多様体上のG構造

微分幾何学では、 $n$ -多様体 $M$ 特定の構造群^{[ 1 ]の場合} $G$ は、 $G$ -接線フレームバンドルのサブバンドル ${\text{F}}M$ （または $\operatorname {GL} (M)$ ）の $M$ 。

という概念 $G$ -構造には、多様体上に定義できるさまざまな古典的な構造が含まれており、場合によってはテンソル場になります。たとえば、直交群の場合、 $\operatorname {O} (n)$ -構造はリーマン計量を定義し、特殊線形群に対しては $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ -構造は体積形式と同じです。自明群の場合、 $\{e\}$ 構造は、多様体の絶対的な平行性から成り立っています。

この考え方を位相空間上の任意の主束に一般化すると、主束が $G$ グループをまとめて $G$ サブグループから「来る」 $H$ の $G$ これは構造群の縮小と呼ばれます（ $H$ )

多様体上のいくつかの構造、例えば複素構造、シンプレクティック構造、ケーラー構造などは、 $G$ -追加の積分可能性条件を持つ構造。

構造群の縮小

校長先生が $G$ グループをまとめて $G$ サブグループから「来る」 $H$ の $G$ これは構造群の縮小と呼ばれます（ $H$ ）そして、どんな地図にも理にかなっている $H\to G$ これは（用語上は）包含マップである必要はない。

意味

以下では、 $X$ 位相空間である、 $G,H$ 位相群と $\phi \colon H\to G$ 群準同型写像。

コンクリートの束に関して言えば

元金が与えられた場合 $G$ -バンドル $P$ 以上 $X$ 構造群の縮小（ $G$ に $H$ ) は $H$ -バンドル $Q$ そして同型写像 $\phi _{Q}\colon Q\times _{H}G\to P$ 関連付けられたバンドルを元のバンドルに関連付けます。

空間を分類するという観点から

地図が与えられた $\pi \colon X\to BG$ 、どこ $BG$ は分類空間です $G$ -バンドル、構造群の縮小はマップです $\pi _{Q}\colon X\to BH$ そしてホモトピー $\phi _{Q}\colon B\phi \circ \pi _{Q}\to \pi$ 。

特性と例

構造群の縮約は必ずしも存在するとは限らない。存在する場合でも、同型性のため、通常は本質的に一意ではない。 $\phi$ これはデータの重要な部分です。

具体的な例として、偶数次元の実ベクトル空間はすべて、複素ベクトル空間の基礎となる実空間と同型であり、線形複素構造を持ちます。実ベクトル束がほぼ複素構造を持つのは、複素ベクトル束の基礎となる実ベクトル束と同型である場合に限ります。これは、包含写像GL ( n , C ) → GL (2 n , R )に沿った縮小です。

遷移写像に関して言えば、Gバンドルは、遷移写像がHに値を取ることができる場合に限り、縮約できます。縮約という用語は誤解を招く可能性があることに注意してください。これは、 HがGの部分群であることを示唆していますが、これは多くの場合当てはまりますが、必ずしもそうである必要はありません (たとえば、スピン構造の場合)。これは正しくは持ち上げと呼ばれます。

より抽象的に言うと、「X上のGバンドル」はGにおける関手^[²^]です。リー群準同型H → Gが与えられたとき、誘導によって (上記のように) HバンドルからGバンドルへの写像が得られます。GバンドルBの構造群の縮小は、その像がBであるHバンドルを選択することです。

HバンドルからGバンドルへの誘導写像は一般に全射でも単射でもないため、構造群は必ずしも縮約できるとは限らず、縮約できる場合でも一意であるとは限りません。例えば、すべての多様体が向き付け可能であるとは限らず、向き付け可能な多様体はちょうど 2 つの向きしか許容しません。

HがGの閉部分群である場合、G束BのHへの還元と、BをHの右作用で商化することによって得られるファイバー束B / Hの全体切断との間には、自然な 1 対 1 の対応関係が存在する。具体的には、ファイブレーションB → B / Hは、 B / H上の主H束である。σ : X → B / Hが切断である場合、引き戻し束B _H = σ ⁻¹BはBの還元である。^[³^]

G構造

次元のすべてのベクトル束 $n$ 正統的な $GL(n)$ -バンドル、フレームバンドル。特に、すべての滑らかな多様体には、正準ベクトルバンドル、接線バンドルがあります。リー群の場合 $G$ 群準同型 $\phi \colon G\to GL(n)$ 、 $G$ -構造は、フレームバンドルの構造群を縮小したものです。 $G$ 。

例

以下の例は、実ベクトル束、特に滑らかな多様体の接束について定義されています。

いくつかの $G$ -構造は他の構造によって定義されます: 向き付けられた多様体上のリーマン計量が与えられた場合、 $G$ 二重カバーの構造 ${\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)$ これはスピン構造である。（ここでいう群準同型は包含関係ではないことに注意。）

