アフィン空間のすべてのアフィン変換のグループ
数学 において 、任意の アフィン空間 の アフィン群 または 一般アフィン群は、 その空間からその空間自体へのすべての可逆な アフィン変換の 群 です。 ユークリッド空間 （関連するスカラー体は実数 ） の場合 、アフィン群は、すべての直線の像が直線となるような空間からその空間自体への関数で構成されます。
任意の体上で、アフィン群は自然な方法で行列群として見ることができます。関連するスカラー体が実体または複素体である場合、アフィン群は リー群 です。
一般線型群との関係
一般線型群からの構成 具体的には、ベクトル空間 V が与えられたとき、そのベクトル空間に は原点を「忘れる」ことによって得られる基礎となる アフィン空間 Aがあり、 V は 平行移動によって作用し、 A のアフィン群は、 V の 一般線型群 GL( V ) による V の 半直積 として具体的に記述できます 。
賛成 （ 五 ） = 五 ⋊ GL （ 五 ）
{\displaystyle \operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)}
GL( V )の V へ の作用は 自然なもの（線型変換は自己同型）なので、これは 半直積 を定義します。
行列の観点から見ると、次のように書けます。
賛成 （ ん 、 け ） =
け
ん
⋊ GL （ ん 、 け ）
{\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)}
ここで GL( n , K )の Kn に対する自然な作用 は ベクトルの行列乗算です。
ポイントの安定装置 アフィン空間A のアフィン群が与えられた場合 、 点 pの 安定化群 は同じ次元の一般線型群と同型です（したがって、 Aff(2, R )の点の安定化群は GL(2, R ) と同型です）。正式には、これはベクトル空間 ( A 、 p ) の一般線型群です 。点を固定すると、アフィン空間はベクトル空間になることを思い出してください。
これらの部分群はすべて共役であり、共役はpから q へ の変換によって与えられます （これは一意に定義されます）。ただし、どの点も特別ではないため、特定の部分群が自然に選択されることはありません。これは、横断部分群の複数の選択、または 短い完全列の分割に対応します。
1 → 五 → 五 ⋊ GL （ 五 ） → GL （ 五 ） → 1 。
{\displaystyle 1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.}
アフィン群がベクトル空間から 開始し て構築された場合、（ベクトル空間の）原点を安定させる部分群は元の GL( V ) です。
行列表現 アフィン群をVの GL( V ) による 半直積として表すと 、 半直積の構築により 、要素はペア ( v , M ) となり、ここで vは V のベクトル 、 M は GL( V ) の線形変換であり 、乗算は次のように表される。
（ ヴ 、 ま ） ⋅ （ わ 、 いいえ ） = （ ヴ + ま わ 、 ま いいえ ） 。
{\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.}
これは、 ( n +1)×( n +1) ブロック行列 として表すことができます。
（
ま
ヴ
0
1
）
{\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}
ここで、 M は K 上の n × n 行列、 v は n × 1 列ベクトル、0 は 1 × n のゼロ行、1 は 1 × 1 単位ブロック行列です。
形式的には、 Aff( V )は GL( V ⊕ K ) のサブグループに自然に同型であり 、 V はアフィン平面 {( v , 1) | v ∈ V } 、つまりこのアフィン平面の安定化子として埋め込まれています。上記の行列定式化は、これの実現（の転置）であり、 n × n および 1 × 1 ブロックは直和分解 V ⊕ K に対応します。
同様の 表現 は、 各列の要素の合計が1になる任意の ( n +1)×( n +1)行列である。 [1] 上記の種類からこの種類への移行の類似度Pは、 最下 行 がすべて1の行に置き換えられた ( n +1)×( n +1) 単位行列である。
これら 2 つのクラスの行列はそれぞれ、行列の乗算に対して閉じています。
最も単純なパラダイムはn = 1 の場合、つまり、 1次元のアフィン群を表す上 三角 2 × 2行列の場合です。これは2パラメータの 非可換 リー群 であり、2つの生成元（リー代数元） A と Bのみを持ち、 [ A , B ] = B となります 。ここで
あ =
（
1
0
0
0
）
、 B =
（
0
1
0
0
）
、
{\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}
となることによって
e
1つの あ + b B
=
（
e
1つの
b 1つの
（
e
1つの
− 1 ）
0
1
）
。
{\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}
文字表 賛成( F p ) Aff( F p )の位数は p ( p − 1) である 。
（
ｃ
d
0
1
）
（
1つの
b
0
1
）
（
ｃ
d
0
1
）
− 1
=
（
1つの
（ 1 − 1つの ） d + b ｃ
0
1
）
、
{\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}
Aff( F p )には p 個の 共役類
