行列（数学）

数学において、行列（複数形：matrices）は、要素またはエントリが行と列に配置された数値、記号、または式の長方形の配列または表であり、数学的オブジェクトまたはそのようなオブジェクトのプロパティを表すために使用されます。

たとえば、 は 2 行 3 列の行列です。これは、「2 行 3 列の行列」、「行列」、または次元 の行列と呼ばれることがよくあります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle 2\times 3}$${\displaystyle 2\times 3}$

行列は一般的に線型代数と関連しています。注目すべき例外としては、グラフ理論における接続行列と隣接行列があります。^[1]この記事では線型代数に関連する行列に焦点を当てており、特に指定がない限り、すべての行列は線型マップを表すか、そのように見なすことができます。

正方行列、つまり行と列の数が同じ行列は、行列理論で重要な役割を果たします。与えられた次元の正方行列は非可換環を形成します。これは非可換環の最も一般的な例の 1 つです。正方行列の行列式は行列に関連付けられた数であり、正方行列の研究の基本となります。たとえば、正方行列が逆行列となるのは、行列式がゼロ以外の値を持ち、正方行列の固有値が多項式行列式の根である場合のみです。

幾何学では、行列は幾何学的変換（回転など）や座標変更を指定および表現するために広く使用されています。数値解析では、多くの計算上の問題が行列計算に還元されることによって解決され、これにはしばしば巨大な次元の行列による計算が含まれます。行列は、直接的に、または幾何学や数値解析での使用を通じて、数学や科学分野のほとんどの領域で使用されています。

行列理論は、行列の研究に焦点を当てた数学の分野です。当初は線型代数のサブ分野でしたが、すぐにグラフ理論、代数、組合せ論、統計に関連する科目を含むようになりました。

行列は数値（またはその他の数学的オブジェクト）の長方形配列であり、行列の要素と呼ばれます。行列は加算や乗算などの標準的な演算の対象となります。 ^{[2]最も一般的には、}体 F上の行列はFの要素の長方形配列です。^{[3] [4]}実行列と複素行列は、それぞれ実数または複素数を要素とする行列です。より一般的なタイプの要素については以下で説明します。たとえば、これは実行列です。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}$

行列内の数字、記号、または式は、行列のエントリまたは要素と呼ばれます。行列のエントリの水平線と垂直線は、それぞれ行と列と呼ばれます。

行列のサイズは、行列に含まれる行と列の数によって定義されます。行と列の数が正の整数である限り、行列 (通常の意味で) に含まれる行と列の数に制限はありません。行と列を持つ行列は、行列または-by-行列と呼ばれ、 とは行列の次元と呼ばれます。たとえば、上記の行列は行列です。 ${\displaystyle {m}}$${\displaystyle {n}}$${\displaystyle {m\times n}}$${\displaystyle {m}}$${\displaystyle {n}}$${\displaystyle {m}}$${\displaystyle {n}}$${\displaystyle {\mathbf {A}}}$${\displaystyle {3\times 2}}$

1行の行列は行ベクトル、1列の行列は列ベクトルと呼ばれます。行と列の数が同じ行列は正方行列と呼ばれます。^{[5]行または列（またはその両方）の数が無限の行列は無限行列と呼ばれます。}コンピュータ代数プログラムなどの一部のコンテキストでは、行または列のない行列（空行列と呼ばれる）を検討すると便利です。

記号による行列表記の詳細は多岐にわたりますが、いくつかの一般的な傾向があります。行列は一般に角括弧または丸括弧で記述されるため、行列は と表されます 。これは 、または の場合の ように、単一の一般的な用語のみを、場合によってはインデックスとともに記述することで省略できます 。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{または}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}}$$${\displaystyle \mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}$${\displaystyle n=m}$

行列は通常、大文字を使用して表記され（上記の例のように）、対応する小文字と 2 つの下付きインデックス（ 、など）はエントリを表します。大文字を使用して行列を表記することに加えて、多くの著者は、行列を他の数学的オブジェクトとさらに区別するために、特別な書体（通常は太字のローマン体（非斜体））を使用します。別の表記法としては、 のように、変数名に太字の有無にかかわらず二重下線を使用する方法があります。 ${\displaystyle {\mathbf {A}}}$${\displaystyle {a_{11}}}$${\displaystyle {a_{1,1}}}$${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$

行列Aのi行目およびj列目の要素は、行列のまたは要素と呼ばれることもあり、通常はまたはで表されます。この要素の代替表記はおよびです。たとえば、次の行列の要素は5です( 、 、またはとも表記されます)。 ${\displaystyle {i,j}}$${\displaystyle {(i,j)}}$${\displaystyle {a_{i,j}}}$${\displaystyle {a_{ij}}}$${\displaystyle {\mathbf {A} [i,j]}}$${\displaystyle {\mathbf {A} _{i,j}}}$${\displaystyle (1,3)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {a_{13}}}$${\displaystyle {a_{1,3}}}$${\displaystyle \mathbf {A} [1,3]}$${\displaystyle {{\mathbf {A} }_{1,3}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}$

場合によっては、行列の要素は のような式で定義されることがあります。たとえば、次の行列の各要素は、式 によって決定されます。 ${\displaystyle a_{i,j}=f(i,j)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a_{ij}=ij}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

この場合、行列自体は、角括弧または二重括弧内の式によって定義されることがあります。たとえば、上の行列はまたはとして定義されます。行列のサイズが の場合、上記の式は任意のおよび任意のに対して有効です。これは、別途指定することも、添え字として を使用して示すこともできます。たとえば、上の行列は であり、またはとして定義できます。 ${\displaystyle {\mathbf {A} }=[ij]}$${\displaystyle {\mathbf {A} }=((ij))}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(i,j)}$${\displaystyle i=1,\dots ,m}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle 3\times 4}$${\displaystyle {\mathbf {A} }=[i-j](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)}$${\displaystyle {\mathbf {A} }=[i-j]_{3\times 4}}$

一部のプログラミング言語では、 m行n列の行列を表現するために、二重添字配列（または配列の配列）を使用します。一部のプログラミング言語では、配列のインデックスの番号付けがゼロから始まり、その場合、 m行n列の行列のエントリは、およびでインデックス付けされます。^{[6]この記事では、列挙が}1から始まる、数学的な記述でより一般的な慣例に従います。 ${\displaystyle 0\leq i\leq m-1}$${\displaystyle 0\leq j\leq n-1}$

m行n列の実行行列全体の成す集合は、しばしばまたは と表記される。他の体、または環R上のm行n列の行列全体の成す集合も同様にまたは と表記される。正方行列の場合のようにm = nの場合には、次元を繰り返さない。または^[7] 、または がの代わりに使用されることが多い。${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n),}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,R),}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(R).}$  ${\displaystyle {\mathcal {M}}(n,R),}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R).}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Mat} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$

