ヘルマン・グラスマン

ヘルマン・ギュンター・グラスマン
ヘルマン・ギュンター・グラスマン
生まれる	(1809-04-15)1809年4月15日 プロイセン王国、ポンメルン州、シュテッティン（現在のポーランド、シュチェチン）
死亡	1877年9月26日(1877-09-26)（68歳） シュテッティン、ドイツ帝国
母校	ベルリン大学
知られている	バイベクター 色空間 グラスマン グラスマン代数 グラスマン数 グラスマンの法則 グラスマンの法則
受賞歴	博士号（優等） : テュービンゲン大学（1876）
科学者としてのキャリア
機関	シュテッティン 体育館

ヘルマン・ギュンター・グラスマン（ドイツ語: Graßmann、発音: [ˈhɛɐman ˈɡʏntʰɐ ˈɡʁasman]、1809年4月15日 - 1877年9月26日）は、当時は言語学者、後に数学者として知られるドイツの博学者である。また、物理学者、一般学者、出版者でもあった。彼の数学的な業績は、60代になるまでほとんど注目されなかった。彼の業績は現在ベクトル空間として知られている概念に先行し、それを超えたものである。彼は、 n次元ベクトル空間Vのすべてのk次元線形部分空間をパラメータ化する空間であるグラスマン多様体を導入した。言語学において、彼は言語の歴史と構造を互いに切り離すことに貢献した。

ヘルマン・グラスマンは、シュテッティン・ギムナジウムで数学と物理学を教えていた聖職 者ユストゥス・ギュンター・グラスマンの12人の子供のうちの3番目で、そこで教育を受けた。

グラスマンはプロイセンの大学入学試験で高得点を取るまでは、目立った成績を残せなかった。1827年からベルリン大学で神学を学び、古典語、哲学、文学の授業も受けた。数学や物理学の授業は受けなかったようだ。

大学で数学の教育を受けてはいなかったが、ベルリンでの研究を終えて1830年にシュテッティンに戻ったとき、数学は彼の最も興味を引いた分野であった。1年間の準備の後、彼はギムナジウムで数学を教えるのに必要な試験を受けたが、成績は初級レベルでしか教えられない程度だった。この頃、彼は最初の重要な数学的発見をし、それが1844年の論文「直線的な外注技術、新たな2つの数学」 (ここではA1と表記) で提示した重要なアイデアにつながった。この論文は後に1862年に「外注技術:全面的かつより特殊な形式での論文」 (ここではA2と表記) に改訂された。

1834年、グラスマンはベルリンのゲヴェルベシューレで数学を教え始めました。1年後、彼はシュテッティンに戻り、新しい学校であるオットーシューレで数学、物理学、ドイツ語、ラテン語、宗教学を教えました。その後4年間で、グラスマンはすべての中等学校で 数学、物理学、化学、鉱物学を教えるための試験に合格しました。

1847 年、グラスマンは「Oberlehrer」つまり校長に任命された。1852 年、彼は亡き父のシュテッティン ギムナジウムの職に就き、教授の称号を得た。1847 年、彼はプロイセン教育省に大学での職に就くよう要請し、教育省はエルンスト クンマーにグラスマンについての意見を求めた。クンマーは、グラスマンの 1846 年の受賞論文 (下記参照) には「不十分な形式で表現された、賞賛に値するほど優れた内容」が含まれていると返信した。クンマーの報告により、グラスマンが大学で職を得る可能性はなくなった。このエピソードは、グラスマンの時代の指導者たちが彼の数学の価値を認めなかったという、よくあることであった。

1848年から1849年にかけてのドイツの政治的混乱の頃から、ヘルマンと弟のロベルトはシュテッティンで新聞「国家、教会、国民生活のためのドイツ週間新聞」を発行し、立憲君主制によるドイツ統一を訴えた（これは1871年に実現した）。憲法に関する一連の記事を執筆した後、ヘルマンはその新聞の政治的方向性にますます不満を抱き、同紙と袂を分かった。