があることが 分かっている。すなわち
Ｃ
私 d
=
{
（
1
0
0
1
）
}
、
Ｃ
1
=
{
（
1
b
0
1
）
|
b ∈
ふ
p
∗
}
、
{
Ｃ
1つの
=
{
（
1つの
b
0
1
）
|
b ∈
ふ
p
}
|
1つの ∈
ふ
p
∖ { 0 、 1 }
}
。
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}
すると、 Aff( F p )には p 個 の既約表現がある ことがわかる。上の段落 (§ 行列表現) によれば、準同型写像によって決定される p − 1 個の 1 次元表現
が存在する。
ρ
k
:
Aff
(
F
p
)
→
C
∗
{\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}
k = 1 , 2,… p − 1 、ここで
ρ
k
(
a
b
0
1
)
=
exp
(
2
i
k
j
π
p
−
1
)
{\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}
そして i 2 = −1 、 a = g j 、 g は 群 Fの生成元である ∗ p . 次に、 F p の順序と比較すると 、
p
(
p
−
1
)
=
p
−
1
+
χ
p
2
,
{\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}
したがって、 χ p = p − 1 は最後の既約表現の次元です。最後に、既約表現の直交性を使用して、 Aff( F p ) の指標表を完成させることができます。
C
i
d
C
1
C
g
C
g
2
…
C
g
p
−
2
χ
1
1
1
e
2
π
i
p
−
1
e
4
π
i
p
−
1
…
e
2
π
(
p
−
2
)
i
p
−
1
χ
2
1
1
e
4
π
i
p
−
1
e
8
π
i
p
−
1
…
e
4
π
(
p
−
2
)
i
p
−
1
χ
3
1
1
e
6
π
i
p
−
1
e
12
π
i
p
−
1
…
e
6
π
(
p
−
2
)
i
p
−
1
…
…
…
…
…
…
…
χ
p
−
1
1
1
1
1
…
1
χ
p
p
−
1
−
1
0
0
…
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}
実数上の平面アフィン群 の要素は、適切に選択された アフィン座標系 上で単純な形をとることができます 。より正確には、 実数 上の アフィン平面 のアフィン変換が与えられた場合、それが次のいずれかの形式を持つアフィン座標系が存在します。ここで、 a 、 b 、および t は実数です (与えられた条件は、変換が可逆であることを保証しますが、クラスを区別することはできません。たとえば、恒等式はすべてのクラスに属します)。
Aff
(
2
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}
1.
(
x
,
y
)
↦
(
x
+
a
,
y
+
b
)
,
2.
(
x
,
y
)
↦
(
a
x
,
b
y
)
,
where
a
b
≠
0
,
3.
(
x
,
y
)
↦
(
a
x
,
y
+
b
)
,
where
a
≠
0
,
4.
(
x
,
y
)
↦
(
a
x
+
y
,
a
y
)
,
where
a
≠
0
,
5.
(
x
,
y
)
↦
(
x
+
y
,
y
+
a
)
6.
(
x
,
y
)
↦
(
a
(
x
cos
t
+
y
sin
t
)
,
a
(
−
x
sin
t
+
y
cos
t
)
)
,
where
a
≠
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}}
ケース1は翻訳 に相当します 。
ケース 2 は、 2 つの異なる方向で異なる スケーリングに対応します。 ユークリッド平面で作業する場合、 座標軸が 垂直である必要がないため、 これらの方向は 垂直で ある必要はありません。
ケース 3 は、ある方向へのスケーリングと別の方向への移動に対応します。
ケース 4 は、拡大と組み合わせた
せん断マッピング に対応します。
ケース 5 は、拡大と組み合わせた
せん断マッピング に対応します。
ケース 6 は、 座標軸が垂直である場合の
類似性に相当します。
固定点 のないアフィン変換は 、ケース 1、3、および 5 に属します。平面の向きを保存しない変換は、ケース 2 ( ab < 0 ) または 3 ( a < 0 ) に属します。
証明は、まずアフィン変換が不動点を持たない場合、関連する線形写像の行列の 固有値 が1 に等しいことを指摘し、次に 実数行列のジョルダン正規形定理を 使用することで行うことができます。
その他のアフィン群と部分群
一般的なケース 一般線型群 の 任意の部分群 G < GL( V )が与えられた場合、アフィン群（ Aff( G ) と表記されることもある）を生成でき、これは Aff( G ) := V ⋊ G と類似している 。
より一般的に抽象的に、任意の群 G と ベクトル空間 V上の G の 表現 が与えられると、関連するアフィン群 V ⋊ ρ G が得られる [注 1] 。得られたアフィン群は「ベクトル表現による 群の拡大 」であると言うことができ 、上記のように、短い正確なシーケンスが得られる。
ρ
:
G
→
GL
(
V
)
{\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V)}
1
→
V
→
V
⋊
ρ
G
→
G
→
1.