行列にはいくつかの基本的な演算を適用できます。転置や部分行列など、行列要素の性質に依存しない演算もあります。行列の加算、スカラー乗算、行列の乗算、行演算など、行列要素に対する演算を伴う演算は、行列要素が数値であるか、体または環に属していることを必要とします。^[8]

このセクションでは、行列の要素は、通常は数値体である固定環に属していると仮定します。

追加

2つのm × n行列AとBの合計A + Bは 、エントリごとに計算されます。 たとえば、 $${\displaystyle ({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.}$$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$

スカラー乗算

数 c (この文脈ではスカラーとも呼ばれる) と行列 A の積c Aは、 Aのすべての要素にc を掛けることによって計算されます。 この演算はスカラー乗算 と呼ばれますが、その結果は混乱を避けるために「スカラー積」とは呼ばれません。「スカラー積」は「内積」の同義語としてよく使用されるためです。例: $${\displaystyle (c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}}$$

${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

減算

2つのm × n行列の減算は、行列の加算と-1によるスカラー乗算を組み合わせることによって定義されます。

${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B} }$

転置

m × n行列Aの転置行列は、行を列に、列を行に変換することによって形成される n × m行列A ^{T (} A ^trまたは^t Aとも表記)です。 例: $${\displaystyle \left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.}$$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$

数字のよく知られた性質は、行列の演算にも当てはまります。例えば、加算は可換です。つまり、行列の和は加数の順序に依存しません。A + B = B + Aです。^[9] 転置は加算やスカラー乗算と互換性があり、( c A ) ^T = c ( A ^T )および( A + B ) ^T = A ^T + B ^Tと表されます。最後に、( A ^T ) ^T = Aです。

2つの行列の乗算は、左行列の列数が右行列の行数と同じ場合にのみ定義されます。Aがm×n行列でBがn×p行列の場合、それらの行列積ABは、Aの対応する行 とBの対応する列のドット積で与えられる要素を持つm × p行列です。^[10]

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},}$

ここで1 ≤ i ≤ mかつ1 ≤ j ≤ pである。^[11]例えば、積の下線部の2340は、(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340として計算される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

行列の乗算は、行列のサイズがさまざまな積が定義されるようなものであれば、 ( AB ) C = A ( BC ) (結合法則)、( A + B ) C = AC + BC、およびC ( A + B ) = CA + CB (左分配法則と右分配法則) の規則を満たします。^[12]積AB はBAが定義されなくても定義できます。つまり、 AとBがそれぞれm × nとn × k行列で、m ≠ kの場合です。両方の積が定義されている場合でも、通常は等しい必要はありません。 $${\displaystyle {\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.}$$

言い換えれば、行列の乗算は可換ではない。これは、積が因数の順序に依存しない（有理数、実数、複素数）数とは著しく対照的である。^[10]互いに可換でない2つの行列の例は次の通りである。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}$

一方

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

上で説明した通常の行列乗算の他に、アダマール積やクロネッカー積など、あまり頻繁には使用されないが乗算の一種と考えられる行列演算も存在します。^{[13]これらは}シルベスター方程式などの行列方程式を解くときに発生します。

行操作には次の 3 種類があります。

1. 行の追加、つまり行を別の行に追加します。
2. 行の乗算、つまり行のすべてのエントリをゼロ以外の定数で乗算します。
3. 行切り替え、つまり行列の 2 つの行を交換すること。

これらの演算は、線形方程式を解いたり、逆行列を求めたりするなど、さまざまな方法で使用されます。

行列の部分行列は、行および/または列の集合を削除することによって得られる行列である。 ^{[14] [15] [16]}たとえば、次の3行4列の行列から、行3と列2を削除して2行3列の部分行列を構築することができる。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}$

行列の小行列式と余行列式は、特定の部分行列の行列式を計算することによって求められます。^{[16] [17]}

主部分行列は、特定の行と列を削除することによって得られる正方部分行列です。定義は著者によって異なります。一部の著者によると、主部分行列とは、残っている行インデックスのセットが残っている列インデックスのセットと同じである部分行列です。^{[18] [19]}他の著者は、主部分行列を、ある数kに対して最初のk行と列が残っているものと定義しています。^{[20]このタイプの部分行列は、}リーディング主部分行列とも呼ばれています。^[21]

行列は、複数の線形方程式、つまり線形方程式のシステムを簡単に記述したり操作したりするために使用できます。たとえば、Aがm × n行列で、xがn個の変数x ₁、x ₂、...、 x n の列ベクトル（つまりn×1行列）を示し、b_がm × 1列ベクトルである場合、行列方程式

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

は線形方程式系と同等である^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}$

行列を使うと、すべての方程式を別々に書き出すよりも簡潔に解くことができます。n = mで方程式が独立している場合、次のように書くことができます。

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$

ここで、A ^−1はAの逆行列です。Aに逆行列がない場合、解（もしあれば）は一般化逆行列を使用して見つけることができます。

行列および行列の乗算は、線型変換（線型写像とも呼ばれる）と関連付けたときに、その本質的な特徴を明らかにします。実数m行n列の行列A は、 ⁠ ⁠の各ベクトルxを(行列) 積Axに写像する線型変換を生じます。この (行列) 積 Ax は⁠ ⁠のベクトルです。逆に、各線型変換は、一意のm行n列の行列Aから生じます。明示的には、Aの( i , j )要素はf  ( e _j )のi番目の座標であり、e _j = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)は、 j番目の位置が 1 、それ以外が 0である単位ベクトルです${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$。行列Aは線型写像f を表すと言われ、A はfの変換行列と呼ばれます。

例えば、2×2行列

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}$

は、単位正方形を(0, 0)、( a、b )、( a + c、b + d )、( c、d )を頂点とする平行四辺形に変換したものと見ることができます。右に示す平行四辺形は、各列ベクトルA を順に乗算することで得られます。これらのベクトルは単位正方形の頂点を定義します。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

次の表は、いくつかの 2×2 実行行列と、それに関連付けられた線形マップを示しています。青い${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$オリジナルは、緑のグリッドと図形にマッピングされています。原点( 0, 0)は黒い点でマークされています。

