光ファイバー束

数学、特に位相幾何学において、ファイバー束（コモンウェルス英語ではfiber bundle）とは、局所的には積空間であるが、大域的には異なる位相構造を持つ空間のことである。具体的には、空間間の類似性は、${\displaystyle E}$そして製品スペース${\displaystyle B\times F}$は連続全射写像を用いて定義される。${\displaystyle \pi :E\to B,}$小さな地域で${\displaystyle E}$対応する領域からの投影とまったく同じように振る舞う${\displaystyle B\times F}$に${\displaystyle B.}$ 地図${\displaystyle \pi ,}$束の投影または沈み込みと呼ばれる空間は、束の構造の一部とみなされる。${\displaystyle E}$ファイバー束の総空間として知られています。${\displaystyle B}$ベーススペースとして、そして${\displaystyle F}$繊維。​

些細なケースでは、${\displaystyle E}$はただ${\displaystyle B\times F,}$そして地図${\displaystyle \pi }$これは、積空間から第一因子への射影にすぎません。これは自明な束と呼ばれます。非自明なファイバー束の例としては、メビウスの帯やクラインの壺、非自明な被覆空間などがあります。多様体の接束やその他のより一般的なベクトル束などのファイバー束は、主束と同様に、微分幾何学や微分位相幾何学において重要な役割を果たします。

射影写像と「可換」なファイバー束の全空間間の写像は束写像として知られており、ファイバー束のクラスはそのような写像に関して圏を形成します。基底空間自体からの束写像（恒等写像を射影とする）から${\displaystyle E}$は、​${\displaystyle E.}$ ファイバー束はさまざまな方法で特殊化できますが、最も一般的な方法は、局所的な自明なパッチ間の遷移マップが、ファイバーに作用する構造群と呼ばれる特定のトポロジー群に属することを要求することです。${\displaystyle F}$。

位相幾何学において、ファイバー（ドイツ語: Faser）およびファイバー空間（gefaserter Raum ）という用語は、1933年にヘルベルト・ザイフェルトの論文で初めて登場したが、 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}彼の定義は非常に特殊な場合に限られている。しかし、現在のファイバー空間の概念との主な違いは、ザイフェルトにとって、ファイバー（位相）空間Eの基底空間（位相空間）と呼ばれるものは構造の一部ではなく、Eの商空間としてそこから派生したものであったことである。ファイバー空間の最初の定義は、1935年にハスラー・ホイットニーによって球面空間という名前で与えられたが、 ^{[ 4 ]} 1940年にホイットニーは球面束という名前に変更した。^{[ 5 ]}

ベクトル束、主束、位相的ファイブレーション、ファイバー多様体はファイバー空間の特殊なケースであり、この理論はヘルベルト・ザイフェルト^、ハインツ・ホップ、ジャック・フェルドバウ^{[ 6 ]}ホイットニー、ノーマン・スティーンロッド、チャールズ・エーレスマン[ ^{7 ] [ 8 ] [ 9 ]}ジャン＝ピエール・セール[ ^{10 ]ら}に帰せられる。

繊維束は1935年から1940年の間に研究対象となった。最初の一般的な定義はホイットニーの著作に現れた。^{[ 11 ]}

ホイットニーは、より特殊な概念である球束の研究から、ファイバー束の一般的な定義に至った。 ^{[ 12 ]}球束とは、ファイバーが任意の寸法の球であるファイバー束のことである。^{[ 13 ]}

ファイバーバンドルは4タプルである${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$どこ${\displaystyle E,B,}$そして${\displaystyle F}$は位相空間であり、${\displaystyle \pi :E\to B}$は、以下に概説する局所自明性条件を満たす連続全射である。${\displaystyle B}$と呼ばれるバンドルのベーススペース、${\displaystyle E}$の総面積、そして${\displaystyle F}$のファイバー。地図${\displaystyle \pi }$と呼ばれる投影図（またはバンドル射影）。以下では、基底空間が${\displaystyle B}$接続されています。

すべての${\displaystyle x\in B}$開放的な近隣地域があります${\displaystyle U\subseteq B}$の${\displaystyle x}$（これを自明化近傍と呼ぶ）同相写像が存在する${\displaystyle \varphi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times F} (ただし$\displaystyle \pi ^{-1}(U)$部分空間トポロジーが与えられ、${\displaystyle U\times F}$（製品空間）を、${\displaystyle \pi }$これは、第一因子への射影と一致する。つまり、次の図は可換であるはずだ。

