シメオン・ドニ・ポワソン

ポテンシャル理論では、ポアソン方程式は、

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-4\pi \rho ,\;}$

これは、 2 階偏微分方程式のラプラス方程式のよく知られた一般化である。${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$潜在的な${\displaystyle \phi }$。

もし${\displaystyle \rho (x,y,z)}$は連続関数であり、${\displaystyle r\rightarrow \infty }$（または点が無限大に「移動」する場合）関数${\displaystyle \phi }$十分に速く0に収束する場合、ポアソン方程式の解はニュートンポテンシャルである。

${\displaystyle \phi =-{1 \over 4\pi }\iiint {\frac {\rho (x,y,z)}{r}}\,dV,\;}$

どこ${\displaystyle r}$体積要素間の距離${\displaystyle dV}$そしてポイント${\displaystyle P}$統合処理は空間全体にわたって行われます。

ポアソン方程式は、Bulletin de la société philomatique (1813) に初めて掲載されました。^{[ 5 ]}この主題に関するポアソンの 2 つの最も重要な回想録は、Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. ft. temps、1829) とSur l'attraction d'un ellipsoide homogène (Mim. ft. l'acad.、1835) です。^{[ 5 ]}

ポアソンは、ラプラス方程式が固体外部でのみ有効であることを発見した。密度が変化する質量に対する厳密な証明は、 1839年にカール・フリードリヒ・ガウスによって初めて与えられた。ポアソン方程式は、重力だけでなく、電気や磁気にも適用できる。^{[ 10 ]： 682-4}

18世紀末になると、静電気学に関する人類の理解は成熟期に近づいた。ベンジャミン・フランクリンはすでに電荷の概念と電荷保存の法則を確立しており、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは静電気学の逆二乗法則を提唱していた。1777年、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、広がりを持つ物体の重力を計算するために使用できるポテンシャル関数の概念を導入した。1812年、ポアソンはこの考えを採用し、ポテンシャル関数と電気の関係を表す適切な式を得た。${\displaystyle V}$電荷密度に対して${\displaystyle \rho }$^{[ 11 ]}：⁴⁷ポアソンのポテンシャル理論に関する研究は、ジョージ・グリーンの1828年の論文「^電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関するエッセイ」に影響を与えた。^{[ 12 ]}

1820 年、ハンス・クリスチャン・エルステッドは、近くの電気回路を閉じたり開いたりすることで磁針を偏向させることができることを実証し、その結果、この現象を説明しようとする論文が大量に発表された。アンペールの力の法則とビオ・サバールの法則がすぐに導き出された。電磁気学の科学が誕生した。ポアソンもこの時期に磁気の現象を研究していたが、電気と磁気を別々の現象として扱うことを主張した。彼は 1826 年に磁気に関する 2 つの論文を発表した。^{[ 11 ] : 72} 1830 年代までに、電気の研究における主要な研究課題は、電気が物質とは異なる流体であるか、あるいは重力のように単に物質に作用するものであるかということであった。クーロン、アンドレ・マリー・アンペール、ポアソンは、電気は物質とは異なる流体であると考えていた。しかし、マイケル・ファラデーは、電気分解から始まる実験的研究で、そうではないことを示そうとした。ファラデーは、電気は物質の一部であると信じていた。^{[ 11 ]： 88}

エドマンド・テイラー・ウィテカーは著書『エーテルと電気の理論の歴史』（1910年）の中で、ポアソンの静電気に関する数学的扱いを称賛し、電磁誘導の物理学に関するポアソンの解釈は間違っていたものの、磁気に関するポアソンの方程式は依然として有効であると指摘した。^{[ 2 ]}

18世紀に主にレオンハルト・オイラーとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって創始された変分法は、 19世紀にさらに発展し応用された。^{[ 15 ]}

させて

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))\,dx,}$

どこ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$。 それから${\displaystyle S}$極端になる場合${\displaystyle f(x,y(x),y'(x))}$オイラー・ラグランジュ方程式を満たす

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0.}$

しかしもし${\displaystyle S}$高階微分に依存する${\displaystyle y(x)}$つまり、

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x)\right)\,dx,}$

それから${\displaystyle f}$オイラー・ポアソン方程式を満たさなければならない。

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$^{[ 16 ]}

ポアソンの『力学論』 （Traité de mécanique）は全2巻で、彼の最も重要な科学論文の一つであり^{[ 3 ]} 、ラグランジュとラプラスのスタイルで書かれている^{[ 5 ]} 。この著作の中で、ポアソンはラグランジュが力学にパラメータ変化法を適用したことを高く評価している^{[ 9 ]} 。しかし、ラグランジュとは異なり、ポアソンは図表を用いた^{[ 4 ]} 。 ポアソンはニュートンのベクトル力学の定式化を省略し、代わりに「解析力学」に焦点を当てることを選択した。これはラグランジュの論文『解析力学』（Mécanique analytique 、1788年）のタイトルに由来する用語である。ポアソンは静力学の扱いにおいて仮想速度の原理（当時は仮想仕事として知られていた）を述べ、ダランベールの原理を動力学の一般原理として提示した^{[ 4 ] 。}${\displaystyle q}$ポジションである、${\displaystyle T}$運動エネルギーは、${\displaystyle V}$位置エネルギーはどちらも時間に依存しない。${\displaystyle t}$ラグランジュの運動方程式は次のようになります^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0,~~~~i=1,2,...,n.}$

