一般線型群である。すべてのn次元空間は同型なので、この群は一般に と呼ばれる可逆な複素行列の群と同一視できる。写像の滑らかさは、任意の連続準同型が自動的に滑らかになるという点で、技術的な問題とみなすことができる。^[1]${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$${\displaystyle \Pi }$

あるいは、リー群の表現をベクトル空間 への の線型作用として記述することもできます。表記的には、群の要素がベクトル に作用する方法をの代わりに と書きます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g\cdot v}$${\displaystyle \Pi (g)v}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle v\in V}$

物理学において表現が生じる典型的な例としては、対称群 を持つ線型偏微分方程式の研究が挙げられます。方程式の個々の解は の作用に対して不変ではないかもしれませんが、すべての解の空間はの作用に対して不変です。したがって、は の表現を構成します。以下で説明する SO(3) の例を参照してください。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$

準同型が単射である場合（つまり、単射である場合）、表現は忠実であると言われます。 ${\displaystyle \Pi }$

複素ベクトル空間Vの基底が選択されると、表現は一般線型群への準同型として表すことができます。これは行列表現として知られています。ベクトル空間V、W上のGの 2 つの表現は、 VとWの基底のいくつかの選択に関して同じ行列表現を持つ場合、同等です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

表現 が与えられたとき、すべてのおよびに対してであるとき、 Vの部分空間Wは不変部分空間であるといいます。Vの不変部分空間が零空間とV自身だけであるとき、表現は既約であるといいます。特定の種類のリー群、すなわちコンパクト^{[2] 群}と半単純^[3]群では、すべての有限次元表現は既約表現の直和として分解されます。この特性は完全既約性として知られています。このような群では、表現論の典型的な目標は、同型性を除いて、与えられた群のすべての有限次元既約表現を分類することです。(下の分類のセクションを参照してください。) ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle w\in W}$

有限次元内積空間上のユニタリ表現も同様に定義されるが、ユニタリ作用素の群に写像する必要がある。Gがコンパクトリー群である場合、すべての有限次元表現はユニタリ表現と同値である。^[2]${\displaystyle \Pi }$

リー群Gの各表現は、そのリー代数の表現を生じます。この対応については、以降のセクションで詳しく説明します。リー代数理論については、 リー代数の表現を参照してください。

量子力学では、時間に依存しないシュレーディンガー方程式 が重要な役割を果たします。3 次元の場合、 が回転対称性を持つと、の解の空間はSO(3) の作用に対して不変になります。したがって、の各固定値に対して、 はSO(3) の表現を構成しますが、これは通常有限次元です。 を解くには、SO(3) の可能なすべての有限次元表現がどのようなものかを知っておくと役立ちます。SO(3) の表現理論は、たとえば水素原子の数学的解析で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

量子力学の標準的な教科書には必ず、SO(3) の有限次元既約表現をそのリー代数によって本質的に分類する分析が含まれています。(角運動量演算子間の交換関係は、SO(3) のリー代数に対する関係に他なりません。) この分析の微妙な点は、群の表現とリー代数が 1 対 1 に対応していないことです。これは、整数スピンと半整数スピンの違いを理解する上で重要な点です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

回転群SO(3) はコンパクトなリー群であるため、SO(3) のすべての有限次元表現は、既約表現の直和として分解されます。群 SO(3) には、奇数次元ごとに 1 つの既約表現があります。^[4]各非負整数 に対して、次元 の既約表現は、次数の同次調和多項式空間として実現できます。^[5]ここで、SO(3) は、 上の関数に回転が作用するのと同じように に作用します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle 2k+1}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

の要素の単位球面への制限は、次数の球面調和関数です。 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle k}$

たとえば、 の場合、次数 1 の同次多項式はすべて調和多項式であり、線形多項式、、およびによって張られる3 次元空間が得られます。 の場合、空間は多項式、、、、および によって張られます。 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$

上で述べたように、SO(3)の有限次元表現は、水素原子などの放射状ポテンシャルに対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式を研究するときに、問題の回転対称性の反映として自然に生じます。（水素の数学的解析における球面調和関数の役割を参照してください。）

SO(3) のリー代数を見ると、このリー代数はSU(2) のリー代数と同型です。の表現論により、各次元に の既約表現が 1 つ存在します。ただし、偶数次元の表現は、群SO(3) の表現には対応しません。^[6]ただし、これらのいわゆる「分数スピン」表現は、 SO(3) の射影表現に対応します。これらの表現は、電子などの分数スピンを持つ粒子の量子力学で発生します。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

この節では、表現に対する3つの基本的な操作について説明します。^[7]リー代数の表現の 対応する構成も参照してください。

群、の2つの表現がある場合、その直和は基底ベクトル空間としてとなり、群の作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