どこ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$は自然射影です。すべての集合${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$と呼ばれる束の局所的な自明化。

したがって、任意の${\displaystyle p\in B}$原像${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$は同相である${\displaystyle F}$（これは、${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$）そして、ファイバーオーバーと呼ばれる${\displaystyle p}$すべてのファイバー束${\displaystyle \pi :E\to B}$製品の投影は開いた地図であるため、これは開いた地図です。したがって${\displaystyle B}$マップによって決定される商トポロジーを運びます${\displaystyle \pi .}$

ファイバー束${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$しばしば表記される $${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$$これは、短い完全数列 に類似しており、ファイバー、全空間、基底空間がどれであるか、また全空間から基底空間への写像がどれであるかを示しています。

A滑らかなファイバー束は、滑らかな多様体のカテゴリーに属するファイバー束である。つまり、${\displaystyle E}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle F}$は滑らかな多様体である必要があり、上記のすべての関数は滑らかな写像である必要があります。

A繊維束の断面（または横断面${\displaystyle \pi }$連続マップ${\displaystyle f:B\to E}$そのため${\displaystyle \pi (f(x))=x}$Bのすべてのxに対して。一般にバンドルは大域的に定義されたセクションを持たないため、この理論の目的の 1 つは、その存在を説明することです。セクションの存在に対する障害は、多くの場合、コホモロジー クラスによって測定でき、これが代数トポロジーにおける特性クラスの理論につながります。

最もよく知られた例は、毛玉定理であり、オイラー類は、どこにも消滅しない断面を持つ2次元球面の接束に対する障害物である。

多くの場合、局所的なセクションのみを定義したい（特にグローバルなセクションが存在しない場合）。ファイバー束の局所セクションは連続マップである。${\displaystyle f:U\to E}$ここで、UはBの開集合であり、${\displaystyle \pi (f(x))=x}$Uのすべてのxについて。${\displaystyle (U,\,\varphi )}$が局所自明化チャートである場合、 U上には常に局所セクションが存在する。このようなセクションは連続写像と1-1 対応している。${\displaystyle U\to F}$セクションは束を形成する。

ファイバー束には、重なり合う局所自明化チャート間の対応条件を記述する対称群がしばしば伴います。具体的には、左側のファイバー空間Fに連続的に作用する位相群をGとします。GがFに忠実に作用し、 Fの同相写像群とみなせるようにしても、何も失われません。束のGアトラス${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$は、局所的自明化チャートの集合です。${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$任意の${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$重複するグラフについて${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$そして${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$機能 $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$ は $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$ どこ${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$連続マップと呼ばれる遷移関数。2 つのGGである場合に同値である。GバンドルはGの同値類を持つファイバーバンドルである。グループGは、束の構造群。これは物理学におけるゲージ群、基底空間を変化させない主G

滑らかなカテゴリーにおいて、Gバンドルとは、 Gがリー群であり、 F上の対応する作用が滑らかであり、遷移関数がすべて滑らかな写像であるような滑らかなファイバーバンドルのことである。

遷移関数${\displaystyle t_{ij}}$以下の条件を満たす

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

3番目の条件は、3重重なりU _i ∩ U _j ∩ U _{kに適用され、（チェフ）}コサイクル条件と呼ばれます（チェフコホモロジーも参照）。この条件の重要な点は、遷移関数がファイバー束を決定することです（コサイクル条件を仮定した場合）。

主G束とは、ファイバーFがG自身の左作用に対する主同次空間であるG束のことである（言い換えれば、ファイバーFに対するGの作用が自由かつ推移的、すなわち正則であると指定することもできる）。この場合、 FをGと同一視して主束に対するGの（右）作用を得ることがしばしば便宜上行われる。

2つのファイバー束間のマッピングの概念があると便利です。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$基本スペースであり、${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$そして${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$繊維束は${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$それぞれ。バンドルマップまたはバンドル射は、連続関数のペアから構成される ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$ そのため${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$つまり、次の図は可換である。

