G2 （数学）

数学では、G ₂は 3 つの単純リー群(複素形式、コンパクト実形式、および分裂実形式) であり、それらのリー代数は${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},}$また、いくつかの代数群も含まれます。これらは、5 つの例外的な単純リー群の中で最小のものです。G _{2 はランク 2、次元 14 を持ちます。次元 7 と 14 の 2 つ}の基本表現があります。

_{G 2}のコンパクト形式は、八元数代数の自己同型群、または同等に、8 次元実スピノル表現(スピン表現) 内の任意の特定のベクトルを保存する SO(7) の部分群として記述できます。

リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$最小の例外的な単純リー代数である は、単純リー代数を分類しようとする試みの中で最初に発見されたものです。1887年5月23日、ヴィルヘルム・キリングはフリードリヒ・エンゲルに手紙を書き、14次元の単純リー代数を発見したと伝えました。現在では と呼ばれています。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$[ ^{1 ]​}

1893年、エリー・カルタンは、オープンセットを記述したメモを発表した。${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$2次元分布、すなわち接空間の滑らかに変化する2次元部分空間の場を備え、リー代数が${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$微小対称性として現れる。^{[ 2 ]}同年、同じ雑誌で、エンゲルも同じことに気づいた。後に、2次元分布は、別のボールの上を転がるボールと密接に関係していることが発見された。転がるボールの配置空間は5次元であり、ボールが滑ったりねじれたりせずに転がる動きを記述する2次元分布がある。^{[ 3 ] [ 4 ]}

1900年、エンゲルは、7次元複素ベクトル空間上の一般的な反対称三線形形式（または3形式）が、G2の複素形式と同型な群によって保存されることを発見し_た。^{[ 5 ]}

1908年にカルタンは、八元数の自己同型群は14次元の単純リー群であると述べている。^{[ 6 ]} _{1914年には、これがG2} のコンパクト実形式であると述べている。^{[ 7 ]}

古い書籍や論文では、G _{2は E 2}と表記されることもあります。

このルート系には、3つの単純な実リー代数が関連付けられています。

• 複素リー代数 G ₂の基礎となる実リー代数は次元 28 である。複素共役を外部自己同型として持ち、単連結である。その関連群の最大コンパクト部分群は G ₂のコンパクト形式である。
• コンパクト形式のリー代数は14次元である。関連するリー群は、外部自己同型写像​​も中心も持たず、単連結かつコンパクトである。
• 非コンパクト（分割）形式のリー代数の次元は14である。関連する単純リー群の基本群の位数は2であり、その外側の自己同型群は自明群である。その最大コンパクト部分群はSU(2) × SU(2)/(−1,−1)である。このリー代数は単連結な非代数的二重被覆を持つ。

G ₂は、7 つの非可換変数に関する次の 2 つの多項式の自己同型群です。

${\displaystyle C_{1}=t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle C_{2}=tuv+wtx+ywu+zyt+vzw+xvy+uxz}$（±順列）

これは八元数代数から導かれる。変数は非可換でなければならない。そうでなければ、2番目の多項式は恒等的にゼロになってしまう。

係数A、 ...、Nを持つ14個の生成器の表現を追加すると、次の行列が得られます。 

${\displaystyle A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}={\begin{bmatrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-EL\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{bmatrix}}}$

それはまさにその群のリー代数である

${\displaystyle G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}}$

480 種類の表現があります${\displaystyle G_{2}}$八元数の 480 の表現に対応します。較正された形式は、${\displaystyle \varphi }$30種類の異なる形式があり、それぞれに16種類の異なる符号付きバリエーションがあります。各符号付きバリエーションは、符号付き差分を生成します。${\displaystyle G_{2}}$そしてそれぞれは対応する 16 個の八元数の自己同型写像​​である。したがって、実際には 30 種類の異なる表現しかない。${\displaystyle G_{2}}$これらはすべて、可逆形式を用いたクリフォード代数^{[ 8 ]}で構成することができる。${\displaystyle 3e_{1234567}\pm \varphi }$八元数の場合。その他の符号付きバリエーションについては${\displaystyle \varphi }$この形式には、部分的な非結合代数を分類する他の 6 つの剰余が含まれています。${\displaystyle G_{2}}$対称性。${\displaystyle \mathrm {スピン} (15)}$セデニオンと、少なくとも11の関連する他の代数につながる。