行列と線型写像の1対1対応のもとでは、行列の乗算は写像の合成に対応する。 ^[23] k行m列の行列Bが別の線型写像を表す場合、 g∘fの合成はBAで表さ れる。${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$$${\displaystyle (g\circ f)({\mathbf {x}})=g(f({\mathbf {x}}))=g({\mathbf {Ax}})={\mathbf {B}}({\mathbf {Ax}})=({\mathbf {BA}}){\mathbf {x}}.}$$

最後の等式は、前述の行列乗算の結合性から導かれます。

行列 Aの階数は、行列の線形独立な行ベクトルの最大数であり、線形独立な列ベクトルの最大数と同じです。 ^[24]同様に、これはAで表される線型写像の像の次元です。^[25]階数零定理は、行列の核の次元と階数を加えたものが行列の列数に等しいと述べています。^[26]

正方行列は、行数と列数が同じ行列です。^[5] n行n列の行列は、 n次の正方行列として知られています。同じ次数の任意の2つの正方行列を加算および乗算できます。要素a _iiは、正方行列の主対角線を形成します。これらは、行列の左上隅から右下隅まで走る仮想線上にあります。

Aの主対角線より下の要素がすべてゼロの場合、Aは上三角行列と呼ばれます。同様に、Aの主対角線より上の要素がすべてゼロの場合、A は下三角行列と呼ばれます。主対角線より外側の要素がすべてゼロの場合、A は対角行列と呼ばれます。

サイズnの単位行列 I n_は、主対角線上のすべての要素が 1 に等しく、他のすべての要素が 0 に等しい n 行 n 列の行列です。たとえば、 これは次数n の正方行列であり、特殊な種類の対角行列でもあります。これを乗算しても行列が変化しないため、単位行列と呼ばれます。 任意のm行n列の行列A に対してです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\[4pt]\mathbf {I} _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\\[4pt]\vdots &\\[4pt]\mathbf {I} _{n}&={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathbf {AI}}_{n}={\mathbf {I}}_{m}{\mathbf {A}}={\mathbf {A}}}$$

単位行列の非ゼロのスカラー倍数は、スカラー行列と呼ばれます。行列の要素が体から取得される場合、スカラー行列は、行列の乗算によって、体の非ゼロ要素の乗法群と同型のグループを形成します。

正方行列Aがその転置行列に等しい場合、つまりA = A ^Tは対称行列です。一方、A がその転置行列の負の数に等しい場合、つまりA = − A ^Tの場合、Aは歪対称行列です。複素行列では、対称性はエルミート行列の概念に置き換えられることが多く、これはA ^∗ = A を満たします。ここで、星印またはアスタリスクは行列の共役転置、つまりAの複素共役の転置を表します。

スペクトル定理によれば、実対称行列と複素エルミート行列は固有基底を持ちます。つまり、すべてのベクトルは固有ベクトルの線形結合として表現できます。どちらの場合も、すべての固有値は実数です。^[27]この定理は、無限の行と列を持つ行列に関連する無限次元の状況に一般化できます（以下を参照）。

正方行列Aは、次のような行列Bが存在するとき、可逆または非特異であると呼ばれます。 ^{[28] [29]} ここで、I _{n は}、主対角線上に 1 があり、それ以外は 0 であるn × n単位行列です。B が存在する場合、それは一意であり、 Aの逆行列と呼ばれ、A ⁻¹と表記されます。 $${\displaystyle {\mathbf {AB}}={\mathbf {BA}}={\mathbf {I}}_{n},}$$

対称実数行列A は、関連する二次形式が⁠ ⁠内の すべての非ゼロベクトルxに対して正の値を持つ場合、正定値と呼ばれます。f  ( x )が負の値のみを生成する場合、 Aは負定値です。f が負の値と正の値の両方を生成する場合、A は不定値です。 ^[30]二次形式f が非負の値 (正またはゼロ) のみを生成する場合、対称行列は半正定値(または非正の値のみの場合は半負定値) と呼ばれます。したがって、行列が半正定値でも半負定値でもないときに、不定行列になります。 $${\displaystyle f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

対称行列は、その固有値がすべて正である場合にのみ正定値行列となります。つまり、行列は半正定値行列であり、逆行列が可能です。 ^[31]右の表は、2行2列の行列の2つの可能性を示しています。

代わりに2つの異なるベクトルを入力として与えると、Aに関連付けられた双線形形式が得られる: ^[32] $${\displaystyle B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.}$$

複素行列の場合、同じ用語と結果が適用されますが、対称行列、二次形式、双一次形式、転置 x ^{T は}それぞれエルミート行列、エルミート形式、セスクイリニア形式、共役転置 x ^Hに置き換えられます。

直交行列は、列と行が直交単位ベクトル（つまり、正規直交ベクトル）である実数要素を持つ正方行列です。同様に、行列A の転置が逆行列に等しい場合、行列Aは直交しています。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}$

それは

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}$

ここで、I _{n は}サイズnの単位行列です。

直交行列Aは、必然的に逆行列(逆行列A ⁻¹ = A ^T )、ユニタリ行列( A ⁻¹ = A * )、および正規行列( A * A = AA * )です。任意の直交行列の行列式は、 +1または-1のいずれかです。特別な直交行列は、行列式が +1である直交行列です。線形変換として、行列式が+1であるすべての直交行列は、反射のない純粋な回転です。つまり、変換は、変換された構造の方向を保存します。一方、行列式が -1 であるすべての直交行列は、方向を反転します。つまり、純粋な反射と (おそらくヌルの) 回転の組み合わせです。恒等行列は、行列式が1で、角度 0 による純粋な回転です。

直交行列の複素類似物はユニタリ行列です。

正方行列Aのトレースtr( A )は、その対角要素の合計です。行列の乗算は前述のように可換ではありませんが、2 つの行列の積のトレースは因子の順序に依存しません。

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$

これは行列乗算の定義から直接得られます。

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$

したがって、2つ以上の行列の積のトレースはその行列の巡回置換とは独立しているが、これは一般に任意の置換には当てはまらない（たとえば、一般にはtr( ABC )≠tr( BAC )）。また、行列のトレースはその転置のトレースに等しい。つまり、 $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\mathbf {A}})=\operatorname {tr} ({\mathbf {A}}^{\rm {T}}).}$$

正方行列Aの行列式( det( A )または| A |と表記) は、行列の特定の特性を表す数値です。行列式がゼロ以外の場合、行列は逆行列となります。その絶対値は、単位正方形 (または立方体) の像の面積 ( ⁠ ⁠単位)または体積 ( ⁠ ⁠単位) に等しく、その符号は対応する線形写像の向きに対応します。つまり、向きが保存される場合に限り、行列式は正になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2行2列の行列の行列式は次のように与えられる。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$^[33]