構造グループを持つ繊維束の場合${\displaystyle G}$そしてその総スペースは（右）${\displaystyle G}$-空間（主束など）の場合、束射も必要となる。${\displaystyle G}$-ファイバー上で同変である。これは、${\displaystyle \varphi :E\to F}$また${\displaystyle G}$1 から 1 への射${\displaystyle G}$-空間から別の空間へ、つまり、${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$すべての人々のために${\displaystyle x\in E}$そして${\displaystyle s\in G}$。

ベーススペースの場合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$一致すると、束射が${\displaystyle M}$繊維束から${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$に${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$地図${\displaystyle \varphi :E\to F}$そのため${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$これは、バンドルマップが${\displaystyle \varphi :E\to F}$のアイデンティティをカバーする${\displaystyle M}$つまり、${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$そして、次の図は可換である。

両方とも${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$そして${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$同じ基底空間上で定義される${\displaystyle M}$束同型とは束写像のことである。${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$間${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$そして${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$そのため${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$そしてそのような${\displaystyle \varphi }$これも同相写像である。^{[ 15 ]}

微分可能な多様体のカテゴリーでは、ファイバー束は、ある多様体から別の多様体への沈め込みとして自然に発生します。すべての（微分可能な）沈め込みがそうであるとは限りません。${\displaystyle f:M\to N}$微分可能な多様体Mから別の微分可能な多様体Nへの写像は微分可能なファイバー束を生み出す。まず、写像は全射でなければならず、${\displaystyle (M,N,f)}$これはファイバー多様体と呼ばれます。しかし、この必要条件は必ずしも十分条件ではなく、一般的に用いられる十分条件は様々です。

MとNがコンパクトで連結している場合、任意の水没${\displaystyle f:M\to N}$ファイバー束が生じるのは、各ファイバーに微分同相なファイバー空間Fが存在し、${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$は繊維束である。（${\displaystyle f}$（この場合、既に与えられた仮定に従う。）より一般的には、コンパクト性の仮定は、沈下が${\displaystyle f:M\to N}$は全射な写像であると仮定される。つまり、${\displaystyle f^{-1}(K)}$Nの任意のコンパクト部分集合Kに対してコンパクトである。Ehresmann (1951)によるもう 1 つの十分条件は、${\displaystyle f:M\to N}$MとNは微分可能な多様体であり、逆像は${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$コンパクトで、あらゆる人に接続できます${\displaystyle x\in N,}$それから${\displaystyle f}$適合するファイバー束構造を許容する（Michor 2008 、§17）。

• 束の概念は、局所自明性条件を適切に修正することで、数学のより多くのカテゴリーに適用されます。主同次空間とトルソル（代数幾何学）を参照してください。
• 位相幾何学において、ファイブレーションとは写像である。${\displaystyle \pi :E\to B}$これは、ファイバー束と共通する特定のホモトピー理論的な性質を持つ。具体的には、緩やかな技術的仮定の下では、ファイバー束は常にホモトピー持ち上げ性質またはホモトピー被覆性質を持つ（詳細はSteenrod（1951、11.7 ）を参照）。これがファイブレーションの定義的な性質である。
• ファイバー束の一部は、「出力範囲が入力に連続的に依存する関数」である。この特性は、依存型という概念によって正式に表現される。

• スティーンロッド、ノーマン（1951）、『繊維束のトポロジー』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08055-0{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• スティーンロッド、ノーマン（1999年4月5日）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン数学シリーズ。第 14巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-00548-5OCLC 40734875​​ 
• ブリーカー、デイビッド（1981）、『ゲージ理論と変分原理』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー出版、ISBN 978-0-201-10096-9
• チャールズ・エールズマン(1951)。 「空間繊維の区別可能な無限の接続」。Colloque de Topologie (Espaces fibrés)、ブリュッセル、1950 年。パリ：ジョルジュ・トーン、リエージュ。 Masson et Cie.、 29 ～ 55ページ。 
• ヒューゼモラー、デール（1994）、『ファイバーバンドル』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics , vol.  93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
• ヴォイツェホフスキー、MI（2001）[1994]、「ファイバー空間」、数学百科事典、EMS Press

• ファイバーバンドル、プラネットマス
• ローランド、トッド。 「ファイバーバンドル」。MathWorld 。
• ジョン・ロビンソンの象徴的な彫刻作品「永遠」の制作
• Sardanashvily, Gennadi、「ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジュ理論。理論家のための講義」、arXiv : 0908.1886