グラスマンには11人の子供がおり、そのうち7人が成人した。息子のヘルマン・エルンスト・グラスマンはギーセン大学の数学教授になった。

グラスマンが受けた数多くの試験のうちの 1 つに、潮汐理論に関する論文の提出が求められた。1840 年に彼は、ラプラスの『天空力学』とラグランジュの『解析力学』から基本理論を取り上げ、 1832年以来熟考していたベクトル法を使ってこの理論を説明した。1894年から 1911 年にかけて出版された『 Collected Works of 1894–1911』に初めて掲載されたこの論文には、現在線型代数と呼ばれているものやベクトル空間の概念が初めて登場している。彼はその後、それらの手法を『線型代数論、新たなる数学者』（A1）と、その改訂版『線型代数論、新たなる数学者』（A2）で展開した。

1844年、グラスマンは、一般に「拡大の理論」または「拡がり量の理論」と訳される、傑作 (A1) を出版しました。A1 は数学全体の新しい基礎を提唱したため、その研究は哲学的な性質の非常に一般的な定義から始まりました。グラスマンは、幾何学を彼が提唱した代数形式に置き換えると、3 という数字は空間次元の数として特別な役割を果たさないことを示し、可能な次元の数は実際には無限であると述べました。

フェーンリー・サンダーはグラスマンの線型代数の基礎を次のように説明している。^[1]

線型空間（ベクトル空間）の定義は、ヘルマン・ワイルらが正式な定義を発表した1920年頃に広く知られるようになりました。実際、そのような定義は、グラスマンの数学的研究に精通していたペアノによって30年前に与えられていました。グラスマンは正式な定義を書き留めませんでしたが（言語がなかったため）、彼がその概念を持っていたことは間違いありません。

彼は、 e ₁、e ₂、e ₃ 、...という「単位」の集合から始めて、それらが生成する自由線形空間を効果的に定義します。つまり、a _{j が}実数である形式的な線形結合a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ + ... を考え、実数による加算と乗算を [現在では一般的な方法で] 定義し、これらの演算の線形空間特性を形式的に証明します。... 次に、現代の線型代数のテキストに見られる表現と驚くほどよく似た方法で、線形独立性の理論を展開します。彼は、部分空間、線形独立性、スパン、次元、部分空間の結合と会合、および要素の部分空間への 射影の概念を定義します。

[...] ヘルマン・グラスマンほど、独力で新しい主題を創造することに近づいた人はほとんどいません。

グラスマンの父の考えに従って、A1 は外積も定義しました。これは「組合せ積」(ドイツ語: kombinatorisches Produktまたはäußeres Produkt「外積」) とも呼ばれ、現在では外積代数と呼ばれる代数の重要な演算です。(グラスマンの時代には、唯一の公理理論はユークリッド幾何学であり、抽象代数の一般的な概念はまだ定義されていなかったことに留意する必要があります。) 1878 年、ウィリアム キングドン クリフォードは、グラスマンの規則e _p e _p = 0 を規則e _p e _p = 1 に置き換えることで、この外積代数をウィリアム ローワン ハミルトンの四元数に結合しました。(四元数の場合、規則i ² = j ² = k ² = −1 があります。) 詳細については、外積代数を参照してください。

A1 は革命的なテキストであったが、当時としては時代を先取りしすぎていて、評価されなかった。グラスマンが 1847 年に教授職に応募するためにこれを提出したとき、省庁はエルンスト・クンマーに報告書を求めた。クンマーは報告書に良い考えが含まれていると保証したが、説明が不十分だと考え、グラスマンに大学の職を与えるべきではないと助言した。その後 10 年余りにわたって、グラスマンは自身の拡張理論を応用したさまざまな研究を執筆した。その中には 1845 年のNeue Theorie der Elektrodynamikや代数曲線と曲面に関するいくつかの論文などがあり、これらの応用によって他の人々が自身の理論を真剣に受け止めてくれることを期待していた。

1846年、メビウスはグラスマンを、ライプニッツが初めて提唱した問題（座標と計量特性のない幾何学的計算（ライプニッツはこれを「位置解析」と呼んだ）を解くコンテストに参加するよう招いた。グラスマンの『ライプニッツが基礎づけた幾何学的特性に関する幾何学的分析』が優勝作品（唯一の作品でもあった）となった。審査員の一人であるメビウスは、グラスマンが抽象的な概念を導入しながらも、その概念がなぜ価値があるのか​​読者に全く直感を与えなかったことを批判した。