3行3列の行列式には6つの項が含まれる（サラスの法則）。より長いライプニッツの公式は、これら2つの公式をすべての次元に一般化します。^[34]

正方行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい 。 または別の表記法を使用する と、次のようになる。 ^{[35]任意の行の倍数を別の行に追加したり、任意の列の倍数を別の列に追加したりしても、行列式は変化しない。2つの行または2つの列を交換すると、行列式に-1が乗算されて影響が出る。 [36]}これらの操作を使用して、任意の行列を下（または上）三角行列に変換でき、そのような行列では、行列式は主対角線上の要素の積に等しくなります。これにより、任意の行列の行列式を計算する方法が提供されます。最後に、ラプラス展開は、行列式を小行列式、つまりより小さな行列の行列式で表します。 ^[37]この展開は、行列式の再帰的定義（1行1列の行列式（その唯一の要素）または0行0列の行列式（1）を出発点とする）に使用でき、ライプニッツの公式と同等であることがわかります。行列式は、クラメールの規則を使用して線形システムを解くために使用できます。クラメールの規則では、2つの関連する正方行列の行列式の除算は、システムの各変数の値に等しくなります。^[38]$${\displaystyle \det({\mathbf {AB}})=\det({\mathbf {A}})\cdot \det({\mathbf {B}}),}$$ $${\displaystyle |{\mathbf {AB}}|=|{\mathbf {A}}|\cdot |{\mathbf {B}}|.}$$

を満たす 数と非ゼロベクトルv${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

はそれぞれAの固有値と固有ベクトルと呼ばれる。^{[39] [40]}数λ がn × n行列Aの固有値となるのは、 ( A − λ I _n )が逆行列を持たない場合であり、これは次式と 等価である。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$^[41]

行列式det( X I _n − A )の評価によって与えられる不定式Xの多項式p _Aは、 Aの特性多項式と呼ばれます。これは、次数nの単項多項式です。したがって、多項式方程式p _A (λ) = 0には、最大でn 個の異なる解、つまり行列の固有値があります。^[42] Aの要素が実数であっても、それらは複素数になる可能性があります。ケーリー・ハミルトンの定理によれば、p _A ( A ) = 0、つまり、行列自体をその特性多項式に代入した結果は、ゼロ行列になります。  

行列の計算は、多くの場合、さまざまな手法で実行できます。多くの問題は、直接的なアルゴリズムと反復的なアプローチの両方で解決できます。たとえば、正方行列の固有ベクトルは、nが無限大に近づくときに固有ベクトルに収束するベクトルのシーケンスxn_を 見つけることによって得られます。^[43]

それぞれの特定の問題に対して最も適切なアルゴリズムを選択するには、利用可能なすべてのアルゴリズムの有効性と精度の両方を判断することが重要です。これらの問題を研究する領域は数値線形代数と呼ばれています。^{[44]他の数値状況と同様に、アルゴリズムの}複雑さと数値安定性という2つの主要な側面があります。

アルゴリズムの複雑さを判断するということは、たとえば行列の乗算など、何らかのアルゴリズムを実行するために必要なスカラーの加算や乗算などの基本演算の上限または推定値を見つけることです。上記の定義を使用して2 つのn行n列の行列積を計算するには、積のn ²個のエントリのいずれに対してもn回の乗算が必要なため、 n ^{3 回}の乗算が必要です。Strassenアルゴリズムはこの「単純な」アルゴリズムよりも優れており、n ^{2.807 回}の乗算しか必要としません。^[45]洗練されたアプローチには、コンピューティング デバイスの特定の機能も組み込まれています。

多くの実際の状況では、関係する行列に関する追加情報が既知である。重要なケースは疎行列、つまりほとんどの要素がゼロである行列である。共役勾配法など、疎行列Aの線形システムAx = bを解くために特別に適応されたアルゴリズムがある。^[46]

大まかに言えば、入力値の小さな偏差が結果に大きな偏差をもたらさない場合、アルゴリズムは数値的に安定している。例えば、ラプラス展開（adj( A )はAの補行列を表す） を介して行列の逆行列を計算すると 、行列式が非常に小さい場合、大きな丸め誤差が生じる可能性がある。行列のノルムは、行列の逆行列の計算など、線形代数問題の条件付けを捉えるために使用できる。^[47]$${\displaystyle {\mathbf {A}}^{-1}=\operatorname {adj} ({\mathbf {A}})/\det({\mathbf {A}})}$$

ほとんどのコンピュータプログラミング言語は配列をサポートしていますが、行列用の組み込みコマンドを備えて設計されていません。代わりに、現在使用されているほぼすべてのプログラミング言語で、利用可能な外部ライブラリが配列に対する行列演算を提供します。行列操作は、コンピュータの最も初期の数値アプリケーションの1つでした。^[48]オリジナルのダートマスBASICには、1964年の第2版の実装から、配列に対する行列演算用の組み込みコマンドがありました。 1970年代には早くも、HP 9830などの一部のエンジニアリングデスクトップコンピュータには、行列用のBASICコマンドを追加するためのROMカートリッジがありました。APLなどの一部のコンピュータ言語は行列を操作するように設計されており、さまざまな数学プログラムを使用して行列の計算を支援できます。^[49] 2023年の時点で、ほとんどのコンピュータには、ほとんどの高レベルの行列および線形代数ライブラリ（EISPACK、LINPACK、LAPACKなど）が依存している標準BLAS仕様を実装した、低レベルの何らかの形式の組み込み行列演算があります。これらのライブラリのほとんどは専門的なレベルのコーディングを必要としますが、LAPACK はNumPy / SciPy、R、GNU Octave、MATLABなどのより高レベルな（そしてユーザーフレンドリーな）バインディングによってアクセスできます。

行列をよりアクセスしやすい形式にする方法はいくつかあります。これらは一般に行列分解または行列因数分解技法と呼ばれます。これらすべての技法の興味深い点は、行列式、ランク、逆行列などの対象行列の特定のプロパティが保持されるため、変換を適用した後にこれらの量を計算できること、または特定の行列演算が一部のタイプの行列に対してアルゴリズム的に簡単に実行できることです。

LU分解は、行列を下三角行列（ L）と上三角行列（U）の積として因数分解します。 ^{[50]この分解が計算されると、}前進および後退置換と呼ばれる単純な手法を使用して、線形システムをより効率的に解くことができます。同様に、三角行列の逆行列はアルゴリズム的に計算が簡単になります。ガウス消去法は同様のアルゴリズムで、任意の行列を行階段形式に変換します。^[51]どちらの方法も、行列に適切な基本行列を乗算することで進行します。基本行列は、行または列を並べ替え、ある行の倍数を別の行に追加することに対応します。特異値分解は、任意の行列Aを積UDV ^∗として表します。ここで、UとVはユニタリ行列、Dは対角行列です。