主要バンドル

主束の理論はG構造の研究において重要な役割を果たしますが、この 2 つの概念は異なります。G構造は接フレーム束の主部分束ですが、 G構造束が接フレームから構成されているという事実はデータの一部とみなされます。たとえば、R ⁿ上の 2 つのリーマン計量を考えます。関連する O( n ) 構造は、計量が等長である場合に限り同型になります。しかし、R ⁿは可縮であるため、可縮空間上の唯一の束は自明な束であるため、基礎となる O( n ) 束は常に主束として同型になります。

この2つの理論の根本的な違いは、 G構造の基礎となるG束に関する追加データ、すなわちソルダー形式を与えることで捉えることができる。ソルダー形式は、Mの接束とそれに対応するベクトル束との正準同型を指定することで、 G構造の基礎となる主束を多様体自体の局所的な幾何学に結びつけるものである。ソルダー形式は接続形式ではないが、時には接続形式の前身とみなすことができる。

詳細には、Q がG構造の主束であると仮定します。QがMのフレーム束の縮約として実現される場合、はんだ付け形式は、包含に沿ったフレーム束のトートロジー形式の引き戻しによって与えられます。抽象的に、 Q をフレーム束の縮約としての実現とは無関係に主束とみなすと、はんだ付け形式は、R ⁿ上のGの表現ρと束の同型θ : TM → Q × _ρ R ⁿから構成されます。

積分可能性条件と平坦なG構造

多様体上のいくつかの構造、例えば複素構造、シンプレクティック構造、ケーラー構造などはG構造（したがって遮蔽可能）ですが、追加の積分可能性条件を満たす必要があります。対応する積分可能性条件がない場合、その構造は「ほぼ」構造と呼ばれ、例えば、ほぼ複素構造、ほぼシンプレクティック構造、またはほぼケーラー構造などと呼ばれます。

具体的には、シンプレクティック多様体構造は、シンプレクティック群のG構造よりも強い概念です。多様体上のシンプレクティック構造は、M上の非退化な2形式ω（つまり、 $Sp$ -構造、またはほぼシンプレクティック構造）に加えて、d ω = 0という追加条件があります。この後者は積分可能性条件と呼ばれます。

同様に、葉層構造はブロック行列から得られるG構造に対応し、フロベニウスの定理が適用されるような積分可能性条件も伴います。

平坦なG構造とは、可換なベクトル場からなる大域断面 ( V ₁ ,..., V _n ) を持つG構造Pのことである。G構造が可積分（または局所的に平坦）であるとは、それが局所的に平坦なG構造と同型である場合をいう。

G構造の同型性

Mの微分同相写像のうち、 G構造を保存するものの集合を、その構造の自己同型群と呼ぶ。O( n ) 構造の場合、それはリーマン計量の等長写像群であり、SL( n , R ) 構造の場合は体積を保存する写像群である。

多様体M上のG構造をP、多様体N上のG構造をQ とする。このとき、G構造の同型写像とは、線形フレームf _* : FM → FNのプッシュフォワードがPからQへの写像となるような微分同相写像f : M → Nのことである。（ Q がf _*の像に含まれるだけで十分であることに注意。）G構造PとQは、 M が開集合Uによる被覆と、 f _UがP | _U→ Q | _f ( U ₎の同型写像を誘導するような微分同相写像の族f _U : U → f ₍_U ) ⊂ Nを持つ場合、局所的に同型である。

G構造の自己同型とは、 G構造Pとそれ自身との同型写像のことである。多様体上の重要な幾何学的構造の多くはG構造として実現できるため、幾何学的構造の変換群の研究において自己同型は頻繁に現れる^[⁶^{] 。}

G構造の言語を用いることで、幅広い種類の同値問題を定式化できる。例えば、リーマン多様体のペアは、それらの直交フレームの束が（局所的に）同型なG構造である場合に限り、（局所的に）同値である。この観点からすると、同値問題を解く一般的な手順は、 G構造の不変量の体系を構築し、それによってG構造のペアが局所的に同型であるかどうかを判定することである。

G構造上の接続

Q をM上のG構造とする。主束Q上の主接続は、任意の関連ベクトル束、特に接束上に接続を誘導する。このようにしてTM上に生じる線形接続∇ は、 Qと適合していると言われる。Q と適合する接続は、適応接続とも呼ばれる。

具体的に言うと、適応接続は移動フレームの観点から理解できる。^{[ 7 ]} V _{i が}TMの局所セクションの基底（つまり、 M上のフレーム）であり、 Qのセクションを定義すると仮定する。任意の接続∇ は、基底依存の 1 形式ωのシステムを決定する。

∇ _X V _i = ω _i^j (X)V _j

ここで、1形式の行列として、ω ∈ Ω ¹ (M) ⊗ gl ( n ) である。適合接続とは、ωがGのリー代数gの値をとる接続のことである。

G構造のねじれ

任意のG構造には、接続のねじれに関連するねじれの概念が関連付けられています。与えられたG構造は、さまざまな互換性のある接続を多数許容し、それらの接続はさまざまなねじれを持つ可能性がありますが、それでも、次のようにG 構造のねじれの独立した概念を与えることができます。^{[ 8 ]}