すべての、およびに対して。 ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$${\displaystyle g\in G}$

ある種のリー群、特にコンパクトリー群は、すべての有限次元表現が既約表現の直和に同型であるという性質を持つ。^[2]このような場合、表現の分類は既約表現の分類に還元される。完全還元性に関するワイルの定理を参照。

群 の2つの表現、、 がある場合、表現のテンソル積は、テンソル積ベクトル空間を基礎ベクトル空間として持ち、 の作用は次の仮定によって一意に決定される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

すべてのおよびに対して です。つまり、 です。 ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

テンソル積表現に関連するリー代数表現は次式で与えられる: ^[8]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

2 つの既約表現のテンソル積は通常既約ではありません。したがって、表現論における基本的な問題は、既約表現のテンソル積を既約部分空間の直和として分解することです。この問題は、物理学の文献では「角運動量の加算」または「クレプシュ・ゴルダン理論」と呼ばれています。

をリー群とし、をGの表現とする。を双対空間、つまり 上の線型関数の空間とする。すると、表現を次の式で 定義できる。${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

ここで、任意の演算子 に対して、転置演算子 は「演算子との合成」として定義されます。 ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(基底で作業する場合、 は の通常の行列転置にすぎません。) の定義の逆は、恒等式 を考慮して が実際に の表現であることを保証するために必要です。 ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi ^{*}}$${\displaystyle \Pi ^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

既約表現の双対は常に既約であるが^[9]、元の表現と同型である場合もそうでない場合もある。例えば、群SU(3)の場合、既約表現は非負整数のペアでラベル付けされる。に関連付けられた表現の双対はに関連付けられた表現である。^[10]${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$

多くの場合、リー群の表現を研究するには、関連するリー代数の表現を研究するのが便利です。しかし、一般的には、リー代数の表現のすべてが群の表現から得られるわけではありません。この事実は、たとえば量子力学における整数スピンと半整数スピンの区別の背後にあります。一方、G が単連結群である場合、定理^[11]によれば、群とリー代数の表現の間には実際に 1 対 1 の対応関係があります。

G をリー代数 を持つリー群とし、の表現が手元にあると仮定します。リー対応は、Gの連結成分の群表現を得るために使用できます。大まかに言えば、これはリー代数表現の行列の行列指数を取ることによって行われます。 Gが単連結でない場合は微妙な問題が生じます。これは、 Gの射影表現、または物理学の用語で言う多値表現をもたらす可能性があります。これらは実際にはGの普遍被覆群の表現です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これらの結果については、以下でさらに詳しく説明します。

リー対応は群の連結成分に対してのみ結果を与えるので、群全体の他の成分は、各成分に対して1つずつ、これらの成分を表す行列の代表を与えることによって別々に扱われる。これらは、Gのゼロ次ホモトピー群（の代表）を形成する。例えば、4成分ローレンツ群の場合、空間反転と時間反転の代表は手動で入力する必要がある。以下のローレンツ群の表現論からさらに例証される。

がリー代数 を持つリー群である場合、 からへの指数写像は次のように表される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

が行列リー群である場合、式は指数関数の通常のべき級数によって計算できます。任意のリー群には、 の恒等写像の近傍と の原点の近傍が存在し、のすべての写像はで のように一意に書き表せるという性質があります。つまり、指数写像には局所逆写像があります。ほとんどの群では、これは局所的であるだけです。つまり、指数写像は通常、1 対 1 写像でも全射写像でもありません。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle e^{X}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=e^{X}}$${\displaystyle X\in V}$

リー群Gの表現からそのリー代数の表現へは常に移行可能である。Π : G → GL( V )が何らかのベクトル空間Vの群表現である場合、その恒等写像におけるプッシュフォワード（微分）、つまりリー写像はリー代数表現である。これは^{[12]を用いて明示的に計算される。}${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V}$

とを関連付ける基本的な性質は指数写像を含む：^[12]${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

私たちが調べたい問題は、 のすべての表現が、このようにして群 の表現から生じるかどうかです。後で説明するように、が単連結である場合がこれに該当します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

このセクションの主な結果は次のとおりです。^[13]

定理:が単連結である場合、 のリー代数のすべての表現は、それ自体の表現から生じます。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$

このことから、次のことが簡単に推測できます。

系:が連結だが単連結でない場合、のすべての表現はの普遍被覆であるの表現から得られます。 が既約である場合、 はの射影表現に降下します。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$

