近隣（数学）

位相幾何学や数学解析において、近傍（または近傍空間）は位相空間における基本的な概念の一つです。これは開集合や内部といった概念と密接に関連しています。直感的に言えば、ある点の近傍とは、その点を含む点の集合であり、その点から任意の方向に一定量移動しても、その集合から外れないような点の集合のことです。

距離空間において${\displaystyle M=(X,d),}$セット${\displaystyle V}$ある点の近傍${\displaystyle p}$正の実数が存在する場合${\displaystyle r}$開いたボール$${\displaystyle B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ 中央${\displaystyle p}$半径${\displaystyle r}$に含まれる${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$集合の近傍である${\displaystyle S}$各要素について${\displaystyle p}$の${\displaystyle S,}$正の数が存在する${\displaystyle r}$そのため${\displaystyle B(p;r)}$に含まれる${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$集合の一様近傍と呼ばれる。${\displaystyle S}$正の数が存在する場合${\displaystyle r}$すべての要素に対して${\displaystyle p}$の${\displaystyle S,}$オープンボール${\displaystyle B(p;r)}$に含まれる${\displaystyle V.}$

均一な近隣の同じ条件下で${\displaystyle r>0,}$の${\displaystyle r}$-近所${\displaystyle S_{r}}$集合の${\displaystyle S}$は、半径のすべての開いた球の和集合である。${\displaystyle r}$各点を中心とする${\displaystyle S}$:$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

直接的に、${\displaystyle r}$-近傍は均一近傍であり、集合が均一近傍であるのは、それがを含む場合に限る。${\displaystyle r}$-ある値を持つ近隣${\displaystyle r.}$

実数の集合が与えられた${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のユークリッド距離では、部分集合${\displaystyle V}$定義される $${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$ この地区は${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の集合ですが、すべての正の実数に対して、この集合の一様近傍ではありません。${\displaystyle r}$、${\displaystyle B\left(\left\lceil {\frac {1}{r}}\right\rceil +1\,;\,r\right)}$は の部分集合ではない${\displaystyle V}$（ご了承ください${\displaystyle \left\lceil {\frac {1}{r}}\right\rceil +1}$（自然数）

上記の定義は、開集合の概念が既に定義されている場合に有用です。トポロジーを定義する別の方法として、まず近傍系を定義し、次に各点の近傍を含む集合を開集合と定義する方法があります。

近隣システム${\displaystyle X}$フィルターの割り当て${\displaystyle N(x)}$サブセットの${\displaystyle X}$それぞれに${\displaystyle x}$で${\displaystyle X,}$そのため

1. 要点${\displaystyle x}$それぞれの要素です${\displaystyle U}$で${\displaystyle N(x)}$
2. それぞれ${\displaystyle U}$で${\displaystyle N(x)}$いくつか含まれています${\displaystyle V}$で${\displaystyle N(x)}$各${\displaystyle y}$で${\displaystyle V,}$${\displaystyle U}$は${\displaystyle N(y).}$

両方の定義が互換性があることを示すことができる。つまり、開集合を用いて定義された近傍システムから得られるトポロジーは元のトポロジーであり、近傍システムから出発する場合も同様である。

均一な空間${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$${\displaystyle V}$は均一な近傍と呼ばれます${\displaystyle P}$側近が存在する場合${\displaystyle U\in \Phi }$そのため${\displaystyle V}$すべてのポイントが含まれています${\displaystyle X}$それは${\displaystyle U}$-ある地点に近い${\displaystyle P;}$つまり、${\displaystyle U[x]\subseteq V}$すべての人々のために${\displaystyle x\in P.}$

点の削除された近傍${\displaystyle p}$（パンクチャード・ネイバーフッドと呼ばれることもある）は、${\displaystyle p,}$それなし${\displaystyle \{p\}.}$例えば、間隔${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$は近隣地域です${\displaystyle p=0}$実数直線では、集合は${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$削除された近隣地域です${\displaystyle 0.}$与えられた点の削除された近傍は、実際にはその点の近傍ではありません。削除された近傍の概念は、関数の極限の定義や極限点の定義（その他にも）に現れます。^{[ 4 ]}

• 孤立点– 部分集合Sの点のうち、周囲にSの他の点が存在しない点 
• 近隣システム– 数学における概念 
• 領域（数学）– 位相空間の連結した開部分集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 管状近傍– 部分多様体の近傍 

• ブレドン、グレン・E. (1993).トポロジーと幾何学. ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-97926-3。
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
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• ケリー、ジョン・L. (1975).一般位相幾何学. ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-90125-6。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .