べき乗グループ

数学、特に群論において、冪零群 Gは、上中心級数がGで終了する群である。同値に、有限長の中心級数を持つか、下中心級数が{1} で終了する。

直感的に言えば、冪零群は「ほぼ可換な」群である。この考え方は、冪零群は解けるという事実と、有限冪零群では互いに素な位 数を持つ2つの要素が必ず可換であるという事実に由来する。有限冪零群は超解けるという事実も真である。この概念は、1930年代にロシアの数学者セルゲイ・チェルニコフによって考案されたとされている。^[1]

冪零群はガロア理論や群の分類に現れる。また、リー群の分類にも顕著に現れる。

類似の用語は、冪零、下中心級数、上中心級数などのリー代数（リー括弧を使用）にも使用されます。

この定義では、群の中心級数 の考え方が用いられます。以下は、冪零群Gに対する同値な定義です。

冪零群の場合、 Gが長さnの中心級数を持つような最小のn はGの冪零類と呼ばれ、G は類nの冪零であると言われます。(定義により、級数に自明な部分群と群全体を含む異なる部分群 がある場合、長さはnです。)${\displaystyle n+1}$

同様に、 Gの冪零類は、下中心級数または上中心級数の長さに等しくなります。 グループの冪零類が最大でnの場合、 nil- nグループと呼ばれることがあります。

上記の冪零性の定義のいずれの形式からも、自明群は冪零性クラス 0の唯一の群であり、冪零性クラス 1の群はまさに非自明なアーベル群であることが直ちに分かります。^{[2] [3]}

• 上で述べたように、すべてのアーベル群は冪零群である。^{[2] [4]}
• 小さな非可換群の例として、最小の非可換群pである四元数群 Q ₈を考えてみましょう。この群の中心は{ 1 , −1} で、その上中心級数は {1}, {1, −1}, Q ₈です。したがって、この群はクラス 2 の冪零群です。
• 2つのべき零群の直積はべき零である。^[5]
• すべての有限p群は、実は冪零です (証明) 。n > 1 の場合、位数p ⁿの群の最大冪零類はn - 1です(たとえば、位数p ²の群はアーベル群です)。最大類の 2 群は、一般化四元数群、二面体群、および半二面体群です。
• さらに、すべての有限冪零群はp群の直積である。^[5]
• 任意の体F上の上単三角 n × n行列の乗法群は、冪零性類n − 1 の冪零群である。特に、n = 3とすると、非可換^{[6]無限冪零群の例である}ハイゼンベルク群Hが得られる。^{[7]これは中心級数 1、} Z ( H )、Hで冪零性類 2 を持つ。
• 体F上の可逆な上三角 n × n行列の乗法群は一般に冪零ではないが、解ける。
• G / Z ( G ) がアーベル群となるような任意の非アーベル群Gは、中心級数 {1}、 Z ( G )、Gを持つ冪零性クラス 2 を持ちます。

位数kの任意の群が冪零となる自然数 kが特徴付けられている ( OEISのシーケンスA056867 )。

冪零群は、任意の要素の「随伴作用」が冪零 であるため、そのように呼ばれます。つまり、冪零次数の冪零群と要素に対して、 ( はおよびの交換子)によって定義される関数は、 のすべての に対して、関数の 番目の反復が自明であるという意味で冪零 です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}\colon G\to G}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]}$${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

これは冪零群を定義する特徴ではない。 が（上記の意味で）次数の冪零である群は-エンゲル群と呼ばれ、^{[8]一般に冪零である必要はない。それらは有限}位数を持つ場合に冪零であることが証明されており、有限生成である限り冪零であると予想されている。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

アーベル群とは、まさに、随伴作用が単に冪零であるだけでなく、自明である群（1-エンゲル群）です。

上中心級数の各連続因子群 Z _{i +1} / Z _iはアーベルであり、級数は有限であるため、すべての冪零群は比較的単純な構造を持つ 可解な群です。

クラスnの冪零群のすべての部分群は、クラスn以下で冪零である。^[9]さらに、f がクラスnの冪零群の準同型である場合、 fの像はクラスn以下で冪零である^[9]。

以下のステートメントは有限群に対して同値であり、^[10]冪零性のいくつかの有用な性質を明らかにしている。

証拠：

(a)→(b)

| G |に関する帰納法による。Gがアーベル型であれば、任意のHに対してN _G ( H ) = Gである。そうでない場合、Z ( G ) がHに含まれなければ、h _Z H _Z ⁻¹ h ⁻¹ = h' H' h ⁻¹ = Hであるため、H · Z ( G ) はH を正規化する。Z ( G ) がHに含まれる場合、H / Z ( G ) はG / Z ( G )に含まれる。G / Z ( G ) は冪零群であることに注意。したがって、 H / Z ( G ) を正規化する G / Z ( G )の部分群が存在し、H / Z ( G ) はその真部分群である。したがって、この部分群をGの部分群に引き戻すと、 H が正規化される。(この証明はp群の場合と同じ議論である。必要なのは、 Gが冪零であればG / Z ( G ) も冪零であるということだけなので、詳細は省略する。)

(b)→(c)

p ₁ , p ₂ ,..., p _{s を}その位数を割り切る相異なる素数とし、 P _{i を}Syl _{p i} ( G )、1 ≤ i ≤ sに属するものとし、あるiに対してP = P _iとし、N = N _G ( P ) とします。P はNの正規シロー部分群であるため、P はNの特性群です。P はNの特性群であり、N はN _G ( N )の正規部分群であるため、P はN _G ( N )の正規部分群であることがわかります。 これは、N _G ( N ) がNの部分群であり、したがってN _G ( N ) = Nであることを意味します。したがって、 (b) により、N = Gとなり、 (c) が得られます。

(c)→(d)

p ₁、p ₂、...、p _{s を}その位数を割り切る異なる素数とし、 P _{i を}Syl _{p i} ( G )、1 ≤ i ≤ s の範囲内とします。任意のt (1 ≤ t ≤ s)に対して、 P ₁ P ₂ ··· P _tがP ₁ × P ₂ ×···× P _tに同型であることを帰納的に示します。

まず、各P _{i は}Gにおいて正規なので、P ₁ P ₂ ··· P _{t は}Gの部分群であることに注目してください。H を積P ₁ P ₂ ··· P _{t −1}とし、K = P _tとすると、帰納法によってH はP ₁ × P ₂ ×···× P _{t −1}と同型になります。特に、| H | = | P ₁ |⋅| P ₂ |⋅···⋅| P _{t −1} |です。 | K | = | P _t |なので、 HとKの位数は互いに素です。ラグランジュの定理は、HとKの共通部分が1に等しいことを意味します。定義により、P ₁ P ₂ ··· P _t = HKなので、HK はH × Kと同型で、これはP ₁ × P ₂ ×···× P _tに等しくなります。これで帰納法は完了です。次にt = sとして(d)を得ます。

(d)→(e)

位数p ^kのp 群には、すべての 1≤ m ≤ kに対して位数p ^mの正規部分群があることに注意します。Gはそのシロー部分群の直積であり、群の直積では正規性が維持されるため、Gには| G |のすべての約数dに対して位数dの正規部分群があります。

(e)→(a)

| G |を割り切る任意の素数pに対して、シローp部分群は正規群である。したがって、(c)を適用できる（(c)→(e)はすでに証明済み）。

ステートメント(d)は無限群に拡張できます。Gが冪零群である場合、 Gのすべてのシロー部分群G pは正規_であり、これらのシロー部分群の直積はGの有限位数のすべての元の部分群です(ねじれ部分群を参照)。

冪零群の多くの性質は超中心群によって共有されます。

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