便利なベクトル空間

数学において、便利なベクトル空間とは、非常に緩やかな完全性条件を満たす局所的に凸なベクトル空間のことです 。

伝統的な微分積分​​は有限次元ベクトル空間とバナッハ空間の解析には有効です。バナッハ空間を超えると困難が生じ始めます。特に、連続線型写像の合成は、連続線型写像の空間上の任意の両立する位相に対して 、バナッハ空間のレベルで共連続ではなくなります。 ^{[注 1]}

便利なベクトル空間間の写像は滑らかであるか、滑らかな曲線を滑らかな曲線に写像する場合です。これは、便利なベクトル空間の -開部分集合間の滑らかな写像のデカルト閉カテゴリにつながります(以下の特性 6 を参照)。滑らかな写像の対応する計算は、便利な計算と呼ばれます。これは、微分可能性の他の合理的な概念よりも弱く、適用は簡単ですが、連続しない滑らかな写像があります (注 1 を参照)。このタイプの計算だけでは、方程式を解くのに役立ちません^{[注 2]}。 ${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle c^{\infty}}$

を局所凸ベクトル空間とします。曲線は、すべての導関数が存在し、連続している場合、滑らかまたは と呼ばれます。を滑らかな曲線の空間 とします。滑らかな曲線の集合は、 の局所凸位相に完全に依存するのではなく、関連する境界集合論(有界集合のシステム) にのみ依存することが示されます。[KM]、2.11 を参照してください。への写像の次の集合に関する最終的な位相は一致します。[KM]、2.13 を参照してください。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R},E).}$
• すべてのリプシッツ曲線の集合（したがって、 は各 に対してで有界となる）。${\displaystyle \left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{ts}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle C}$
• の注入集合は、 のすべての有界な絶対凸部分集合を通る。は、ミンコフスキー関数を備えたの線形スパンである。${\displaystyle E_{B}\to E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E_{B}}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.}$
• すべてのMackey 収束シーケンス の集合(有界シーケンスが存在する) 。${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)}$

この位相は上の-位相と呼ばれ、結果として生じる位相空間を と書きます。一般に (たとえば、実数直線上にコンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間上)、これは与えられた局所凸位相よりも細かく、加算がもはや共連続ではないため、ベクトル空間位相ではありません。つまり、 上の が よりも粗い すべての局所凸位相の中で最も細かいものは、与えられた局所凸位相のボルノロジー化です。 がフレシェ空間である場合、${\displaystyle c^{\infty}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E=E.}$

局所凸ベクトル空間は、次の同値な条件のうち1つが成り立つとき、 便利なベクトル空間であると言われる（ -完全性と呼ばれる）。[KM]、2.14を参照。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty}}$

• 任意の に対して、(リーマン)積分は に存在する。${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}c(t)\,dt}$${\displaystyle E}$
• の任意のリプシッツ曲線は局所的にリーマン積分可能である。${\displaystyle E}$
• 任意のスカラー 曲線は次のようになります。曲線が滑らかであるのは、すべての に対して合成がである場合に限ります。ここで は上のすべての連続線形関数の双対です。 ${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle \lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \lambda \in E^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$
  • 同様に、すべての に対して、すべての有界線形関数の双対です。${\displaystyle \lambda \in E'}$
  • 同様に、すべての に対して、は のサブセットであり、 内の有界サブセットを認識する。[KM]、5.22 を参照。${\displaystyle \lambda \in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E'}$${\displaystyle E}$
• 任意の Mackey-Cauchy 列 (つまり、内のいくつかの に対して) はで収束します。これは明らかに軽度の完全性要件です。${\displaystyle t_{nm}(x-x_{m})\to 0}$${\displaystyle t_{nm}\to \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E}$
• が有界閉絶対凸である場合、 はバナッハ空間です。${\displaystyle B}$${\displaystyle E_{B}}$
• がスカラー の場合、は です( の場合)。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle {\text{リップ}}^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\text{リップ}}^{k}}$${\displaystyle k>1}$
• がスカラー的であれば、 はで微分可能です。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$

ここで、までのすべての導関数が存在し、 上で局所的に Lipschitz である場合、マッピングが呼び出されます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle {\text{リップ}}^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

およびを便宜的ベクトル空間とし、を-開とする。すべての に対して合成が成り立つとき、写像は滑らかまたは と 呼ばれる。[KM]、3.11 を参照。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U\subseteq E}$${\displaystyle c^{\infty}}$${\displaystyle f:U\to F}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)}$${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)}$

1. フレシェ空間上の写像の場合、この滑らかさの概念は他のすべての合理的な定義と一致する。これについては、Boman (1967) によって証明された非自明な定理がある。[KM]、3.4 も参照。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