射影表現は、それぞれが定数による乗算までしか定義されない表現である。量子物理学では、状態は実際には定数までしか定義されないため、通常の表現に加えて射影表現を許容するのが自然である。（つまり、 が量子ヒルベルト空間内のベクトルである場合、 は任意の定数 に対して同じ物理的状態を表す。）連結リー群のすべての有限次元射影表現は、の普遍被覆の通常の表現に由来する。[ ^14]逆に、以下で説明するように、 のすべての既約な通常の表現は、の射影表現に帰着する。物理学の文献では、射影表現はしばしば多値表現（つまり、それぞれが単一の値ではなく、値の族全体を持つ）として説明される。この現象は、量子力学における 分数スピンの研究にとって重要である。${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle c\psi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi (g)}$

ここで、上記の主な結果の証明の概要を示します。 はベクトル空間V上の の表現であるとします。関連するリー群表現 が存在する場合、それは前のサブセクションの指数関係を満たしている必要があります。ここで、指数の局所的可逆性を考慮して、次の関係によっての恒等関数の近傍からの写像を定義できます。 ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

重要な疑問は、この局所的に定義された写像は「局所準同型」であるか、ということである。（この疑問は、指数写像が大域的に一対一かつ全射である特殊な場合でも当てはまる。その場合、は大域的に定義された写像となるが、なぜが準同型となるのかは明らかではない。）この疑問に対する答えはイエスである。は局所準同型であり、これはベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使用して証明できる。^[15]${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$

が連結である場合、 のすべての要素は少なくとも の要素の指数の積です。したがって、 を次のように大域的に暫定的に定義できます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Pi }$

ただし、与えられた群要素を指数の積として表現することは一意とはほど遠いため、実際に明確に定義されているかどうかは明らかではないことに注意してください。 ${\displaystyle \Pi }$

が適切に定義されているかどうかという疑問に対処するために、連続パスを使用して各グループ要素を恒等写像に接続します。すると、パスに沿って を定義し、端点を固定したパスの連続変形で の値が変わらないことを示すことができます。が単連結である場合、恒等写像で始まり で終わる任意のパスは、他の任意のそのようなパスに連続的に変形できるため、 がパスの選択とは完全に独立していることがわかります。恒等写像の近くでの の初期定義が局所準同型であったことを考えると、大域的に定義されたマップも(G2) を満たす準同型であることを示すことは難しくありません。^[16]${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi (g)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Pi (g)}$${\displaystyle \Pi }$

が単連結でない場合、上記の手順をの普遍被覆に適用できます。を被覆写像とします。 の核がの核を含む場合、 は元のグループ の表現になります。 そうでなくても、 の核はの離散正規部分群であり、したがって の中心にあることに注意してください。 したがって、が既約である場合、シューアの補題により、 の核は恒等関数のスカラー倍数によって作用することになります。 したがって、 はの射影表現、つまり恒等関数のスカラー倍数を法としてのみ定義される表現になります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$

普遍被覆群がそのようなホモトピー類をすべて含む様子を図で示したものと、その技術的な定義（集合として、また群として）を幾何学的観点から示します。

例えば、これを二重連結 SO(3, 1) ⁺に特殊化すると、普遍被覆群は となり、それに対応する表現が忠実であるかどうかによってΠが射影的かどうかが決まります。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Gが連結コンパクトリー群である場合、その有限次元表現は既約表現の直和として分解できる。^[17]既約表現は「最高重みの定理」によって分類される。ここではこの理論について簡単に説明する。詳細については、連結コンパクトリー群の表現論および半単純リー代数の表現を分類する平行理論に関する記事を参照のこと。

T をG内の最大トーラスとします。Schurの補題により、 Tの既約表現は1 次元です。これらの表現は簡単に分類でき、特定の「解析的積分要素」または「重み」でラベル付けされます。がGの既約表現である場合、 のTへの制限は通常既約ではありませんが、関連する重みでラベル付けされたTの既約表現の直和として分解されます。(同じ重みが複数回発生することがあります。) が固定されている場合、重みの 1 つを「最高」として識別でき、表現はこの最高の重みによって分類されます。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

表現論の重要な側面は、関連する指標理論である。ここで、 Gの表現に対して、指標は関数である。 ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C} }$

与えられた

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).}$

同じ特性を持つ 2 つの表現は同型であることがわかります。さらに、ワイル特性公式は、表現の特性をその最高重みの観点から表す優れた公式を提供します。この公式は、表現に関する多くの有用な情報を提供するだけでなく、最高重みの定理の証明において重要な役割を果たします。

V を無限次元の複素ヒルベルト空間とし、 をV上のユニタリ作用素の群とする。V上のリー群Gのユニタリ表現は、各 を固定した に対して、写像 ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle g\mapsto \Pi (g)v}$

はGからVへの連続写像です。

ヒルベルト空間Vが有限次元の場合、のリー代数の関連表現が存在する。 が連結である場合、の表現がユニタリであるためには、 が各 に対して歪自己随伴となる必要がある。^[18]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (X)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

