E8（数学）

数学において、E _{8 は}、次元が248であるいくつかの密接に関連した例外的な単純リー群、線型代数群、またはリー代数のいずれかです。階数が 8 である対応するルート格子にも同じ表記法が使われます。 E ₈という 名称は、複素単純リー代数のカルタン・キリング分類に由来しており、複素単純リー代数は、 A _n、 B _n、 C _n、 D _nという 4 つの無限級数と、 G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、および E ₈という 5 つの例外的なケースに分類されます。 E ₈代数は、これらの例外的なケースの中で最大かつ最も複雑です。

リー群E ₈の次元は 248 です。そのランク、つまり最大トーラスの次元は 8 です。

したがって、ルート システムのベクトルは 8 次元ユークリッド空間にあります。これについては、この記事の後半で詳しく説明します。E ₈のワイル群は、グループ全体の共役によって誘導される最大トーラスの対称性のグループであり、順序は 2 ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600です。

コンパクト群 E ₈は、その最小次元の非自明な表現がリー代数 E _{8自体に作用する}随伴表現(次元 248) であるという点で、単純コンパクト リー群の中では唯一の群です。また、次の 4 つの特性を持つ唯一の群でもあります: 自明な中心、コンパクト、単連結、単連結 (すべての根の長さが同じ)。

すべての整数k ≥ 3 に対してリー代数E _{kが存在します。E k が}有限次元となるk の最大値はk  = 8 です。つまり、k > 8 の場合には E _{k は}無限次元になります  。

複素次元 248 の複素群に対応する、 E ₈型の唯一の複素リー代数が存在する。複素次元248の複素リー群 E ₈は、実次元 496 の単純な実リー群と見なすことができる。これは単連結であり、 E ₈のコンパクト形式 (下記参照) の最大コンパクト部分群を持ち、複素共役によって生成される位数 2 の外部自己同型群を持つ。

_{E 8}型の複素リー群の他に、リー代数の 3 つの実形式、自明な中心を持つ群の 3 つの実形式 (そのうち 2 つは非代数的二重被覆を持ち、さらに 2 つの実形式を与える) があり、すべて実次元 248 であり、次のようになります。

• コンパクト形式 (他の情報が指定されていない場合は通常これが意味されます)。これは単連結であり、外部自己同型群が自明です。
• 分割形式EVIII（またはE ₈₍₈₎）は、最大コンパクト部分群Spin(16)/( Z /2 Z )、位数2の基本群（これは、単純連結なリー実群であるが代数的ではない二重被覆を持つことを意味する。下記参照）、および自明な外部自己同型群を持つ。
• EIX（またはE ₈₍₋₂₄₎）は、最大コンパクト部分群E ₇ ×SU(2)/(−1,−1)、位数2の基本群（これも代数的ではない二重被覆を意味する）、および自明な外部自己同型群を持つ。

単純リー代数の実数の完全なリストについては、単純リー群のリストを参照してください。

リー代数のシュヴァレー基底を用いて、 E _{8 を整数上の線型代数群、したがって任意の可換環上の線型代数群、特に任意の体上の線型代数群として定義することができる。これは、 E 8}のいわゆる分割（「非ねじれ」とも呼ばれる）形式を定義する。代数的に閉じた体上では、これが唯一の形式である。しかし、他の体上では、 E ₈の他の多くの形式、つまり「ねじれ」が存在することが多く、これらはガロアコホモロジー（完全体 k上）の一般的な枠組みでは集合 H ¹ ( k ,Aut(E _{8 )) によって分類される。これは、 E 8}のディンキン図（以下を参照）に自己同型がないため、 H ¹ ( k ,E ₈ ) と一致する。^[1]

R上では、 E ₈のこれらの代数的にねじれた形式の恒等式の実連結成分は、上で述べた 3 つの実リー群と一致するが、基本群に関しては微妙な点がある。 E _{8のすべての形式は代数幾何学の意味で単連結であり、非自明な代数被覆を許容しないことを意味する。したがって、 E 8}の非コンパクトで単連結な実リー群形式は代数的ではなく、忠実な有限次元表現を許容しない。

