連続対称性

数学において、連続対称性は、ある状態から別の状態への一種の反転の下で不変である反射対称性など、離散対称性とは対照的に、いくつかの対称性を運動として見るという概念に対応する直感的なアイデアです。ただし、離散対称性は、常に、より高次元の連続対称性のサブセットとして再解釈できます。たとえば、3次元空間での2次元オブジェクトの反射は、そのオブジェクトを非平行平面全体で180度連続的に回転させることによって実現できます。

連続対称性の概念は、位相群、リー群、群作用という数学的概念で大部分かつ首尾よく形式化されています。ほとんどの実用的な目的のために、連続対称性は、何らかの構造を保存する位相群の群作用によってモデル化されます。特に、が関数であり、G がXに作用する群であるとします。この場合、すべての に対して であれば、部分群はfの対称性です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle H\subseteq G}$${\displaystyle f(h\cdot x)=f(x)}$${\displaystyle h\in H}$

最も単純な運動は、 3 次元空間のユークリッド群などのリー群の1 パラメータ部分群に従います。たとえば、u が変化するにつれてx軸に平行にu単位移動する運動は、1 パラメータ群の運動です。 z軸の周りの回転も 1 パラメータ群です。

連続対称性は、理論物理学におけるノイマンの定理において、特に連続対称性に関する対称性原理からの保存則の導出において基本的な役割を果たしています。連続対称性の探索は、量子場理論のさらなる発展とともにさらに強化されました。

• ゴールドストーンの定理
• 微小変換
• ネーターの定理
• ソフス・リー
• 動き（幾何学）
• 円形対称

• バーカー、ウィリアム H.、ハウ、ロジャー (2007)。連続対称性: ユークリッドからクラインまで。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3900-3。