リー群

数学において、リー群とは、オブジェクトの集合と射の集合が両方とも多様体であり、すべてのカテゴリ操作（ソースとターゲット、合成、恒等写像、反転）が滑らかであり、ソースとターゲットの操作が ${\displaystyle \operatorname {Ob} }$${\displaystyle \operatorname {Mor} }$

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

水没です。

したがって、リー類群は、リー群の「多対象一般化」と考えることができます。これは、類群が群の多対象一般化であるのと同じです。したがって、リー群は（古典的な）連続対称性の自然なモデルを提供しますが、リー類群は、一般化された点依存の対称性のモデルとしてよく使用されます（および、一般化された点依存の対称性から生じます）。^{[1]リー群とリー代数の}対応を拡張すると、リー類群はリー代数のグローバルな対応物です。

リー群はチャールズ・エーレスマン^{[2] [3]によって}微分可能群という名前で導入されました。

リー群は

• 2つの滑らかな多様体と${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$
• 2つの射影的 沈み込み （それぞれソース投影とターゲット投影と呼ばれる）${\displaystyle s,t:G\to M}$
• マップ（乗算マップまたは合成マップと呼ばれる）では、次の表記法を使用する。${\displaystyle m:G^{(2)}:=\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\}\to G}$${\displaystyle gh:=m(g,h)}$
• マップ（単位マップまたはオブジェクト包含マップと呼ばれる）では、次の表記法を使用する。${\displaystyle u:M\to G}$${\displaystyle 1_{x}:=u(x)}$
• 写像（反転と呼ばれる）では、次の表記法を用いる。${\displaystyle i:G\to G}$${\displaystyle g^{-1}:=i(g)}$

そのような

• 構成は、構成が定義されているすべてのものに対してを満たし、${\displaystyle s(gh)=s(h)}$${\displaystyle t(gh)=t(g)}$${\displaystyle g,h\in G}$
• 合成は結合的である、すなわち合成が定義されているすべての${\displaystyle g(hl)=(gh)l}$${\displaystyle g,h,l\in G}$
• ${\displaystyle u}$は恒等式として機能します。つまり、すべてのおよびすべての${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle g1_{s(g)}=g}$${\displaystyle 1_{t(g)}g=g}$${\displaystyle g\in G}$
• ${\displaystyle i}$は逆関数として機能します。つまり、任意の に対しておよび となります。${\displaystyle g^{-1}g=1_{s(g)}}$${\displaystyle gg^{-1}=1_{t(g)}}$${\displaystyle g\in G}$

圏論の言語を使用すると、リー群は、オブジェクトの集合と射の集合が多様体であり、写像、、、およびが滑らかで、および が沈み込みであるような群（つまり、すべての射が可逆である小さな圏）としてより簡潔に定義できます。したがって、リー群は、滑らかな多様体のカテゴリ内の群オブジェクトだけではありません。 およびが沈み込みであるという追加のプロパティを問う必要があります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

リー群は で表記されることが多く、2 つの矢印はソースとターゲットを表します。 この表記法は、特に関連する神経の単体構造を強調するときによく使用されます。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$

より自然な例を含めるために、多様体は一般にハウスドルフまたは第二可算である必要はありません(一方、および他のすべての空間は可算です)。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

エーレスマンによる当初の定義では、 と が滑らかな構造を持ち、 のみが滑らかで、写像と が浸漬写像（つまり、局所的に一定の階数を持つ）であることが求められていました。このような定義は弱すぎることが判明したため、プラディネスによって現在使用されている定義に置き換えられました。^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$

一部の著者^[5]は、沈み込みを必要とせず、沈み込みである必要がない弱い定義を導入しましたが、これらの性質は、群体と代数体のリー理論全体を展開するための基礎となります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

リー群のソースマップとターゲットマップが滑らかな沈み込みであるという事実は、いくつかの直接的な結果をもたらします。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• -ファイバー、-ファイバー、および合成可能射の集合は部分多様体である。${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$
• 反転写像は微分同相写像である。${\displaystyle i}$
• 単位マップは滑らかな埋め込みです。${\displaystyle u}$
• 等方性群は リー群である。${\displaystyle G_{x}}$
• 軌道は浸漬部分多様体である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$
• ある点における- ファイバーは、その点の軌道上の主- バンドルです。${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{-1}(x)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$

リー群のリー部分群は、浸漬部分多様体であるという追加の要件を備えた部分群（つまり、カテゴリ の部分カテゴリ）です。部分カテゴリに関しては、の場合、(リー) 部分群は広いと呼ばれます。任意のリー群には、 2 つの標準的な広い部分群があります。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\subseteq G}$${\displaystyle N=M}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• 単位/恒等リー部分群;${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$
• 内部部分群、すなわち等方性群の束（ただし一般には滑らかでない可能性がある）。${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$