実数および複素数リー代数とリー群の有限次元表現の指標はすべてワイル指標公式によって与えられる。最小既約表現の次元は（OEISのシーケンスA104599）である。

1、7、14、27、64、77（2回）、182、189、273、286、378、448、714、729、748、896、924、1254、1547、1728、1729、2079（2回）、2261、2926、3003、3289、3542、4096、4914、4928（2回）、5005、5103、6630、7293、7371、7722、8372、9177、9660、10206、10556、11571、 11648、12096、13090...

14次元表現は随伴表現であり、7次元表現はG ₂による虚数八元数への作用である。

次元が77、2079、4928、30107などの非同型既約表現が2つ存在する。基本表現は次元が14と7のものである（これは、3つの矢印が最初のノードから2番目のノードに向かう順序で、ディンキン図の2つのノードに対応する）。

Vogan (1994)は G ₂の分割実形式の (無限次元) ユニタリ既約表現について記述した。

_{次元77までのG2}の最大部分群の埋め込みが右側に示されている。

群 G ₂ ( q ) は、有限体F _q上の代数群 G ₂の点です。これらの有限群は、奇数qについてはディクソン (1901)で、偶数qについてはディクソン (1905)で、レオナルド・ユージン・ディクソンによって初めて導入されました。 G ₂ ( q )の位数はq ⁶ ( q ⁶ − 1)( q ² − 1)です。q ≠ 2の場合、この群は単純であり、q = 2の場合、 ² A ₂ (3 ^{2 ) と同型な}指数2の単純部分群を持ち、八元数の最大位数の自己同型群です。ヤンコ群J _{1 は、最初に G 2} (11)の部分群として構成されました。リー（1960）は、 q = 3 ^{2 n +1}（3の奇数乗）に対して、位数q ³（q ³ + 1）（q − 1）のねじれリー群² G ₂（q）を導入した。

• カルタン行列
• ディンキン図
• 例外的なジョルダン代数
• 基本表現
• G2構造_​
• 嘘グループ
• 7次元外積
• シンプル・ライ・グループ
• ダビデの星

• アダムス、J.フランク（1996）『例外的なリー群に関する講義』、シカゴ数学講義シリーズ、シカゴ大学出版局、ISBN 978-0-226-00526-3MR 1428422​ 
• Baez, John (2002)、「八元数」、Bull. Amer. Math. Soc.、39 (2): 145–205、arXiv : math/0105155、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X、S2CID 586512 。

セクション 4.1: G ₂を参照してください。そのオンライン HTML 版はhttp://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.htmlで入手できます。

• Bryant, Robert (1987)、「例外的なホロノミーを持つ計量」、Annals of Mathematics、2、126 ( 3): 525–576、doi : 10.2307/1971360、JSTOR 1971360 
• ディクソン、レナード・ユージン（1901）「任意の体における線形群の理論」、アメリカ数学会紀要、2（4）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：363–394、doi：10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3、ISSN 0002-9947、JSTOR 1986251、彼の論文集第2巻に再録  レナード・E・ディクソンは、奇数特性の分野において_G2型のグループを報告した。
• ディクソン、LE（1905）「単純群の新しい体系」、Math. Ann.、60：137–150、doi：10.1007/BF01447497、S2CID 179178145 レナード・E・ディクソンは、偶数特性の領域で_G2型のグループを報告した。
• _{Ree, Rimhak (1960)、「(G 2} )型の単純リー代数に関連する単純群の族」、Bulletin of the American Mathematical Society、66 (6): 508–510、doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X、ISSN 0002-9904、MR 0125155  
• _{Vogan, David A. Jr. (1994)、「G 2}のユニタリ双対」、Inventiones Mathematicae、116 (1): 677–791、Bibcode : 1994InMat.116..677V、doi : 10.1007/BF01231578、ISSN 0020-9910、MR 1253210、S2CID 120845135