2つの適応接続の差は、随伴束Ad _Qに値をとるM 上の1形式である。つまり、適応接続の空間A ^QはΩ ¹ (Ad _Q ) のアフィン空間である。

適応接続のねじれがマップを定義する

A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,

TMの係数を持つ 2 形式へ。この写像は線形です。その線形化

\displaystyle \tau

これは代数的ねじれ写像と呼ばれます。2 つの適合接続∇と∇ ′が与えられた場合、それらのねじれテンソルT _∇、T _{∇ ′}はτ ( ∇ − ∇ ′ )だけ異なります。したがって、 coker( τ ) におけるT _∇の像は∇の選択に依存しません。

任意の適合接続∇に対するcoker(τ)_におけるT∇の像は、G構造のねじれと呼ばれます。G構造は、そのねじれがゼロである場合にねじれフリーであると言われます。これは、 Qがねじれフリーの適合接続を許容する場合に正確に起こります。

例：ほぼ複雑な構造物のねじり

G構造の一例として、ほぼ複素構造、すなわち偶数次元多様体の構造群を GL( n , C ) に縮小したものが挙げられる。このような縮小は、J ² = − 1 となるC ^∞線形自己準同型J ∈ End( TM )によって一意に決定される。この場合、ねじれは次のように明示的に計算できる。

簡単な次元数えでわかるように

\Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )

、

ここで、Ω ^2,0 ( TM ) は、以下の条件を満たす形式B ∈ Ω ² ( TM )の空間である。

B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,

したがって、ほぼ複素構造のねじれは、 Ω ^2,0 ( TM )の要素とみなすことができます。ほぼ複素構造のねじれがそのナイエンハイステンソルに等しいことは容易に確認できます。

高次G構造

特定のG構造 (例えば、シンプレクティック形式の場合)に積分可能性条件を課すことは、延長の過程を通して処理できる。このような場合、延長されたG構造は、線形フレームの束のG部分束と同一視することはできない。しかし多くの場合、延長はそれ自体が主束であり、その構造群は高階ジェット群の部分群と同一視できる。この場合、それは高階G構造と呼ばれる [小林]。一般に、カルタンの同値法はこのような場合に適用できる。

注記

↑これは嘘グループです $G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ 一般線形群へのマッピング $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ これは多くの場合リー部分群ですが、常にそうとは限りません。たとえば、スピン構造の場合、写像はその像への被覆空間になります。
↑確かに、それはGとXの双関手です。
↑古典場理論では、このようなセクション $\sigma$ 古典的ヒッグス場を記述する( Sardanashvily, G. (2006). "Geometry of Classical Higgs Fields". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 03 : 139– 148. arXiv : hep-th/0510168 . doi : 10.1142/S0219887806001065 .)
↑これはゲージ重力理論における重力場です（ Sardanashvily, G. (2006). "Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 3 (1): v– xx. arXiv : gr-qc/0512115 . Bibcode : 2005gr.qc....12115S .）
1 2ベッセ 1987 、§14.61
↑小林 1972
↑小林 1972 、I.4
↑ゴードゥション 1997

参考文献

ベス、アーサー L. (1987)。アインシュタイン多様体。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)。 Vol. 10. 2008 年に再版。ベルリン: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-540-74311-8。ISBN 3-540-15279-2。MR 0867684。Zbl 0613.53001。
Chern, Shiing-Shen (1966). " G構造の幾何学" .Bulletin of the American Mathematical Society . 72 (2): 167–219 . doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8 .
ガウドゥション、ポール（1997）。「ほぼ超複素構造の正準接続」。複素解析と幾何学。ピットマン数学研究ノートシリーズ。第366巻。ロングマン。123-113頁。ISBN 978-0-582-29276-5。
小林正七（1972）『微分幾何学における変換群』数学古典シリーズ。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-58659-3. OCLC 31374337 .
シュロモ・スターンバーグ(1983).微分幾何学講義(第 2 版). ニューヨーク: チェルシー出版. ISBN 978-0-8218-1385-0OCLC 43032711
Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "還元的G構造とリー微分". Journal of Geometry and Physics . 47 (1): 66– 86. arXiv : math/0201235 . Bibcode : 2003JGP....47...66G . doi : 10.1016/S0393-0440(02)00174-2 . MR 2006228 . S2CID 119558088 .

[1] これは嘘グループです $G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ 一般線形群へのマッピング $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ これは多くの場合リー部分群ですが、常にそうとは限りません。たとえば、スピン構造の場合、写像はその像への被覆空間になります。

[2] 確かに、それはGとXの双関手です。

[3] 古典場理論では、このようなセクション $\sigma$ 古典的ヒッグス場を記述する( Sardanashvily, G. (2006). "Geometry of Classical Higgs Fields". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 03 : 139– 148. arXiv : hep-th/0510168 . doi : 10.1142/S0219887806001065 .)

[4] これはゲージ重力理論における重力場です（ Sardanashvily, G. (2006). "Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 3 (1): v– xx. arXiv : gr-qc/0512115 . Bibcode : 2005gr.qc....12115S .）

[:0-5] 1 2ベッセ 1987 、§14.61

[6] 小林 1972

[7] 小林 1972 、I.4

[8] ゴードゥション 1997

[ 1 ]の場合

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]