1853年、グラスマンは色の混合に関する理論を発表しました。彼の理論の4つの色の法則は、グラスマンの法則として今でも教えられています。この主題に関するグラスマンの研究は、ヘルムホルツの研究と矛盾していました。^{[2]グラスマンは}結晶学、電磁気学、力学についても著作を残しました。

1861年、グラスマンはペアノの算術公理化の基礎を著書『算術の教科書』で築いた。^[3] 1862年、グラスマンは遅ればせながら拡大理論の評価を得ることを期待し、また線型代数の決定的な解説を盛り込んだ『A1』の全面的に書き直した第2版を出版した。その結果生まれた『代数学入門: 普遍的かつより奇妙な形式での解説』 ( A2 )は、 A2の解説方法が20世紀の教科書を先取りしていた にもかかわらず、A1よりも評判は良くなかった。

1840年代の数学者たちは、グラスマンの考えを理解する準備ができていなかった。^[4] 1860年代と1870年代には、様々な数学者がグラスマンの考えに似た考えに至ったが、グラスマン自身はもはや数学に興味がなかった。^{[4] : 46}

アデマール・ジャン・クロード・バレ・ド・サン＝ヴナンはグラスマンのベクトル解析に似たものを開発し、1845年に発表した。その後、彼はグラスマンと、どちらが先にそのアイデアを思いついたかで論争になった。グラスマンは1844年に結果を発表していたが、サン＝ヴナンは1832年に自分が最初にこれらのアイデアを開発したと主張した。

グラスマンの生前にグラスマンのアイデアを評価した最初の数学者の 1 人はヘルマン ハンケルであり、その 1867 年の理論は複雑な Zahlensysteme でした。^[5]

[…]、彼は […] ヘルマン・グラスマンの代数とWRハミルトンの四元数のいくつかを開発しました。ハンケルは、長い間無視されてきたグラスマンの著作の重要性を認識した最初の人物であり、それらに強く影響を受けました。

1872年、ヴィクトール・シュレーゲルはグラスマンのアプローチを用いて平面幾何学における古代と現代の結果を導いた空間論体系の第1部を出版した。フェリックス・クラインはシュレーゲルの本の不完全さとグラスマンに対する視点の欠如を指摘して否定的な書評を書いた。シュレーゲルは1875年にグラスマンの体系の第2部を出版し、今度は高次元幾何学を展開した。一方、クラインはエアランゲン計画を進め、これも幾何学の範囲を広げた。^[6]

グラスマンを理解するにはベクトル空間の概念が必要であり、それによって彼の拡大理論の多重線型代数を表現できるようになった。グラスマンがハミルトンより優先されることを確立するため、ジョサイア・ウィラード・ギブスはグラスマンの後継者に1840年の潮汐に関する論文を出版するよう促した。^[7] A・N・ホワイトヘッドの最初のモノグラフである『普遍代数』（1898年）には、拡大理論と外積代数の英語による最初の体系的な解説が含まれていた。微分幾何学の勃興とともに、外積代数は微分形式に適用された。

1995年にロイド・C・カンネンバーグは『The Ausdehnungslehre and Other works』の英訳を出版した。グラスマンの研究が現代の数理物理学で果たした役割についてはロジャー・ペンローズの『The Road to Reality』を参照のこと。^[8]

グラスマンの数学的アイデアが広まり始めたのは、彼の生涯の終わりごろになってからだった。A1の出版から30年後、出版者はグラスマンにこう書いた。「あなたの著書『外学理論』は長い間絶版になっています。あなたの著作はほとんど売れなかったため、1864年には約600部が紙くずとして使われ、残りの数冊も、当館の図書館にある1部を除いて、今では完売しています。」^{[4] ：45}数学界での彼の著作の受け止め方に失望したグラスマンは、数学者との交流も幾何学への興味も失ってしまった。晩年は、歴史言語学とサンスクリット語の研究に目を向けた。彼はドイツ語文法の本を書き、民謡を集め、サンスクリット語を学んだ。2,000ページの辞書と、 1,000ページを超えるリグ・ヴェーダの翻訳を執筆した。現代のリグ・ヴェーダ研究では、グラスマンの著作が頻繁に引用されている。1955年に彼の辞書の第3版が発行された。^{[4] : 46}