固有分解または対角化は、 A を積VDV ⁻¹として表す。ここで、Dは対角行列、V は適切な可逆行列である。^[52] A をこの形式で表すことができる場合、対角化可能と呼ばれる。より一般的に、そしてすべての行列に適用できるジョルダン分解は、行列をジョルダン標準形、つまり、右に示すように、主対角線上に配置されたAの固有値λ ₁からλ _nと、主対角線の真上の 1 に等しい要素のみを非ゼロの要素とする行列に変換する。^[53]固有分解が与えられると、Aのn乗(つまり、n回反復された行列乗算) は、によって計算でき 、対角行列のべき乗は、対角要素の対応するべき乗を取ることによって計算でき、これはAのべき乗を行うよりもはるかに簡単である。これは、線形微分方程式、行列対数、行列の平方根を解く際に頻繁に必要となる行列指数e ^{A を}計算するために使用できます。^{[54]数値的に}悪条件の状況を回避するために、シューア分解などのさらなるアルゴリズムを使用できます。^[55]$${\displaystyle {\mathbf {A}}^{n}=({\mathbf {VDV}}^{-1})^{n}={\mathbf {VDV}}^{-1}{\mathbf {VDV}}^{-1}\ldots {\mathbf {VDV}}^{-1}={\mathbf {VD}}^{n}{\mathbf {V}}^{-1}}$$

行列はさまざまな方法で一般化できます。抽象代数では、より一般的な体や環にエントリを持つ行列を使用しますが、線型代数は、線型写像の概念で行列の特性をコード化します。無限の数の列と行を持つ行列を考えることができます。別の拡張はテンソルで、これは数値の高次元配列と見なすことができます。一方、ベクトルは数値の長方形または2次元配列です。^[56]行列は、特定の要件に従うと、行列グループと呼ばれるグループを形成する傾向があります。同様に、特定の条件下では、行列は行列リングと呼ばれる環を形成します。行列の積は一般に可換ではありませんが、特定の行列は行列体と呼ばれる体を形成します。一般に、行列とその乗算もカテゴリ、つまり行列のカテゴリを形成します。

この記事では、実数または複素数を要素とする行列に焦点を当てています。ただし、行列は、実数や複素数よりもはるかに一般的なタイプの要素を持つと考えることができます。一般化の第一歩として、任意の体、つまり加算、減算、乗算、除算の演算が定義され、適切に実行される集合を、⁠ ⁠ ⁠や⁠ ⁠ ⁠の代わりに使用できます。たとえば、有理数や有限体などです。たとえば、符号理論では有限体上の行列を使用します。固有値が考慮される場合はどこでも、これらは多項式の根であるため、行列の要素よりも大きな体にのみ存在できます。たとえば、実数要素を持つ行列の場合は複素数になる可能性があります。行列の要素をより大きな体の要素として再解釈する可能性があると (たとえば、実数行列を、要素がすべて実数である複素行列と見なす)、各正方行列が完全な固有値のセットを持っていると考えることができます。あるいは、最初から ⁠ ⁠のような代数的に閉じた体内の要素を持つ行列のみを考慮することもできます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

より一般的には、環 Rの要素を持つ行列は数学で広く使用されています。^[57]環は体よりも一般的な概念であり、除算演算が存在する必要はありません。行列のまったく同じ加算と乗算演算がこの設定にも拡張されます。R上のすべてのn行n列の正方行列の集合M( n , R ) ( M _n (R) ^[7]とも表記) は、行列環と呼ばれる環であり、左R加群R n^の自己準同型環と同型です。^[58]環Rが可換である場合、つまりその乗算が可換である場合、環M( n , R )はR上の結合代数でもあります。可換環R上の正方行列の行列式は、依然としてライプニッツの公式を使用して定義できます。このような行列が逆行列であるためには、その行列式がRにおいて逆行列であることが必要であり、この状況を体F上に一般化すると、すべての非ゼロ要素が逆行列となる。^[59]超環上の行列は超行列と呼ばれる。^[60]

行列のすべての要素が常に同じ環内にあるとは限らず 、また、どの環内にあるとも限りません。特殊ではありますが一般的なケースとして、ブロック行列があります。これは、要素自体が行列である行列と考えることができます。要素は正方行列である必要はなく、したがってどの環のメンバーである必要もありませんが、要素のサイズは特定の互換性条件を満たす必要があります。

線型写像R ⁿ → R ^{m は}、上で述べたように、m行n列の行列と同値である。より一般的には、有限次元ベクトル空間間の任意の線型写像f : V → Wは、 Vの基底v ₁、...、v _nとWの基底w ₁、...、w _m（したがって、 nはVの次元、m はWの次元）を選択した後、行列A = ( a _ij ) で記述することができ、これは次のようになる。

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.}$

言い換えれば、Aのj列は、 Wの基底ベクトルw _Iに関してv _jの像を表現します。したがって、この関係は、行列Aの要素を一意に決定します。行列は基底の選択に依存します。異なる基底の選択は、異なるが同等の行列を生み出します。^[61]上記の具体的な概念の多くは、この観点から再解釈できます。たとえば、転置行列A ^{T は、}双対基底に関する、Aによって与えられた線型写像の転置を記述します。^[62]

これらの性質はより自然に言い換えることができる。乗法を合成として持つ体上の要素を持つ行列のカテゴリは、この体上の有限次元ベクトル空間と線型写像のカテゴリと同値である。 ^[63]${\displaystyle k}$

より一般的には、 m × n行列の集合は、任意の単位元環Rの自由加群R ^mとR ⁿの間のR線型写像を表すために使用できます。 n = m のとき、これらの写像の合成が可能であり、これにより、R ⁿの自己準同型環を表すn × n行列の行列環が生成されます。   

群は、オブジェクトの集合と二項演算、つまり、特定の要件に従って、任意の 2 つのオブジェクトを 3 番目のオブジェクトに結合する演算で構成される数学的構造です。^[64]オブジェクトが行列で、グループ演算が行列の乗算であるグループは、行列群と呼ばれます。^{[65] [66]}すべての要素のグループは可逆でなければならないため、最も一般的な行列群は、指定されたサイズのすべての可逆行列のグループであり、一般線型群と呼ばれます。