正規リー部分群は、 の内部にある広いリー部分群で、となる任意の に対してとなる。したがって、 の等方性群は、の等方性群の正規部分群である。 ${\displaystyle H\subseteq G}$${\displaystyle IG}$${\displaystyle h\in H,g\in G}$${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

2 つのリー群と間のリー群射は群射（つまり、カテゴリと間の関数）であり、との両方が滑らかです。同じ基本多様体上のリー群間の射の核は、自動的に正規リー部分群になります。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle H\rightrightarrows N}$${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$

商は 自然な群体構造を持ち、射影は群体射影となる。しかし、リー群の商とは異なり、一般にはリー群体にならない可能性がある。したがって、群体の同型定理はリー群体のカテゴリ全体に特化することはできず、特別なクラスにのみ特化できる。^[6]${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$${\displaystyle G/\ker(F)}$

リー群は、その等方性リー群がアーベル群である場合にアーベル群と呼ばれます。上記と同様の理由により、群のアーベル化の定義は集合論的群にまで拡張されますが、リー群の場合、商の類似物は存在しないか滑らかではない可能性があります。^[7]${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$

リー群の二分法は、およびが の微分同相写像となるような滑らかな写像である。ソースとターゲットの間の対称性の欠如を克服するために、二分法はおよび が微分同相写像となるような部分多様体として同値に定義することができる。2つの定義の関係は によって与えられる。^[8]${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle b:M\to G}$${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$${\displaystyle t\circ b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B\subseteq G}$${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$${\displaystyle B=b(M)}$

二分集合は群 を形成し、乗法はと定義され、反転は と定義されます。定義は、 およびであればおよび となるような方法で与えられていることに注意してください。 ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$$${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$$${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$

二分群にはコンパクト開位相と、群構造と互換性のあるフレシェ多様体の（無限次元）構造を与えることができ、これによりフレシェ-リー群になる。

局所二分法も 同様に定義されますが、局所二分法間の乗算は当然部分的にしか定義されません。 ${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$

• 1 つのオブジェクトを持つリー群は、リー群と同じものです。${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• 任意の多様体 に対して、対群 と呼ばれるリー群が存在し、任意のオブジェクトから他の任意のオブジェクトへの射が 1 つだけ存在します。${\displaystyle M}$${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• 前の 2 つの例は、構造写像、、、を持つ自明な群 の特殊なケースです。${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle s(x,g,y)=y}$${\displaystyle t(x,g,y)=x}$${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$
• 任意の多様体 が与えられた場合、単位群と呼ばれるリー群が存在し、これは 1 つのオブジェクトからそれ自身への射が 1 つだけ、つまり恒等射であり、異なるオブジェクト間の射は存在しません。${\displaystyle M}$${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• より一般的には、 を持つリー群はリー群の束と同じものです (必ずしも局所的に自明ではありません)。たとえば、任意のベクトル束はアーベル群の束なので、特に (アーベル) リー群です。${\displaystyle s=t}$

• 任意のリー群と射影的沈み込み が与えられると、その引き戻し群または誘導群と呼ばれるリー群 が存在し、 にはおよびとなる三つ組が含まれ、 の乗算は の乗算を使用して定義されます。たとえば、 のペア群の引き戻しはのペア群です。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu :N\to M}$${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$${\displaystyle (x,g,y)}$${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
• 任意の 2 つのリー群と が与えられたとき、それらの直積と呼ばれるリー群 が存在し、その群の射影と は射影的沈み込みになります。${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$
• 任意のリー群 に対して、接群と呼ばれるリー群 が存在し、これはとの接束と構造写像の微分を考慮することで得られます。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$
• 任意のリー群 に対して、の余接束、リー代数の双対(下記参照)、および左平行移動と右平行移動の微分を含む適切な構造写像を考慮することで得られる余接群と呼ばれるリー群 が存在する。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$
• 任意のリー群 に対して、そのジェット群と呼ばれるリー群 が存在し、これはの局所二分法のk ジェット(のジェット束から継承された滑らかな構造を持つ)を考慮し、、、、およびと設定することによって得られます。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s:G\to M}$${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$

• 沈み込み が与えられると、沈み込み群またはファイバー対群と呼ばれるリー群 が存在し、その構造マップは対群 から誘導されます(が沈み込みであるという条件は、の滑らかさを保証します)。 が点である場合、対群 を復元します。${\displaystyle \mu :M\to N}$${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle M\times _{\mu }M}$${\displaystyle N}$
• 多様体 に作用するリー群が与えられた場合、の各三つ組に対して 1 つの射を持つ、作用類群 または 並進類群 と呼ばれるリー類群が存在します。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$${\displaystyle gx=y}$
• 任意のベクトル束 に対して、一般線型群と呼ばれるリー群 が存在し、 と の間の射はファイバーと の間の線型同型です。たとえば、 が階数 の自明なベクトル束である場合、 は作用群です。${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$
• 構造群を持つ任意の主バンドルは リー群を定義します。ここで、 はペアに成分ごとに作用し、ゲージ群と呼ばれます。乗算は、ペア群の場合と同様に、互換性のある代表を介して定義されます。${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$
• 多様体上の任意の葉脈は 、2 つのリー群(または) とを定義します。これらはそれぞれ、のモノドロミー/ホモトピー/基本群とホロノミー群と呼ばれ、その射は、 の葉に完全に含まれるパスのホモトピー、ホロノミー、同値類から構成されます。たとえば、 が葉が 1 つだけの自明な葉脈である場合、それぞれ の基本群とペア群を復元します。一方、 が単純な葉脈、つまり、沈み込み の (連結された) 繊維による葉脈である場合、そのホロノミー群は正確に沈み込み群ですが、そのモノドロミー群は、消失サイクルに関する一般的な基準により、ハウスドルフではないことさえあります。^[9]一般に、多くの基本葉脈は、ハウスドルフではないモノドロミー群とホロノミー群を生じます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu :M\to N}$${\displaystyle M\times _{\mu }M}$
• 任意の擬群 に対して、その胚群と呼ばれるリー群 が存在し、これは層位相とジェット群 の構造写像に類似した構造写像を備えている。これは、矢印空間がハウスドルフでも第 2 可算でもないリー群 のもう 1 つの自然な例である。${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$

以下のクラスのいくつかは、集合論的または位相的群のカテゴリですでに意味を成していることに注意してください。

リー群は、次の同値な条件のいずれかを満たす場合、 推移的（古い文献では連結とも呼ばれる）です。

• 軌道は 1 つだけです。
• 任意の 2 つのオブジェクトの間には少なくとも 1 つの射影関係が存在する。
• マップ（のアンカーとも呼ばれる）は射影的です。${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

ゲージ群は推移的リー群の典型的な例を構成します。実際、任意の推移的リー群は、任意の点 に対して、ある主バンドル、つまり-バンドル のゲージ群と同型です。たとえば、 ${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$${\displaystyle x\in M}$

• 自明なリー群は推移的であり、自明な主- 束から生じる。特殊なケースとして、リー群と対群は自明に推移的であり、それぞれ主- 束、および主- 束から生じる。${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times M\to M}$${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to {*}}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle M\to M}$
• 作用群が推移的であるのは、群作用が推移的である場合に限り、そのような場合には、構造群を持つ主バンドルから等方性群（任意の点）が発生します。${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle G\to M}$
• の一般線型群は推移的であり、フレームバンドルから生じる。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$
• のプルバック群、ジェット群、接線群は、が推移的である場合に限り推移的です。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

推移的リー群と主バンドル間の対応のより自明でない例として、（連結された）滑らかな多様体 の基本群 を考えてみましょう。これは当然位相群であり、さらに推移的です。は の普遍被覆のゲージ群に同型であることがわかります。したがって、は滑らかな構造を継承し、リー群になります。 ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

沈み込み群は非推移的なリー群の一例であり、その軌道はまさに のファイバーです。 ${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu }$

推移性のより強い概念は、アンカーが射影的沈み込みであることを要求する。このような条件は局所自明性とも呼ばれ、なぜなら は（主束の局所自明性の結果として）任意の開上の自明な群に（リー群として）局所同型になるからである。 ^[6]${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U\subseteq M}$

空間が第 2 可算である場合、推移性は局所的自明性を意味します。したがって、これら 2 つの条件は多くの例で同等ですが、すべての例で同等であるわけではありません。たとえば、が推移擬似群である場合、その胚芽群は推移的ですが、局所的自明ではありません。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$

リー群は真写像であるとき真であるという。結果として ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$

• のすべての等方性群はコンパクトである。${\displaystyle G}$
• のすべての軌道は閉じた部分多様体である。${\displaystyle G}$
• 軌道空間はハウスドルフです。${\displaystyle M/G}$

例えば：

• リー群が適切であるためには、それがコンパクトである必要があります。
• 対群は常に適切である。
• 単位群は常に適切である。
• 作用群が適切であるのは、その作用が適切である場合に限ります。
• 基本群が有限である場合に限り、基本群は適切である。

上で見たように、リー群の適切性はリー群のコンパクト性の「正しい」類似物です。より「自然な」条件、例えばソースマップが適切であること（このとき はs-適切と呼ばれる）や、空間全体がコンパクトであること（このとき はコンパクトと呼ばれる）などを考慮することもできますが、これらの要件は多くの例やアプリケーションでは厳しすぎることが判明しています。^[10]${\displaystyle s:G\to M}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

リー群は、次の同値な条件のいずれかを満たす場合、 エタールと呼ばれます。

• との次元は等しい。${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle s}$は局所微分同相写像である。
• すべての- 繊維は離散的である${\displaystyle s}$

その結果、- ファイバー、等方性グループ、軌道も離散的になります。 ${\displaystyle t}$

例えば：

• リー群がエタールとなるのは、それが離散的である場合に限ります。
• ペアのグループイドは決してエタールではありません。
• ユニット グループイドは常にエタールです。
• 作用群がエタールとなるのは、離散的である場合に限ります。${\displaystyle G}$
• 擬似群の胚様群は常にエタールです。

エタール群は、任意の 2 つの局所二分法 に対して条件がを意味する場合、有効と呼ばれます。たとえば、 ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$

• リー群は、自明な場合にのみ有効です。
• 単位群は常に効果的です。
• 作用が自由かつ離散的である場合、作用類群は有効である。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

一般に、任意の有効エタール群は、何らかの擬似群の胚群として生じる。^[11]しかし、エタールの性質を仮定しない（より複雑な）有効性の定義も与えることができる。

リー群は、そのすべての- ファイバーが連結されている場合、 - 連結であると呼ばれます。同様に、- 単連結群 ( - ファイバーが単連結である場合) またはソース k 連結群 ( - ファイバーがk 連結である場合、つまり最初のホモトピー群が自明である場合) について話します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$

矢印の空間全体が連結性仮説を満たす必要はないことに注意してください。ただし、 が連結多様体上のソース連結リー群である場合、それ自体は自動的に連結されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$

例えば

• リー群がソース連結となるのは、それらが-連結である場合に限ります。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
• 対群がソース連結である場合、かつその場合のみ、対群は -連結である。${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$
• 単位群は常にソース接続されています。${\displaystyle k}$
• アクション群は、が -連結である場合に限り、ソース -連結である。${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$
• モノドロミー群（したがって基本群でもある）はソース単連結である。
• 主バンドルに関連付けられたゲージ群がソース接続される場合、かつその全空間がソース接続である場合に限ります。${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P}$

関数に沿った集合への群の作用は、と の間の各射に対する写像の集合を介して定義されることを思い出してください。したがって、滑らかな写像に沿った多様体へのリー群の作用は、写像が滑らかな群の作用で構成されます。もちろん、すべての に対して、ファイバー への等方性群の誘導された滑らかな作用があります。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$

リー群 が与えられた場合、主-バンドルは-空間と-不変な射影的沈み込みから構成され、 は微分同相写像となります。同等の（しかしより複雑な）定義は、 - 値コサイクルまたは局所的単純化 を使用して与えることができます。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :P\to N}$$${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$${\displaystyle G}$

が点上のリー群である場合、それぞれ標準リー群作用と主バンドルが回復されます。 ${\displaystyle G}$

リー群の表現は、ベクトル束 へのリー群作用から成り、その作用は繊維方向に線形、すなわち各一対一は線形同型です。同様に、上の の表現は、一般線形群 からへのリー群射として記述できます。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(E)}$

もちろん、任意のファイバーは等方性群の表現になります。より一般的には、推移的リー群の表現は、関連するベクトル束の構築を介して、それらの等方性群の表現によって一意に決定されます。 ${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle G_{x}}$

リー群の表現の例には次のものがあります。

• リー群の表現は標準的なリー群の表現を回復する${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• 対群の表現は自明なベクトル束である${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• 単位群の表現はベクトル束である${\displaystyle M\rightrightarrows M}$
• 作用群の表現は同変ベクトル束である${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$
• 基本群の表現は平坦な接続を持つベクトル束である${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

リー群の表現の同型類の集合は、ベクトル束の直和とテンソル積を持つ 半環の自然な構造を持ちます。${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

リー群の微分可能コホモロジーの概念は、自然にリー群にも一般化されます。定義は、カテゴリとして見た の神経の単体構造に依存しています。 ${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

より正確には、空間は合成可能な射の文字列から構成されることを思い出してください。つまり 、${\displaystyle G^{(n)}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

そして地図を検討します。 ${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$

ある表現における係数を持つ の微分可能な${\displaystyle n}$-cochainは、プルバックベクトルバンドルの滑らかなセクションです。 をそのような -cochain の空間で表し、次のように定義される微分 を考えます。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$${\displaystyle C^{n}(G,E)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

すると はコチェーン複体となり、 と表記されるそのコホモロジーはの係数を持つの微分可能コホモロジーと呼ばれます。0 次での微分は であるため、常に となることに注意してください。 ${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$

もちろん、リー群としてのの微分可能コホモロジーは、リー群としての の標準微分可能コホモロジーと一致する（特に、離散群に対しては、通常の群コホモロジー が回復される）。一方、任意の適切なリー群に対して、任意の に対して であることが証明できる。^[12]${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$${\displaystyle n>0}$