グラスマンは、サンスクリット語とギリシャ語の両方に存在する音韻規則にも気付き、それを発表した。彼に敬意を表して、この音韻規則はグラスマンの法則として知られている。彼の発見は、当時の歴史言語学にとって革命的なものであった。それは、サンスクリット語が他のインド・ヨーロッパ語族の言語の古い先祖であるという広く信じられていた考えに異議を唱えたからである。 ^[9]これは、サンスクリット語の膠着構造による広く信じられていた考えであり、ラテン語やギリシャ語などの言語は、より「現代的な」合成構造に到達するために、この構造を経たと考えられていた。しかし、グラスマンの研究は、少なくとも 1 つの音韻パターンにおいて、ドイツ語はサンスクリット語よりも確かに「古い」(つまり、合成性が低い) ことを証明した。これは、言語学において言語の系統分類と類型分類がようやく正しく区別され、後の言語学者にとって大きな進歩を可能にしたことを意味する。^[10]

これらの文献学上の業績は彼の生前高く評価され、アメリカ東洋協会の会員に選出され、1876年にはテュービンゲン大学から名誉博士号を授与された。

• A1 :
  • グラスマン、ヘルマン (1844)。 Die Lineale Ausdehnungslehre (ドイツ語)。ライプツィヒ：オットー・ヴィガント。
  • グラスマン、ヘルマン (1994)。数学の新分野。カンネンバーグ、ロイド C 訳。オープン コート。pp. 9–297。ISBN 9780812692761。
• グラスマン、ヘルマン (1847)。 Geometrische Analyze (ドイツ語)。ライプツィヒ：ワイドマンシェ・ブッフハンドルング。
• グラスマン、ヘルマン (1861)。 Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten。 Vol. 1: 算数。ベルリン：アドルフ・エンスリン。
• A2 :
  • 1862年。Ausdehnungslehreの死。 Vollständig と strenger Form begründet で。。ベルリン：エンスリン。
  • 英語訳、2000年、ロイド・カンネンバーグ著、Extension Theory、アメリカ数学会 ISBN 0-8126-9275-6、ISBN 0-8126-9276-4  
• 1873年。ヴェルターブッフ・ツム・リグ・ヴェーダ。ライプツィヒ：ブロックハウス。
• 1876–1877年。リグ・ヴェーダ。ライプツィヒ：ブロックハウス。2巻の翻訳、第1巻は1876年に出版、第2巻は1877年に出版。
• 1894 ～ 1911 年。Gesammelte mathematische und physikalische Werke、全 3 巻。フリードリヒ・エンゲル編ライプツィヒ：BG・トイブナー。^[11]再版 1972 年、ニューヨーク: ジョンソン。

• アンペールの力の法則
• ブラケット記法（グラスマン記法がその先駆け）
• 幾何代​​数
• 多重線形代数
• ヘルマン・グラスマンにちなんで名付けられたものの一覧