有限体上では、ラング・スタインベルグの定理はH ¹ ( k ,E ₈ )=0 を意味し、これは E _{8 が}ねじれ形式を持たないことを意味します。以下を参照してください。

実リー代数と複素リー群の有限次元表現の指標はすべてワイル指標公式によって与えられる。最小の既約表現の次元は（OEISのシーケンスA121732）である。

1、248、3875、27000、30380、147250、779247、1763125、2450240、4096000、4881384、6696000、26411008、70680000、76271625、 43000、146325270、203205000、281545875、301694976、344452500、820260000、1094951000、2172667860、2275896000、 2642777280、 2903770000、3929713760、4076399250、4825673125、6899079264、8634368000（2回）、12692520960...

248 次元表現は随伴表現です。次元 8634368000 には同型でない既約表現が 2 つあります (一意ではありませんが、この特性を持つ次の整数は 175898504162692612600853299200000 ( OEISのシーケンスA181746 ) です)。基本表現は、次元3875、6696000、6899079264、146325270、2450240、30380、248、147250 の表現です (下のカルタン行列で選択された順序でディンキン図の 8 つのノードに対応します。つまり、ノードは最初に 7 ノード チェーンで読み取られ、最後のノードは 3 番目のノードに接続されます)。

E _{8の無限次元既約}表現に対する特性式の係数は、多項式から成るいくつかの大きな正方行列、Lusztig–Vogan多項式に依存します。これは、 George LusztigとDavid Kazhdan (1983)が一般の簡約群に対して導入したKazhdan–Lusztig 多項式の類似物です。Lusztig–Vogan多項式の 1 における値は、標準表現 (特性の記述が容易) と既約表現を関連付ける行列の係数を与えます。

これらの行列は、ジェフリー・アダムスが率いる18人の数学者とコンピュータ科学者のグループによる4年間の共同作業の末に計算され、プログラミングの大部分はフォッコ・デュ・クルーが担当した。最も難しいケース（例外群の場合）は、 E ₈の分割実数形式（上記参照）で、最大行列のサイズは453060×453060である。他のすべての例外単純群のルスティグ・ヴォーガン多項式は以前から知られているが、E ₈の分割形式の計算は他のどのケースよりもはるかに長い。2007年3月に結果が発表されると、メディアから非常に注目され（外部リンクを参照）、これに取り組んでいた数学者らは驚いた。

_{有限体上のE8}群の表現はDeligne-Lusztig理論によって与えられる。

_{E 8}群（のコンパクト形式）は、対応するe ₈リー代数の自己同型群として構成できる。この代数には、J _ijによって生成される 120 次元の部分代数so (16)と、スピン(16)のワイル-マヨラナスピノルとして変換される128 個の新しい生成元Q _{a が}ある。これらのステートメントは、交換子を決定する。

${\displaystyle \left[J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

同様に

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b},}$

スピノル生成子間の残りの交換子（反交換子ではない！）は次のように定義される。

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}$

すると、ヤコビ恒等式が満たされていることを確認できます。

_{E 8}のコンパクトな実形式は、 128 次元の例外コンパクトリーマン対称空間EVIII (カルタンの分類)の等長変換群です。これは、八元数同士のテンソル積である代数を使用して構築できるため、非公式には「八元数射影平面」として知られています。また、ローゼンフェルド射影平面としても知られていますが、射影平面の通常の公理には従いません。これは、ハンス フロイデンタールとジャック ティッツによる魔方陣と呼ばれる構成を使用して体系的に確認できます(Landsberg & Manivel 2001)。

階数rのルート系は、r次元ユークリッド空間に広がり、特定の幾何学的特性を満たす、ルートと呼ばれるベクトルの特定の有限構成です。特に、ルート系は、任意のルートに垂直な超平面を通した反射に対して不変でなければなりません。

E ₈ルート系は、 R ⁸に及ぶ 240 個のルートベクトルを含む階数 8 のルート系です。これは、より小さい階数のルート系からは構築できないという意味で既約です。 E _{8のすべてのルートベクトルの長さは同じです。さまざまな目的のために、長さ}√ 2になるように正規化しておくと便利です。これらの 240 個のベクトルは、1900 年にThorold Gossetによって発見された半正則多面体の頂点であり、 4 ₂₁多面体とも呼ばれます。

いわゆる偶座標系では、E _{8 は、座標がすべて}整数かすべて半整数で、座標の合計が偶数で あるような、長さの2乗が2に等しいR ⁸のすべてのベクトルの集合として与えられます。

明示的には、整数要素を持つ根は112個ある。

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,}$

任意の符号の組み合わせと任意の座標の順列を取ることで、128個の半整数要素を持つ根が得られる。

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,}$

マイナス記号を偶数個取ることによって（または、同等に、8 つの座標の合計が偶数になるように要求することによって）。合計で 240 個の根があります。

整数要素を持つ 112 個のルートは D ₈ルート システムを形成します。E _{8ルート システムには、 A 8} (72 個のルートを持つ)のコピーと、E ₆およびE ₇ (実際、後者の 2 つは通常E ₈のサブセットとして定義されます) も含まれます。

奇座標系では、E _{8 は}偶座標系の根を取り、いずれかの座標の符号を変更することによって得られます。整数エントリを持つ根は同じですが、半整数エントリを持つ根は、偶数ではなく奇数のマイナス符号を持ちます。

E ₈のディンキン図は次のように表される。。

この図は、ルート構造を簡潔に視覚的にまとめたものです。この図の各ノードは、単純ルートを表します。2 つの単純ルートを結んでいる線は、それらのルートが互いに 120° の角度をなしていることを示します。線で結ばれていない 2 つの単純ルートは直交します。

階数rのルートシステムのカルタン行列は、その要素が単純ルートから導かれるr×r行列である。具体的には、カルタン行列の要素は次のように与えられる。

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\left(\alpha _{i},\alpha _{j}\right)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i}\right)}}}$

ここで、( , )はユークリッド内積、α _{i は}単純根です。要素は単純根の選択に依存しません (順序は別です)。

_{E 8}のカルタン行列は次のように与えられる。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{array}}\right].}$

この行列の行列式は 1 に等しくなります。

ルート システム Φ の単純ルートの集合は、各ルートがこの基底に関してすべて非負であるかすべて非正であるかのいずれかである成分を持つという特殊な性質を持つ、Φ によって張られるユークリッド空間の基底を形成するルートの集合です。

E ₈ カルタン行列(上記) とDynkin 図のノード順序が与えられます。

単純な根の 1 つの選択肢は、次の行列の行によって与えられます。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{array}}\right].}$

ディンキン図のノードの番号付けでは、ルートシステムの最も高いルートにはコクセターラベル（2、3、4、5、6、4、2、3）が付けられます。この単純ルートの表現を使用すると、最も低いルートは次のように表されます。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}-1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right].}$

最低の根に加えて別の根を得ることができる唯一の単純根は、このディンキン図のラベル付けのノード 1 に対応する根です。これは、のアフィン ディンキン図から予想されるとおりです。右側のハッセ図は、このノード番号付けと一致する単純根の特定の選択に対する正の高さの 120 個の根を列挙しています。 ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {E} }}_{8}}$

ハッセ図は完全なリー代数、さらには完全なルート システムさえも表していないことに注意してください。同じ単純ルートの集合に対する負の高さの 120 個のルートは、矢印を反転したハッセ図の 2 番目のコピーで適切に表すことができます。ただし、8 次元カルタン部分代数の基底を介してこれら 2 つの図を接続するのはそれほど簡単ではありません。シュヴァレー生成子とセール関係の説明の表記法では、矢印が単純ルートに関連付けられた生成子によってリー括弧を表す限り、反転ハッセ図の高さ -1 層の各ルートはいくつかに対応し、高さ 0 層のノードに接続された上向き矢印を 1 つだけ持つことができます。このノードは、 によって与えられるカルタン部分代数の要素を表します。ただし、高さ 0 層からの上向き矢印は を表す必要があります。ここで、はカルタン行列 (の転置) です。が非ゼロの場合のすべての に関連付けられた各 から複数の上向き矢印を描くことができます。しかし、これはカルタン行列の数値要素を捉えておらず、また、それぞれがカルタン部分代数において自由度が 1 である非ゼロのリー括弧のみを持つという事実を反映していません ( と同じ自由度ではないだけです)。 ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle h_{i}=[e_{i},f_{i}]}$${\displaystyle [e_{i},h_{j}]=-a_{ji}e_{i}}$${\displaystyle a_{ji}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle [e_{i},h_{j}]}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$

より根本的には、この構成は、「その」カルタン部分代数として指定される生成子の範囲が、何らかの形で本質的に特別であることを意味しているが、ほとんどのアプリケーションでは、248 個のリー代数生成子 (数多く存在する!) のうちの 8 個の相互可換な集合、または E ₈構造を持つ任意の多様体上の任意の 8 個の線形独立な相互可換なリー導出は、同様に機能するはずである。カルタン部分代数が選択されると (または格子の場合のように事前に定義されると)、「カルタン生成子」の基底 (シュヴァレー生成子のうちの ) とルート システムは、この部分代数に関連する構造を記述する便利な方法である。しかし、ルート システム マップは、リー代数 (群は言うまでもない!) の領域ではない。シュヴァレー生成子の集合が与えられた場合、リー代数の自由度の大部分とそれらの疎なリー括弧は円と矢印で図式的に表現できますが、これは選択されたカルタン部分代数では単純に破綻します。数学的構造を図式的に視覚的に表現することの危険性は、このようなことです。 ${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle {e_{i}}}$

E _8のワイル群は696729600の位数を持ち、Oとして記述できる。⁺
₈(2)：それは2. G .2（つまり、グループGによる位数2の巡回群の拡張の位数2の巡回群による幹拡張）の形をとり、ここでGは位数174182400の唯一の単純群（PSΩ ₈ ⁺ (2)と記述できる）である。 ^[3]

_{E 8}ルート系の積分範囲は、自然にE ₈ルート格子と呼ばれるR ⁸の格子を形成します。この格子は、ランクが 16 未満の 唯一の (非自明な) 偶数ユニモジュラ格子であるという点で注目に値します。

リー代数 E _8には、例外的なリー代数すべてと、数学や物理学における他の多くの重要なリー代数が部分代数として含まれています。図上のリー代数の高さは、代数の階数にほぼ対応しています。代数から下位の代数に下がった線は、下位の代数が上位の代数の部分代数であることを示します。

シュヴァレー (1955) は、 q個の元を持つ有限体上の(分割) 代数群 E ₈ (上記参照)の点が有限シュヴァレー群(一般に E ₈ ( q ) と表記される) を形成し、これが任意のqに対して単純であることを示した^{[4] [5] 。これは}有限単純群の分類で扱われる無限族の 1 つを構成する。その元の数は、次の式 ( OEISのシーケンスA008868 ) で与えられる。

${\displaystyle q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$

_{この数列の最初の項、E 8} (2)の順序、すなわち337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈3.38 × 10 ⁷⁴は、すでにモンスター群の大きさよりも大きい。この群 E _{8 (2) は、}有限群のATLASに記載されている最後の群である（ただし、その特徴表はない）。^[6]

E ₈ ( q ) のシュアー乗数は自明であり、その外部自己同型群は体自己同型群である（すなわち、q = p ^f、ここでpは素数であるならば、順序fの巡回群である）。

Lusztig(1979)はE8型_の有限群の単能表現について説明した。

より小さな例外群E ₇とE ₆はE _{8 の}内側にあります。コンパクト群では、E ₆ ×SU(3)/( Z  / 3 Z )とE ₇ ×SU(2)/(+1,−1)は両方ともE _8の最大部分群です。

_{E 8}の 248 次元の随伴表現は、これらの部分群の最初のものに限定された表現の観点から考えることができる。これは、E ₆ ×SU(3)の下で、テンソル積表現の和として変換され、これは (78,1) + (1,8) + ( 27 ,3) + (27, 3 ) という 2 つの次元としてラベル付けすることができる。(最大部分群は実際にはこの群積を有限群で割った商であるため、これらの表記は厳密には無限小 (リー代数) 表現​​を示すものとして解釈することができる。)随伴表現はカルタン部分代数内の生成元とともにルートで記述できるため、 E ₈内の特定の E _{6ルート システムを選択し、この E 6}を基準として和表現を分解することができる。この記述では、

• (78,1) は、 のコピーであり、最後の 3 次元に (− 1 ⁄ 2、− 1 ⁄ 2、− 1 ⁄ 2 )、(0,0,0)、または ( 1 ⁄ 2、1 ⁄ 2、1 ⁄ 2 _{) を持つ 72 個の根と、最初の 5 次元に対応する 5 個のカルタン生成子と、E 8}システムの最後の 3 個のカルタン生成子の等重み和に対応する 1 個のカルタン生成子から構成されます。${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$
• (1,8) は、 のコピーであり、最後の 3 つの次元における (0,1,−1) の順列を持つ 6 つの根と、E ₈システムの最後の 3 つのカルタン生成子の 2 つのトレースのない組み合わせに対応する 2 つのカルタン生成子から構成されます。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$
• （27,3 ）は、最後の３次元において（-1,0,0） 、 （− 1⁄2、1⁄2、1⁄2）、または（0,1,1）の順列を持つすべての根から構成される。
• (27, 3 )は、最後の3次元で(1,0,0)、( 1 ⁄ 2、−1 ⁄ 2 、 −1 ⁄ 2 )、または(0,-1,-1)の順列を持つすべての根から構成されます。

_{E 8}の248次元の随伴表現は、同様に第2極大部分群に制限されると、E ₇ ×SU(2)の下で次のように変換されます: (133,1) + (1,3) + (56,2)。カルタン部分代数の生成元と一緒に根を見ることで、分解を再び見ることができます。この説明では、

• (133,1) は、 のコピーであり、最後の 2 次元に (−1,−1)、(− 1 ⁄ 2、− 1 ⁄ 2 )、(0,0)、( 1 ⁄ 2、1 ⁄ 2 _{)、または (1,1) を持つ 126 個の根と、最初の 6 次元に対応する 6 個のカルタン生成子と、E 8}システムの最後の 2 個のカルタン生成子の等重み和に対応する 1 個のカルタン生成子から構成されます。${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$
• (1,3) のコピーは、2 つのルート (0,0,0,0,0,0,1,−1)、(0,0,0,0,0,0,−1,1) と、E ₈システムの最後の 2 つのカルタン生成子のトレースのない組み合わせに対応する 1 つのカルタン生成子で構成されます。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
• (56,2)は、最後の2次元で(0,-1)、( 1 ⁄ 2、−1 ⁄ 2 )、または(1,0)の順列を持つすべての根から構成されます。

これら 2 つの記述の関係は、 J. ティッツとBN アリソンの次数付き例外リー代数構成によって与えられます。E ₆の任意の 27 次元表現には、非結合的 (ただし厳密にべき結合的) なジョルダン積演算を装備して、アルバート代数(代数構成における重要な例外ケース) を形成できます。このアルバート代数にカンター - ケッヒャー - ティッツ構成を適用すると、78 次元がアルバート代数の縮小構造代数として復元されます。これは、27 と27 の表現と次数演算子 (27 で重み -1、27 で +1、78 で 0 を持つカルタン部分代数の要素)とともに、3 次数リー代数を形成します。この構成の完全な説明は、Jacobson 1968 や McCrimmon 2004 などのジョルダン代数の標準的なテキストに記載されています。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

この 3 次リー代数構成を、E ₈の任意の特定の E ₆部分群の、 内に埋め込まれた任意の特定の 27 次元表現から始めると、対応する部分代数が生成されます。上記のE _{7 ×SU(2) 分解の特定のものは、最後の 3 次元 (順番に) に (1,0,0)、(} 1 ⁄ 2、- 1 ⁄ 2、- 1 ⁄ 2 )、または (0,-1,-1) を持つすべての根からなる 27 を選択することに相当し、これらの次元では、次数演算子の重みは (-1, 1 ⁄ 2、1 ⁄ 2 ) です。または、最後の 3 つの次元 (順に) に(-1,0,0)、(− 1 ⁄ 2、1 ⁄ 2、1 ⁄ 2 )、または (0,1,1) を持つすべてのルートで構成される「27 」を選択することと同等であり、グレード演算子はこれらの次元で (1,- 1 ⁄ 2、- 1 ⁄ 2 ) の重みを持ちます。この次元の選択には特別なことはなく、ルート システムが埋め込まれている は、単純なルートに対応する 8 つの独立した非直交軸の集合ではなく、任意の 3 つの次元でかまいません。また、他の同等のルートのグループ化を使用する構成もあります。重要なのは、生成元が「グレード演算子」として選択されたリー括弧の核が、、、などではなく、部分代数 (およびグレード演算子自体とカルタン部分代数の残りの生成元に関連付けられた中心)であることです。${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{6}\oplus \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$

（単純なリー代数の場合、27 表現と27表現の次数の符号は慣例の問題であり、次数のスケールも同様です。ただし、27 次元の「ベクトル」表現の次数として -1 を選択することは、27 次元の「共ベクトル」表現上の外代数を介して 3 次代数をより高い正の次数に拡張することと一致しています。したがって、「ベクトル」表現は、この非負次数外代数ではなく、外代数上の次数付き導出代数にあります。78 次元は、この次数付き導出代数の次数 0 の部分代数（「ベクトル値 1 形式」による内部導出の部分代数）です。この非対称構造が一般的な 3 次代数からどのように機能するかの詳細については、Frölicher–Nijenhuis 括弧の参考文献を参照してください。 E ₈に関するこの観察は、単に E ₇と E ₈が、例外的な単純リー群/代数として区別される独自の構造のクラスターであり、それらの部分群/部分代数の表現を使用してそれらを再構築すると、動機となるケースを超えた拡張が得られるというだけのことです。文献における符号、スケール、共役関係のさまざまな慣習は、不正確さだけでなく、著者が構築を拡張しようとする方向によるものでもあります。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

上記のE ₇ ×SU(2) 分解で区別される は、次数演算子 (この のカルタン部分代数内にあります) と可換な の部分代数によって与えられます。 の残りの 4 つの根のうち、2 つは次数1 ⁄ 2で、2 つは次数 - 1 ⁄ 2です。を構成するために使用される E ₆の 27 が次数 -1 を持ち、27 が次数 +1 を持つという慣例において、他の 2 つの 27 は次数 + 1 ⁄ 2を持ち、他の 2 つの27は次数 - 1 ⁄ 2を持ちます。これは、上記の説明の最後の 3 つの根の値を並べ替えることで明らかです。これらの 4×(1+27)=112 個の生成元をグループ化して、の次数 + 1 ⁄ 2および - 1 ⁄ 2の部分空間を形成すると( 内の次数演算子の元の選択に関連して)、各部分空間には非常に特殊な非結合的 (さらにはべき乗結合的でもない) 積演算を与えることができ、Brown の 56 次元構造化代数の 2 つのコピーが生成されます。この構造化代数に基づく Allison の 5 次リー代数構成により、元の が復元されます。(Allison の 5 次化は上記と係数 -2 だけ異なります。)に直交するのカルタン生成元に対する重みに基づいてこれらの生成元を別々にグループ化すると、それぞれが E ₇の最低次元の非自明な既約表現を保持する 2 つの 56 次元部分空間が生成されます。これらのいずれかをカルタン生成器と組み合わせて 57 次元のハイゼンベルク代数を形成し、これを に結合すると、ランズバーグとマニベルによって記述された(単純ではない) リー代数E _{7 1/2}が生成されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

の 27 次元グレード -1 サブスペース(グレード演算子の選択に関連して) が E 6 の「ベクトル」表現の役割を果たし、その反対の根を持つ 27 が「共ベクトル」表現の役割を果たすという観点から、グレード + 1 ⁄ 2 および - 1 ⁄ 2 サブスペース、または E ₆ × SU (3) の ( 27 ,3) および (27, 3 ) 表現の他の組み合わせで「スピノル」表現を探し、これらを量子場の理論で採用されている_{クリフォード}代数の意味での幾何学的スピノルに関連付けようとすることは自然です。このアイデアのバリエーションは物理学の文献でよく見られます。E ₈に基づくカイラルゲージ理論の構築に関する数学的な障害については、Distler および Garibaldi 2009 を参照してください。の部分代数に対するの構造は、カルタンの部分代数の要素の従来のスケーリングとともに、幾何学的な類推による拡張を招きますが、必ずしも低次元幾何学や低エネルギー物理学との関係を意味するわけではありません。同じことが、量子力学の発展と歴史的起源が絡み合っているジョーダン代数やハイゼンベルク代数とのつながりにも言えます。タバコのパイプを連想させる視覚表現のすべてがタバコを持っているわけではありません。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

_{E 8} (のコンパクト形式) に埋め込むことができる有限準単純群は、Griess & Ryba (1999) によって発見されました。

デンプウォルフ群は、 E ₈ (のコンパクト形式) のサブグループです。これは、リー群 E _{8の基底ベクトル空間に作用するが、リー括弧を保存しない}トンプソン散在群に含まれています。トンプソン群は格子を固定し、この格子の 3 を法とするリー括弧を保存し、トンプソン群の E ₈ ( F ₃ )への埋め込みを与えます。

_{次元 248 までの E 8}の最大サブグループの埋め込みが右側に表示されます。

E _{8リー群は}理論物理学、特に弦理論と超重力に応用されています。E ₈ ×E ₈は、 2 種類のヘテロティック弦のうちの 1 つのゲージ群であり、 10 次元のN = 1 超重力に結合できる2 つの異常のないゲージ群のうちの 1 つです 。E _{8 は、} 8 次元トーラス (分割形式) 上の超重力の U 双対群です。

素粒子物理学の標準モデルをヘテロティック弦理論に組み込む1つの方法は、 E ₈の対称性をその最大部分代数 SU(3)×E _6に破ることです。

1982年、マイケル・フリードマンはE ₈格子を使用して、滑らかな構造を持たない位相 4次元多様体の例であるE ₈多様体を構築しました。

アントニー・ギャレット・リージの未完成の著書『非常に単純な万物の理論』は、物理学におけるすべての既知の基本的な相互作用を_E8リー代数の一部として記述しようと試みた。 ^{[7] [8]}

R. Coldea、DA Tennant、EM Wheelerら（2010）は、コバルト-ニオブ結晶の電子スピンが、特定の条件下で、ザモロドチコフ（1989）によって予測されたE8に関連する8つのピークのうち2つを示す実験を報告した_。 [ ^{9] [10]}

ヴィルヘルム・キリング(1888a, 1888b, 1889, 1890) は 、単純コンパクト・リー代数の分類中に 複素リー代数 E _{8を発見したが、その存在は証明しなかった。その存在は}エリー・カルタンによって初めて示された。カルタンは、E ₈型の複素単純リー代数は3 つの実数形式を許容すると判定した。それらのそれぞれは次元 248 の単純リー群を生じ、そのうちのちょうど 1 つは (任意の複素単純リー代数と同様に)コンパクトである。シュヴァレー (1955) は、他の体上の E ₈型の代数群とリー代数を導入した。たとえば、有限体の場合、それらはリー型の有限単純群の無限族につながる。E _{8 は、すべてのリー群のユニタリ表現を決定することを目的とする}アトラス・オブ・リー群および表現による基礎研究が活発に行われている分野であり続けている。^[11]

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• リー群のアトラス
• E8 のカズダン – ルシュティヒ – ヴォーガン多項式
• E8のカジダン・ルスティグ多項式を計算するプロジェクトの概要
• アメリカ数学会（2007年3月）、数学者マップE8
• n-Category Café、テキサス大学のJohn BaezによるE ₈のブログ投稿。

• E8 ルート システムのグラフィック表現。
• _{E 8}の複素形式の既約表現の次元のリストは、OEISのシーケンス A121732 です。