ここでは、時間微分を表すニュートンのドット記法が用いられています。${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\dot {q}}}$ポアソン集合${\displaystyle L=T-V}$[ ^{15 ]彼は、}もし${\displaystyle V}$独立していた${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$彼は書くことができた

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$

^[ 15 ^]​

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.}$

彼は一般化運動量の明示的な公式を導入した。^{[ 15 ]}

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

したがって、運動方程式から彼は^{[ 15 ]を得た。}

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}.}$

ポアソンのテキストは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの著作に影響を与えた。1809年にフランス学士院で発表された論文の中で、ポアソンは現在彼の名にちなんで名付けられている新しい表現を導入した。^{[ 17 ]： 233} Let${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$運動の正準変数の関数である${\displaystyle q}$そして${\displaystyle p}$すると、ポアソン括弧は次のように与えられる。

${\displaystyle [u,v]={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}.}$^{[ 18 ]}

明らかに、この操作は反通勤である。より正確には、${\displaystyle [u,v]=-[v,u]}$[ ^{18 ]}ハミルトンの運動方程式^によれば、全時間微分は${\displaystyle u=u(q,p,t)}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&=[u,H]+{\frac {\partial u}{\partial t}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle H}$はハミルトニアンである。ポアソン括弧を用いて、ハミルトンの方程式は次のように書ける。${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=[q_{i},H]}$そして${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=[p_{i},H]}$[ ^{18 ]}仮に^​${\displaystyle u}$が運動の保存量である場合、それは以下を満たさなければならない。

${\displaystyle [H,u]={\frac {\partial u}{\partial t}}.}$

さらに、ポアソンの定理は、任意の 2 つの運動の定数のポアソン括弧もまた運動の定数であると述べている。^{[ 18 ]}彼が一般化運動量の式を初めて発表したのは、この 1809 年の論文であった。^{[ 2 ]}ポアソンは、惑星軌道の摂動理論から生じる運動方程式を積分しようとして括弧を導入した。^{[ 17 ] : 233}ポアソンは正準変換の理論を開発することに近づいた。^{[ 19 ] : 349}しかし、理論力学でポアソン括弧の有用性を最初に認識したのはヤコビであった。ヤコビは、1842 ～ 43 年の学年度にケーニヒスベルク大学で行われた一連の動力学の講義で、ポアソンの定理を証明するために使用できるポアソン括弧の恒等式も発表した。^{[ 17 ] : 233}「ポアソン括弧」という名称は、おそらく1910年にET Whittakerによって初めて使用された。^{[ 2 ]}

アーサー・ケイリーは1857年に、ポアソン括弧がいずれラグランジュ括弧に取って代わると予測した。^{[ 2 ]}ヤコビのポアソン括弧の恒等式は、リー代数の研究の基礎となった。^{[ 2 ]}

1925 年 9 月、ポール ディラックは、量子力学として知られる新しい物理学の分野に関するヴェルナー ハイゼンベルクの画期的な論文の証明を受け取った。すぐに彼は、ハイゼンベルクの論文の重要なアイデアが力学的変数の反可換性であることに気づき、古典力学における類似の数学的構成がポアソン括弧であることを思い出した。彼は、ウィテカーの『粒子と剛体の解析力学』（1904 年）で必要な扱いを見つけた。 ^{[ 20 ] : 83–8 [ 21 ]}

1821年、クロード＝ルイ・ナビエは弾性体との類推を用いて、粘性流体の基本的な運動方程式（現在ではナビエ・ストークス方程式として知られている）に到達した。1829年、ポアソンは独立して同じ結果を得た。ジョージ・ガブリエル・ストークスは1845年に連続体力学を用いてそれらを再導出した。^{[ 10 ]： 696-7}ポアソン、コーシー、ソフィー・ジェルマンは19世紀の弾性理論の主な貢献者であった。変分法は問題を解決するために頻繁に使用された。^{[ 15 ]}ポアソン比はこの文脈で初めて導入され、ポアソンの数学的モデルは後に誤りであることが示されたが、この比は依然として大きな学術的関心を集めており、数多くの応用が見出されている。^{[ 2 ]}

1829年の弾性体に関する論文で、ポアソンは発散定理として知られるようになったものの特殊なケースについて述べ、証明した。^{[ 22 ]}

ポアソンは波動理論に関する論文も発表している（Mém. ft. l'acad., 1825）。^{[ 5 ]}