行列の積や逆行列の下で保存される行列の性質は、さらに行列群を定義するために使用できる。例えば、与えられたサイズと行列式が1である行列は、その一般線型群のサブグループ（つまり、その一般線型群に含まれるより小さなグループ）を形成し、特殊線型群と呼ばれる。^[67] 直交行列は、条件によって決定される。

M ^T M = I、

直交群を形成する。^[68]すべての直交行列は行列式1または-1を持つ。行列式1を持つ直交行列は特殊直交群と呼ばれる部分群を形成する。

対称群の正規表現を考えればわかるように、すべての有限群は行列群と同型である。^{[69]一般群は、}表現論を用いて比較的よく理解されている行列群を用いて研究することができる。^[70]

無限の行や列を持つ行列を考えることも可能である^[71]が、それらは無限のオブジェクトであるため、そのような行列を明示的に記述することはできない。重要なのは、行をインデックスするセット内のすべての要素と、列をインデックスするセット内のすべての要素に対して、明確に定義されたエントリが存在するということである (これらのインデックス セットは、自然数のサブセットである必要さえない)。加算、減算、スカラー乗算、転置などの基本的な演算は問題なく定義できるが、行列の乗算では、結果のエントリを定義するために無限の合計が必要になる場合があり、これらは一般には定義されていない。

R が単位元を持つ任意の環である場合、右Rモジュールとしての の自己準同型環は、要素が でインデックス付けされ、各列に有限個の非ゼロ要素のみが含まれる列有限行列の環と同型です。左Rモジュールとして考えられたMの自己準同型は、類似のオブジェクト、つまり各行に有限個の非ゼロ要素のみが含まれる行有限行列になります。 ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathrm {CFM} _{I}(R)}$${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle \mathrm {RFM} _{I}(R)}$

無限行列を線型写像の記述に使用する場合、列の非ゼロ要素が有限個しかない行列のみを使用できます。その理由は次のとおりです。行列Aが線型写像f : V → Wを記述するには、両方の空間の基底が選択されている必要があります。定義により、これは、空間内のすべてのベクトルが基底ベクトルの (有限) 線型結合として一意に記述できることを意味していることを思い出してください。つまり、係数の (列) ベクトル ve として記述する場合、非ゼロ要素v _Iは有限個だけです。ここで、 Aの列は、 Wの基底におけるVの個々の基底ベクトルのfによる像を記述しますが、これは、これらの列に非ゼロ要素が有限個しかない場合にのみ意味があります。ただし、 Aの行には制限はありません。積A · vには、 vの非ゼロ係数が有限個しか含まれないため、その要素のそれぞれは、積の無限和として与えられても、非ゼロ項が有限個しか含まれず、したがって明確に定義されます。さらに、これはAの列の線形結合を形成することになり、実質的にはそれらの列の数が有限個だけになるため、結果には各列に非ゼロのエントリが有限個だけ含まれることになります。指定された型の 2 つの行列の積は明確に定義されており (列インデックスと行インデックスのセットが一致する場合)、同じ型であり、線形マップの合成に対応します。  

R がノルム環である場合、行または列の有限性の条件を緩和できます。ノルムが設定されている場合は、有限和の代わりに絶対収束する級数を使用できます。たとえば、列の合計が収束するシーケンスである行列は環を形成します。同様に、行の合計が収束する級数である行列も環を形成します。

無限行列はヒルベルト空間上の作用素を記述するためにも使用できるが、そこでは収束と連続性の問題が生じ、これもまた課さなければならない一定の制約をもたらす。しかし、行列の明示的な観点は問題をわかりにくくする傾向があるため^{[72] 、代わりに抽象的でより強力な}関数解析のツールを使用することができる。

空行列は、行または列（あるいはその両方）の数がゼロである行列である。^{[73] [74]空行列は、}ゼロベクトル空間を含む写像を扱うのに役立つ。例えば、Aが3行0列の行列でBが0行3列の行列である場合、ABは3次元空間Vからそれ自身へのヌル写像に対応する3行3列のゼロ行列であり、BAは0行0列の行列である。空行列には共通の表記法はないが、ほとんどのコンピュータ代数システムで作成および計算できる。0行0列の行列の行列式は、ライプニッツの行列式に現れる空積が1であることを考えると、次のように1である。この値は、任意の有限次元空間からそれ自身への恒等写像の行列式が 1であるという事実とも一致しており、この事実は行列式の特徴付けの一部としてよく使用される。

数学と他の科学の両方において、行列の応用は数多くある。それらのいくつかは、単に行列内の一連の数値のコンパクトな表現を利用している。例えば、ゲーム理論と経済学では、報酬行列は、プレイヤーが与えられた（有限の）戦略セットの中からどの戦略を選択するかに応じて、2人のプレイヤーの報酬をエンコードする。^[75] テキストマイニングと自動シソーラスコンパイルでは、 tf-idfなどの文書用語行列を使用して、複数の文書における特定の単語の頻度を追跡する。^[76]

複素数は、特定の2行2列の実数行列によって表すことができる。

${\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}$

複素数と行列の加算と乗算が互いに対応する。例えば、2行2列の回転行列は、上記のように絶対値が1である複素数との乗算を表す。同様の解釈は、四元数^[77]やクリフォード代数一般 についても可能である。

ヒル暗号などの初期の暗号化技術でも行列が使用されていました。しかし、行列の線形性質のため、これらのコードは比較的簡単に解読できます。^[78]コンピュータグラフィックスでは、行列を使用してオブジェクトを表現し、アフィン回転行列を使用してオブジェクトの変換を計算し、理論的なカメラ観測に対応する3次元オブジェクトを2次元スクリーンに投影するなどのタスクを実行したり、シャープニング、ぼかし、エッジ検出などの画像畳み込みを適用したりします。^[79]多項式環上の行列は、制御理論の研究で重要です。

化学では、特に分子結合や分光学を議論するために量子論が使用されるようになって以来、さまざまな方法で行列が使用されています。 例としては、ハートリー・フォック法の分子軌道を得るためにルートハン方程式を解く際に使用される重なり行列やフォック行列があります。

有限グラフの隣接行列はグラフ理論の基本的な概念である。^[80]これはグラフのどの頂点が辺でつながっているかを記録する。2つの異なる値（たとえば、1と0はそれぞれ「はい」と「いいえ」を意味する）だけを含む行列は論理行列と呼ばれる。距離（またはコスト）行列には辺の距離に関する情報が含まれる。^{[81]これらの概念は}ハイパーリンクで接続されたウェブサイトや道路などで接続された都市に適用でき、その場合（接続ネットワークが極端に密でない限り）、行列はスパースになる傾向がある、つまり、非ゼロのエントリはほとんど含まれない。したがって、ネットワーク理論では特別に調整された行列アルゴリズムを使用できる。