{\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1.}
特殊アフィン群 符号まで固定された 体積形式を 保存するすべての可逆アフィン変換の部分集合は、 特殊アフィン群 と呼ばれます。（変換自体は、等 アフィン変換と呼ばれることもあります。）この群は、 特殊線型群 のアフィン類似体です 。半直積に関して、特殊アフィン群は、 のすべてのペア （ M 、 v ） で構成されます。つまり、
M は 行列式の絶対値が 1 である の線型変換であり、 v は 任意の固定された変換ベクトル
であるアフィン変換です。 [2] [3]
|
det
(
M
)
|
=
1
{\displaystyle |\det(M)|=1}
x
↦
M
x
+
v
{\displaystyle x\mapsto Mx+v}
線型部分が行列式 1 を持つ変換からなる特殊アフィン群の部分群は、方向と体積を保存する写像の群です。代数的には、この群は の特殊線型群と平行移動の半直積です。これは 、せん断写像 によって生成されます 。
S
L
(
V
)
⋉
V
{\displaystyle SL(V)\ltimes V}
V
{\displaystyle V}
射影部分群 射影性と 射影幾何学 の射影群 の知識があれば 、アフィン群は簡単に特定できる。例えば、ギュンター・エヴァルトは次のように書いている: [4]
P n のすべての射影共線化の 集合は、 P n の 射影群 と呼ぶことができる群です 。 超平面 ω を 無限遠の超平面 である と宣言して P n からアフィン空間 A n に進むと、 ω を 固定したまま の のすべての要素からなる の 部分群 として A n の アフィン群が 得られます。
P
{\displaystyle {\mathfrak {P}}}
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
P
{\displaystyle {\mathfrak {P}}}
P
{\displaystyle {\mathfrak {P}}}
A
⊂
P
{\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}}
ユークリッド空間の等長変換 アフィン空間 A が（実数体上の）ユークリッド空間である場合、 A の距離保存写像（ 等長写像 ）の群はアフィン群の部分群です。代数的には、この群は の直交 群と平行 移動の 半直積です 。幾何学的には、直交反射によって生成されるアフィン群の部分群です。
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
O
(
V
)
⋉
V
{\displaystyle O(V)\ltimes V}
V
{\displaystyle V}
ポアンカレ群 ポアンカレ 群は ローレンツ群 O(1,3) のアフィン群である 。
R
1
,
3
⋊
O
(
1
,
3
)
{\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)}
この例は相対性 において非常に重要です 。
参照
注記
^ GL( V ) < Aut( V ) なので 。この包含は一般に適切であることに注意してください。「自己同型」とは、 グループの自己同型、つまり、 V 上のグループ構造（加算と原点）を保存しますが、必ずしもスカラー乗算を保存するわけではなく、これらのグループは R 上で動作する場合によって異なります 。
参考文献
^ Poole, David G. (1995年11月). 「確率群」. American Mathematical Monthly . 102 (9): 798–801. doi :10.1080/00029890.1995.12004664. ^ Berger, M. (1987). Geometry . Vol. 1. ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag. セクション 2.7.6. ISBN 9780534000349 。 ^ エヴァルト、ギュンター (1971)。 幾何学：入門 。ベルモント：ワズワース。セクション 4.12。ISBN 9780534000349 。 ^ エヴァルト、ギュンター (1971)。 幾何学入門 。ベルモント：ワズワース。p. 241。ISBN 9780534000349 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5562a73d97d15bd2fa36ecacb541f1a57de4f676)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{ここで }}a\neq 0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492f728ceba8d5b0b6696c2a5546680b251bbcec)