がコンパクトである場合、有限次元ベクトル空間V上のの任意の表現は「ユニタリ化可能」であり、これはそれぞれがユニタリになるようにV上の内積を選択することが可能であることを意味する。^[19]${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$

ヒルベルト空間Vが無限次元であることが許される場合、ユニタリ表現の研究には有限次元の場合には存在しない多くの興味深い特徴が伴う。例えば、リー代数の適切な表現の構築は技術的に困難になる。リー代数表現がよく理解されている設定の 1 つは、関連するリー代数表現が(g,K) モジュールを形成する半単純(または簡約) リー群である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ユニタリ表現の例は量子力学や量子場理論で見られるが、次の例に示すようにフーリエ解析でも見られる。 、複素ヒルベルト空間Vを とする。表現を次のように 定義する。${\displaystyle G=\mathbb {R} }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

ここでは、リー群のユニタリ表現が分析された重要な例をいくつか示します。

• ストーン・フォン・ノイマンの定理は、ハイゼンベルク群の既約ユニタリ表現の分類を与えるものとして理解することができます。
• ポアンカレ群の表現に対するウィグナーの分類は、粒子の質量とスピンが群論的な用語でどのように理解されるかを示すことにより、量子場の理論において重要な概念的役割を果たします。
• SL(2,R)の表現論はV. Bargmannによって考案され、非コンパクト半単純リー群のユニタリ表現の研究の原型として機能します。

量子物理学では、リー群の射影ユニタリ表現に関心が寄せられることが多い。その理由は、量子系の状態がヒルベルト空間のベクトルで表現されるからである。ただし、定数だけ異なる 2 つの状態は実際には同じ物理的状態であるという理解のもとでである。ヒルベルト空間の対称性はユニタリ演算子で記述されるが、単位元の倍数であるユニタリ演算子は系の物理的状態を変えない。したがって、通常のユニタリ表現、つまりユニタリ群への の準同型ではなく、射影ユニタリ表現、つまり射影ユニタリ群への の準同型に関心がある。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle U(\mathbf {H} )}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.}$

言い換えると、射影表現に対して、ユニタリ演算子の族を構築します。ここで、絶対値 1 の定数による変更は「同じ」演算子としてカウントされます。演算子は、定数までの準同型性プロパティを満たす必要があります。 ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).}$

回転群SO(3)の既約射影ユニタリ表現については既に上で説明しました。射影表現を考慮すると、整数スピンに加えて分数スピンも考慮されます。

バーグマンの定理は、ある種のリー群に対して、 の既約射影ユニタリ表現はの普遍被覆の通常のユニタリ表現と一対一に対応することを述べています。バーグマンの定理が適用される重要な例としては、SO(3) (先ほど述べたように) とポアンカレ群があります。後者は、ウィグナーによるポアンカレ群の射影表現の 分類にとって重要であり、量子場の理論にも応用されています。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

バーグマンの定理が適用されない例の 1 つは、群 です。 上の位置と運動量の変換の集合は、 の射影ユニタリ表現を形成しますが、 の普遍被覆の通常の表現(それ自体です)からは得られません。 この場合、通常の表現を得るには、の 1 次元中心拡張であるハイゼンベルク群に渡らなければなりません。 (ここ で議論を参照してください。) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

が可換リー群である場合、複素ベクトル空間上の のすべての既約ユニタリ表現は 1 次元である。(この主張はシューアの補題から導かれ、表現が有限次元であると前もって仮定されていない場合でも成り立つ。) したがって、 の既約ユニタリ表現は、単位円群 U(1) へのの連続準同型にすぎない。たとえば、 である場合、既約ユニタリ表現は次の形式を持つ。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax}]}$、

ある実数に対して。 ${\displaystyle a}$

この場合については、 ポントリャーギン双対性も参照してください。

• 連結コンパクト群の表現論
• リー代数表現
• 射影表現
• SU(2)の表現論
• ローレンツ群の表現論
• ホップ代数の表現論
• リー群の随伴表現
• リー群のトピックのリスト
• 量子力学における対称性
• ウィグナーD行列

• フルトン、W.、ハリス、J.（1991）。表現理論。最初のコース。数学の大学院テキスト。第129巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249。
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、第 267 巻、Springer、ISBN 978-1461471158。
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666。
• ナップ、アンソニー W. (2002)、リー群入門を超えて、数学の進歩、第 140 巻 (第 2 版)、ボストン:ビルクハウザー。
• ロスマン、ウルフ（2001）、リー群：線型群による入門、オックスフォード大学院数学テキスト、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-859683-72003 年の再版では、いくつかの誤植が修正されています。
• ワインバーグ、S. (2002) [1995]、基礎、場の量子論、第1巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-55001-7