微分可能関数ƒ : R ⁿ → Rのヘッセ行列は、 ƒの複数の座標方向に関する2次導関数から成り、つまり、^[82]

${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$

これは関数の局所的成長挙動に関する情報をエンコードします。臨界点 x  =  ( x ₁ ,  ..., x _n )、つまりƒの最初の偏導関数がゼロになる点が与えられた場合、ヘッセ行列が正定値であれば関数は局所的最小値を持ちます。二次計画法は、行列に付随するものと密接に関連する二次関数の大域的最小値または最大値を見つけるために使用できます（上記を参照）。^[83]  ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$

幾何学的な状況でよく使われるもう一つの行列は、微分可能写像f : R ⁿ → R ^mのヤコビ行列である。f ₁ , ..., f _{m が}fの成分を表す場合、ヤコビ行列は次のように定義される^[84]

${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.}$

n > mで、ヤコビ行列の階数が最大値m に達すると、暗黙関数定理により、その点でf は局所的に逆行列となります。^[85]

偏微分方程式は、方程式の最高次微分演算子の係数行列を考慮することによって分類することができる。楕円偏微分方程式の場合、この行列は正定値であり、問​​題の方程式の可能な解の集合に決定的な影響を与える。^[86]

有限要素法は偏微分方程式を解く重要な数値計算法であり、複雑な物理システムのシミュレーションに広く適用されています。この方法では、ある方程式の解を区分線形関数で近似します。区分線形関数は、十分に細かいグリッドに基づいて選択され、行列方程式として書き直すことができます。^[87]

確率行列は、行が確率ベクトルである正方行列です。つまり、各要素は非負で合計が 1 になります。確率行列は、有限個の状態を持つマルコフ連鎖を定義するために使用されます。 ^[88]確率行列の行は、現在その行に対応する状態にある粒子の次の位置の確率分布を示します。マルコフ連鎖のような吸収状態、つまり、どの粒子も最終的に達成する状態の特性は、遷移行列の固有ベクトルから読み取ることができます。^[89]

統計学では、さまざまな形で行列も利用します。^[90] 記述統計学は、データセットの記述に関係しており、多くの場合、データ行列として表され、次元削減技術にかけられます。共分散行列は、いくつかのランダム変数の相互分散をエンコードします。^{[91]行列を使用する別の手法は、}線形最小二乗法です。これは、有限のペアの集合 ( x ₁、y ₁ )、 ( x ₂、y ₂ )、...、 ( x _N、y _N ) を線形関数で近似する方法です。

y _i ≈ ax _i + b、i = 1、...、N

これは行列の特異値分解に関連して行列で定式化できる。^[92]

ランダム行列は、行列の要素が乱数であり、行列正規分布などの適切な確率分布に従う行列である。確率論を超えて、数論から物理学に至るまでのさまざまな分野で応用されている。^{[93] [94]}

線形変換とそれに伴う対称性は、現代物理学において重要な役割を果たしている。例えば、量子場の理論における素粒子は、特殊相対論のローレンツ群の表現として、より具体的にはスピン群の下での挙動によって分類される。パウリ行列やより一般的なガンマ行列を含む具体的な表現は、スピノルとして挙動するフェルミオンの物理的記述の不可欠な部分である。^[95]最も軽い3つのクォークについては、特殊ユニタリー群SU(3)を含む群論的表現がある。物理学者は、それらの計算に、ゲルマン行列と呼ばれる便利な行列表現を使用する。これは、強い核相互作用の現代的な記述である量子色力学の基礎を形成するSU(3)ゲージ群にも使用される。カビボ・小林・益川行列は、弱い相互作用に重要な基本的なクォーク状態は、特定の異なる質量を持つ粒子を定義する基本的なクォーク状態と同じではなく、線形関係にあるという事実を表現している。^[96]

量子力学の最初のモデル（ハイゼンベルク、1925年）は、理論の演算子を量子状態に作用する無限次元行列で表現した。^{[97]これは}行列力学とも呼ばれる。1つの具体的な例は、量子系の「混合」状態を基本的な「純粋な」固有状態の線形結合として特徴付ける密度行列である。^[98]

もう一つの行列は、実験粒子物理学の基礎をなす散乱実験を記述するための重要なツールとして役立つ。粒子加速器で発生する衝突反応では、相互作用しない粒子が互いに向かって小さな相互作用領域で衝突し、その結果、相互作用しない新しい粒子のセットが生成されるが、これは出ていく粒子の状態のスカラー積と入ってくる粒子の状態の線形結合として記述できる。線形結合は、粒子間の可能な相互作用に関するすべての情報をエンコードするS行列と呼ばれる行列によって与えられる。 ^[99]

物理学における行列の一般的な応用は、線形結合した調和システムの記述である。このようなシステムの運動方程式は、質量行列に一般化速度を乗じて運動項を与え、力行列に変位ベクトルを乗じて相互作用を特徴付ける行列形式で記述することができる。解を得るための最良の方法は、行列方程式を対角化してシステムの固有ベクトル、つまり通常モードを決定することである。このような技術は、分子の内部ダイナミクス、つまり相互に結合した構成原子からなるシステムの内部振動に関しては極めて重要である。 ^[100]また、機械振動や電気回路の振動を記述するためにも必要である。^[101]

幾何光学では、さらに行列の応用が提供される。この近似理論では、光の波動性は無視される。その結果、光線が実際に幾何光線であるというモデルが得られる。光学要素による光線の偏向が小さい場合、レンズまたは反射要素の特定の光線に対する作用は、2成分ベクトルと2行2列の行列（光線転送行列解析と呼ばれる）の乗算として表すことができる。ベクトルの成分は光線の傾きと光軸からの距離であり、行列は光学要素の特性を表す。行列には2種類あり、レンズ表面での屈折を表す屈折行列と、別の屈折行列が適用される次の屈折面への基準面の移動を表す並進行列である。レンズおよび/または反射要素の組み合わせで構成される光学系は、単に、成分行列の積から得られる行列によって記述される。^[102]

電子工学における従来のメッシュ解析とノード解析は、行列で記述できる線形方程式のシステムにつながります。

多くの電子部品の動作は、行列を使用して記述できます。Aを、部品の入力電圧v ₁と入力電流I _{1 を}要素とする 2 次元ベクトルとし、B を、部品の出力電圧v ₂と出力電流I _{2 を}要素とする2 次元ベクトルとします。すると、電子部品の動作は、B = H · Aで記述できます。ここで、Hは、1 つのインピーダンス要素 ( h ₁₂ )、1つのアドミタンス要素 ( h ₂₁ )、および 2 つの無次元要素 ( h ₁₁とh ₂₂ ) を含む 2 x 2 行列です。これで、回路の計算は行列の乗算に簡略化されます。