• ブラウン、ジョン（2012年10月）。グラスマン代数。第1巻：基礎。オーストラリア、エルサム：バーナード出版。ISBN 978-1479197637。
• Browne, John (2020年8月)。 『多面体と多球体：Mathematicaによるグラスマン代数アプローチに関するノート』オーストラリア、エルサム：Barnard Publishing。ISBN 979-8657325379。
• カントゥ、パオラ（2003年2月13日）。 La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme: l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann [量の数学から形の科学へ: H. Grassmann のAusdehnungslehre ] (PDF) (博士論文) (イタリア語)。ジェノヴァ大学。
• Crowe, Michael J. (1967)。ベクトル解析の歴史。ノートルダム大学出版局。ISBN 0-486-64955-5。
• Fearnley-Sander, Desmond (1982 年 3 月) 。「ヘルマン・グラスマンと普遍代数の前史」。アメリカ数学月刊誌。89 ( 3)。アメリカ数学協会: 161–166。doi :10.2307/2320198。ISSN 0002-9890。JSTOR  2320198  。
• Fearnley-Sander, Desmond; Stokes, Timothy (1997)。「グラスマン幾何学の面積」。Wang, Dongming (編)。幾何学における自動演繹。幾何学における自動演繹に関する国際ワークショップ 1996。コンピュータサイエンスの講義ノート。第 1360 巻。トゥールーズ、フランス: Springer。pp. 141–170。doi : 10.1007/ BFb0022724。ISBN 978-3-540-69717-6. ISSN  0302-9743.
• グラッタン・ギネス、アイヴァー（2000年）。『数学的根源の探求、1870-1940：カンターからラッセル、ゲーデルまでの論理学、集合論、数学の基礎』プリンストン大学出版局。ISBN 9780691058580. JSTOR  j.ctt7rp8j.
• Petsche, Hans-Joachim (2006). Fellmann, Emil A. (編). Graßmann . Vita Mathematica (ドイツ語). 第 13 巻. バーゼル、スイス: Birkhäuser. ISBN 3-7643-7257-5。
• ペッチェ、ハンス・ヨアヒム (2009)。ヘルマン・グラスマン。マーク・ミンズ訳。スイス、バーゼル：ビルクホイザー。土井：10.1007/978-3-7643-8860-7。ISBN 978-3-7643-8859-1LCCN  2009929497 。
• ペッチェ、ハンス・ヨアヒム。ロイド・C・カネンバーグ;ケスラー、ゴットフリート;リスコワッカ、ジョランタ編。 （2009年）。ヘルマン・グラスマン – ルーツと痕跡。スイス、バーゼル：ビルクホイザー。土井：10.1007/978-3-0346-0155-9。ISBN 978-3-0346-0155-9LCCN  2009930234 。
• ペッチェ、ハンス・ヨアヒム。リーゼン、ヨルク。ルイス、アルバート C.ラス、スティーブ編。 (2011 年 9 月)。過去から未来へ: 文脈におけるグラスマンの作品。グラスマン生誕200周年記念会議。ポツダム＝シュチェチン：ビルクホイザー。土井：10.1007/978-3-0346-0405-5。ISBN 978-3-0346-0404-8。
• レンケ、ピーター C.ペッチェ、ハンス・ヨアヒム編。 （2010年）。国際グラスマン会議: ポツダムとシュチェチン(DVD)。ポツダム大学。ISBN 978-3-86956-093-9。
• ヴィクター・シュレーゲル（1878年）。ヘルマン・グラスマン: Sein Leben und seine Werke (ドイツ語)。ライプツィヒ、ドイツ:フリードリヒ アーノルド ブロックハウス。
• シュブリング、ゲルト編 (1996)。ヘルマン・ギュンター・グラスマン (1809–1877): 先見の明のある数学者、科学者、新ヒューマニスト学者。ボストン科学哲学研究。第 187 巻。シュプリンガー。doi : 10.1007 /978-94-015-8753-2。ISBN 978-94-015-8753-2. ISSN  0068-0346.

注:広範なオンライン参考文献。グラスマンの生涯と作品に対する当時の大きな関心が明らかになります。Schubring の各章を参照します。

ウィキメディア・コモンズには、ヘルマン・グラスマンに関連するメディアがあります。

Wikiquoteにヘルマン・グラスマンに関連する引用句があります。

• MacTutor 数学史アーカイブ:
  • オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ヘルマン グラスマン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
  • 抽象線形空間。線形代数とベクトル空間の発明におけるグラスマンとその他の 19 世紀の人物の役割について説明します。
• Fearnley-Sander のホームページ。
• グラスマン生誕200年記念会議（1809年～1877年）、2009年9月16日～19日、ポツダム/シュチェチン（ドイツ/ポーランド）：過去から未来へ：グラスマンの業績の文脈
• 「射影幾何学におけるグラスマン法」 – グラスマンの外積代数の射影幾何学への応用に関するチェーザレ・ブラーリ＝フォルティの 3 つのノートの英訳集
• C. Burali-Forti、「H. Grassmann の方法による微分幾何学入門」(Grassmann の初期の弟子による本の英訳)
• 「拡張理論の原理による力学」 – 外積代数の応用に関するグラスマンの論文の英訳