2. 多重線型写像が滑らかであるためには、それが有界である必要がある（[KM]、5.5）。

3.が滑らかなら導関数も滑らかであり、 も滑らかである。ここで は、有界部分集合上の一様収束の位相を持つすべての有界線型写像の空間を表す。[KM]、3.18 を参照。 ${\displaystyle f:E\supseteq U\to F}$${\displaystyle df:U\times E\to F}$${\displaystyle df:U\to L(E,F)}$${\displaystyle L(E,F)}$

4. 連鎖律が成り立つ（[KM]、3.18）。

5.すべての滑らかな写像の空間は、構造が次の注入によって与えられる便利なベクトル空間であり、各導関数におけるコンパクト収束の位相を別々に持ちます。[KM]、3.11および3.7を参照してください。 ${\displaystyle C^{\infty }(U,F)}$${\displaystyle U\to F}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.}$

6.指数法則が成り立つ（[KM]、3.12）：-開に対して、次の写像は便利なベクトル空間の線型微分同相写像である。 ${\displaystyle c^{\infty}}$${\displaystyle V\subseteq F}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).}$

これは変分法の主な仮定です。ここでは定理です。この特性は、(Steenrod 1967) から借用した 「convenient」という名前の由来です。

7.滑らかな一様有界性定理（[KM]、定理5.26）。線型写像が滑らかである（（2）により有界と同値）のは、各に対してが滑らかである場合に限ります。 ${\displaystyle f:E\to C^{\infty }(V,G)}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G}$${\displaystyle v\in V}$

8. 次の標準写像は滑らかである。これは指数法則から単純なカテゴリカル推論によって導かれる。[KM]、3.13を参照。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}}$

滑らかな写像の便利な計算は、[Frölicher, 1981]、[Kriegl 1982, 1983]で初めて登場しました。便利な計算(特性6と7を持つ)は、次の場合にも存在します。

• 実解析マッピング（Kriegl, Michor, 1990; [KM]第2章も参照）。
• 正則写像（Kriegl, Nel, 1985; [KM]、第2章も参照）。正則写像の概念は[Fantappié, 1930-33]のものである。
• デンジョイ・カルマン超微分可能関数の多くのクラス（Beurling 型と Roumieu 型の両方）[Kriegl、Michor、Rainer、2009、2011、2015]。
• 多少の改変を加えて、[FK]。${\displaystyle \operatorname {Lip} ^{k}}$
• さらに適応すると、さらに （つまり、- 次導関数は指数 でヘルダー連続になる）になります（[Faure、1989]、[Faure、These Geneve、1991]）。${\displaystyle C^{k,\alpha }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

対応する便利なベクトル空間の概念は、これらすべての理論で同じです (複素数の場合の基礎となる実ベクトル空間について)。

便利な計算の指数法則 6 により、写像の多様体に関する基本的な事実の非常に簡単な証明が可能になります。 と を、がコンパクトである有限次元の滑らかな多様体とします。には補助リーマン計量を使用します。のリーマン指数写像は、次の図で表されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {g}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\bar {g}}}$

次のように、すべての滑らかなマッピングの空間上のチャートのアトラスが誘導されます。 を中心とするチャートは次のようになります。 ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),}$

${\displaystyle u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),}$

${\displaystyle (u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).}$

基本的な事実は簡単に理解できる。引き戻しベクトル束を単純化し、指数法則6を適用すると、微分同相写像が得られる。 ${\displaystyle f^{*}TN}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).}$

すべてのチャート変更マッピングは滑らかな曲線を滑らかな曲線にマッピングするため、滑らかです ( )。 ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).}$

はフレシェ空間をモデルにした滑らかな多様体である。この多様体内のすべての滑らかな曲線の空間は次のように与えられる。 ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).}$

滑らかな曲線を滑らかな曲線に視覚的にマッピングするため、構成

${\displaystyle C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,}$

は滑らかである。チャート構造の結果として、写像多様体の 接束は次のように与えられる。

${\displaystyle \pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).}$

を、リー代数 を持つ、便利なベクトル空間上にモデル化された 連結な滑らかなリー群とします。乗算と反転は次のように表されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.}$

正則リー群の概念は、もともとはオオモリらがフレシェ・リー群に対して提唱したもので、J.ミルナーによって弱められ、よりわかりやすくされ、その後、便宜的リー群に引き継がれました。[KM]、38.4 を参照してください。

次の 2 つの条件が満たされる場合、 リー群は正則群と呼ばれます。${\displaystyle G}$

• リー代数の各滑らかな曲線に対して、右対数微分が であるリー群の滑らかな曲線が存在する。 が存在する場合、 は初期値 によって一意に決定されることが分かる。つまり、${\displaystyle X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0)}$

${\displaystyle g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).}$

が上記で要求された曲線の唯一の解である場合 、次のように表す。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).}$

• スムーズなマッピングには次のものが必要です。

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.}$

がリー代数の定数曲線である場合、 は群指数写像です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)}$

定理。各コンパクト多様体 に対して、微分同相群は正則リー群である。そのリー代数は上のすべての滑らかなベクトル場の空間であり、通常の括弧の負の部分がリー括弧となる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M}$

証明:微分同相群は内の開集合なので滑らかな多様体である。合成は制限により滑らかになる。反転は滑らかである: が内の滑らかな曲線である場合、f ( t , )${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,M)}$${\displaystyle t\to f(t,\ )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$⁻¹
${\displaystyle f(t,\ )^{-1}(x)}$は暗黙の方程式 を満たす ので、有限次元の暗黙関数定理により、は滑らかです。したがって、反転は滑らかな曲線を滑らかな曲線にマップするため、反転は滑らかです。を( 内の)上の時間依存ベクトル場とします。すると、上の対応 する自律ベクトル場のフロー演算子は、${\displaystyle f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x}$${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)}$${\displaystyle X(t,x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))}$${\displaystyle \operatorname {Fl} }$${\displaystyle \partial _{t}\times X}$${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$

${\displaystyle \operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))}$

これは常微分方程式を満たす

${\displaystyle \partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).}$

リー代数における滑らかな曲線 が与えられた場合、常微分方程式の解はさらなる変数 にも滑らかに依存するため、時間依存ベクトル場の滑らかな曲線は微分同相写像の滑らかな曲線に写像されます。QED。 ${\displaystyle X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}}$

コンパクトな有限次元多様体とに対して、の への滑らかな埋め込み空間はすべてにおいて開いているため、 は滑らかな多様体です。微分同相群は上で右から自由に滑らかに作用します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$

定理: は構造群を持つ主ファイバー束です。 ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

証明:再び の補助リーマン計量を使用します。 が与えられた場合、の部分多様体として、 への接バンドルの制限を に垂直で に接するサブバンドルに分割します。 管状近傍を選択します。 ${\displaystyle {\bar {g}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f\in \operatorname {Emb} (M,N)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle TN}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)}$

${\displaystyle p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).}$

が に近い場合、 ${\displaystyle g:M\to N}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).}$

これは必要なローカル分割です。QED

形状空間の幾何学と微分同相群を使用したアプリケーションの概要については、[Bauer、Bruveris、Michor、2014]を参照してください。

• Bauer, M., Bruveris, M., Michor, PW: 形状空間と微分同相写像群の幾何学の概要。Journal of Mathematical Imaging and Vision、50、1-2、60-97、2014 年。(arXiv:1305.11500)
• Boman, J.: 関数の微分可能性と1変数関数との合成、Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967)、249–268。
• Faure, C.-A.: Sur un théorème de Boman、CR Acad. Ｓｃｉ．、パリ｝、ｖｏｌ． 309 (1989)、1003 ～ 1006 年。
• Faure, C.-A.: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables、これら、ジュネーブ大学、1991 年。
• Frölicher、A.: Applications entre espaces et variétés de Fréchet、CR Acad。科学。パリ、vol. 293 (1981)、125–127。
• [FK] Frölicher, A., Kriegl, A.: 線形空間と微分理論。純粋および応用数学、J. Wiley、チチェスター、1988年。
• Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109–124。
• Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatte Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287–309。
• [KM] Kriegl, A., Michor, PW: 大域解析の便利な設定。数学サーベイおよびモノグラフ、第 53 巻、アメリカ数学会、プロビデンス、1997 年。(pdf)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: 非準解析的 Denjoy–Carleman 微分可能マッピングのための便利な設定、Journal of Functional Analysis、vol. 256 (2009)、3510–3544。(arXiv:0804.2995)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: 準解析的 Denjoy–Carleman 微分可能マッピングのための便利な設定、Journal of Functional Analysis、vol. 261 (2011)、1799–1834。(arXiv:0909.5632)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: Beurling 型および Roumieu 型の Denjoy-Carleman 微分可能マッピングの便利な設定。Revista Matemática Complutense (2015)。doi:10.1007/s13163-014-0167-1。(arXiv:1111.1819)
• Michor, PW: マッピングと形状の多様体。(arXiv:1505.02359)
• スティーンロッド、NE：位相空間のための便利なカテゴリ、ミシガン数学ジャーナル、vol.14（1967）、133-152。