行列は線形方程式を解くために長い歴史を持っていますが、1800 年代までは配列として知られていました。紀元前 10 世紀から 2 世紀にかけて書かれた中国のテキスト 『九章算術』は、同時方程式を解くために配列法を使用した最初の例であり、^[103]行列式の概念も含まれています。1545 年にイタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノは、著書『アルス・マグナ』を出版し、この方法をヨーロッパに紹介しました。^[104]日本の数学者関は 、 1683 年に同じ配列法を使用して同時方程式を解きました。 ^[105]オランダの数学者ヤン・デ・ウィットは、 1659 年の著書『曲線原論』で、配列を使用した変換を表現しました。^[106] 1700年から1710年の間に、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは情報や解を記録するための配列の使用を公表し、50種類以上の異なる配列システムを実験しました。^[104]クラマーは1750年に 彼の規則を発表しました。

「マトリックス」という用語は、ラテン語で「子宮」、「ダム」（繁殖用に飼育されている人間以外の雌の動物）、「源」、「起源」、「リスト」、「登録」を意味し、mater（母）に由来している^[107]）は、1850年にジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって造られたものである^{[108] 。}彼は、マトリックスを、今日マイナーと呼ばれるいくつかの行列式、つまり、元のマトリックスから列と行を削除して派生したより小さなマトリックスの行列式を生み出すオブジェクトとして理解していた。1851年の論文で、シルベスターは次のように説明している。^[109]

私は以前の論文で、「マトリックス」を、共通の親の子宮から生み出される可能性のあるさまざまな決定要因のシステムを含む、用語の長方形の配列として定義しました。

アーサー・ケイリーは、これまで行われていたように調査対象の係数を回転したバージョンではない行列を使用した幾何学的変換に関する論文を発表しました。代わりに、彼は加算、減算、乗算、除算などの演算をそれらの行列の変換として定義し、保持されている結合法則と分配法則を示しました。ケイリーは、行列の乗算の非可換性と行列の加算の可換性を調査し、実証しました。^[104]初期の行列理論では、配列の使用はほぼ行列式に限定されていましたが、アーサー・ケイリーの抽象的な行列演算は革命的でした。彼は、方程式システムから独立した行列の概念を提案する上で重要な役割を果たしました。1858年にケイリーは行列の理論に関する回想録^{[110] [111]}を出版し、その中でケイリー・ハミルトン定理を提案し、実証しました。^[104]

イギリスの数学者カスバート・エドマンド・カリスは1913年に初めて行列に現代的な括弧記法を使用し、同時にA = [ a _{I , j} ]という記法を行列を表すために初めて重要な用法として実証しました。ここでa _{I , jは}i行目とj列目を指します。^[104]

行列式の現代の研究は、いくつかの源から生まれた。^[112] 数論的問題から、ガウスは二次形式、つまりx ² + xy − 2 y ²のような式の係数と、 3次元の線型写像を行列に関連付けた。アイゼンシュタインは、現代の用語では、行列積は非可換であるという発言を含め、これらの概念をさらに発展させた。コーシーは、行列式に関する一般的な命題_を証明した最初の人物であり、行列A = [ a _{i , j} ]の行列式の定義として以下^を_使用した。多項式

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;}$、

ここで、 は示された項の積を表す。彼はまた、1829年に対称行列の固有値が実数であることを示した。 ^[113]ヤコビは「関数行列式」を研究した。これは後にシルベスターによってヤコビ行列式と呼ばれるようになったが、これは上記を参照されたい。クロネッカーの行列式理論に関する解説^[114]とワイエルシュトラスの行列式理論について^[115]は、どちらも1903年に出版され、コーシーの前述の公式などの以前のより具体的なアプローチとは対照的に、初めて行列式を公理的に扱った。その時点で、行列式はしっかりと確立された。 ${\displaystyle \textstyle \prod }$

多くの定理は最初は小さな行列に対してのみ確立されました。たとえば、ケイリー-ハミルトン定理は、前述の回想録でケイリーによって 2×2 行列に対して証明され、ハミルトンによって4×4 行列に対して証明されました。双線型形式に取り組んでいたフロベニウスは、この定理をすべての次元に一般化しました (1898)。また、19 世紀末には、ガウス-ジョルダンの消去法(現在ではガウスの消去法として知られている特殊なケースを一般化したもの) がヴィルヘルム ジョルダンによって確立されました。20 世紀初頭には、行列は線型代数において中心的な役割を果たすようになりましたが、^[116]これは前世紀の 超複素数系の分類に使用されたことが一因です。

ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンによる行列力学の始まりは、無限の行と列を持つ行列の研究につながった。^[117]その後、フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間上の線型作用素などの関数解析の概念をさらに発展させることで、量子力学の数学的定式化を行った。ヒルベルト空間上の線型作用素は、非常に大まかに言えば、ユークリッド空間に対応するが、独立した方向が無限にある。

この言葉は、少なくとも 2 人の歴史的に重要な著者によって珍しい方法で使用されています。

バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、その著書『プリンキピア・マテマティカ』（1910-1913）の中で、還元公理の文脈で「行列」という言葉を使用している。彼らはこの公理を、任意の関数をより低い型に順次還元する手段として提案し、その結果、「底辺」（0次）では関数はその拡張と同一になる：^[118]

変数がいくつあっても、見かけ上の変数を含まない関数を行列と名付けましょう。すると、行列以外のあらゆる関数は、一般化を使用して行列から派生します。つまり、問題の関数がすべての可能な値で真であるか、引数の 1 つの値で真であり、他の引数は未定のままであるという命題を考慮することによって派生します。

たとえば、 2 つの変数 x と y の関数 Φ( x , y )は、変数xの代わりに「個体_」 a iのすべての可能な値に対する関数を「考慮」することで、単一の変数、たとえばyの関数のコレクションに簡約できます。次に、単一の変数yの結果として得られる関数のコレクション、つまり∀ a _i : Φ( a _i , y ) は、変数yの代わりに「個体」 b _iのすべての可能な値に対する関数を「考慮」することで、値の「行列」に簡約できます。

∀ b _j ∀ a _i : Φ( a _i , b _j )。

アルフレッド・タルスキは1946年の著書『論理学入門』の中で、「行列」という言葉を数理論理学で使われる真理値表の概念と同義語として使った。 ^[119]

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