双線形写像

数学において、双線型写像とは、 2 つのベクトル空間の要素を組み合わせて3 番目のベクトル空間の要素を生成する関数であり、各引数に対して線型です。行列の乗算がその一例です。

双線形写像はモジュールに対しても定義できます。これについては、記事pairing を参照してください。

およびを同じ基底体上の3 つのベクトル空間とします。双線型写像とは、 すべての に対して、写像はからへの線型写像 であり、すべての に対して、写像はから へ の線型写像であるような関数です。言い換えれば、双線型写像の最初の要素を固定し、2 番目の要素を変化させると、結果は線型演算子となり、同様に、2 番目の要素を固定すると、 についても線型演算子となります。 ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle B:V\times W\to X}$$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle B_{w}}$ $${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle B_{v}}$ $${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$${\displaystyle W}$${\displaystyle X.}$

このようなマップは次の特性を満たします。 ${\displaystyle B}$

• いずれの場合も、${\displaystyle \lambda \in F}$${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)。}$
• マップは両方のコンポーネントで加算されます: ifとthenと${\displaystyle B}$${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

かつすべてのに対してB ( v , w ) = B ( w , v )が成り立つ場合、 B は対称であると言えます。X が基底体Fの場合、写像は双線型形式と呼ばれ、よく研究されています (例:スカラー積、内積、二次形式)。 ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle v,w\in V,}$

体F上のベクトル空間の代わりに、可換環R上の加群を使用すると、定義は変更なしで機能します。これはn元関数に一般化され、適切な項は多重線型です。

非可換環RとS、左R加群M、右S加群Nに対して、双線型写像とは、 Tが( R , S )双加群である写像B  : M × N → Tであり、N内の任意のnに対してm ↦ B ( m , n )はR加群準同型であり、M内の任意のmに対してn ↦ B ( m , n )はS加群準同型である。これは次式を満たす。

B ( r ⋅ m、n ) = r ⋅ B ( m、n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

Mのすべてのm、Nのすべてのn、Rのすべてのr、Sのすべてのsについて、また各引数において Bが加算的であること。

定義から直接得られる結果は、v = 0 _Vまたはw = 0 _WのときはいつでもB ( v , w ) = 0 _Xであるということです。これは、ゼロベクトル0 _{V を}0 ⋅ 0 _{V ( 0 W}についても同様) と書き、スカラー 0 を線形性によってBの前の「外側」に移動することで確認できます。

すべての双線型写像の集合L ( V , W ; X )は、 V × WからXへのすべての写像の空間 (つまりベクトル空間、モジュール) の線型部分空間です。

V、W、Xが有限次元であれば、 L ( V、W ; X )も有限次元です。つまり、双線型形式の場合、この空間の次元はdim V × dim Wです (一方、線型形式の空間L ( V × W ; F )は次元dim V + dim Wです)。これを確認するには、VとWの基底を選択します。すると、各双線型写像は行列B ( e _i、f _j )によって一意に表すことができ、その逆も同様です。ここで、X が高次元の空間であれば、明らかにdim L ( V、W ; X ) = dim V × dim W × dim Xとなります。 ${\displaystyle X=F,}$

• 行列の乗算は双線形写像M( m , n )×M( n , p )→M( m , p )です。
• 実数上のベクトル空間 Vが内積を持つ場合、その内積は双線型写像である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• 一般に、体F上のベクトル空間Vに対して、V上の双線型形式は双線型写像V × V → Fと同じである。
• V が双対空間 V ^∗を持つベクトル空間である場合、標準評価写像b ( f , v ) = f ( v )はV ^∗ × Vから基底体への双線型写像です。
• VとW を同じ基底体F上のベクトル空間とする。fがV ^∗の元であり、gがW ^∗の元である場合、b ( v , w ) = f ( v ) g ( w )は双線型写像V × W → Fを定義する。
• のクロス積は双線形写像である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• を双線型写像、を線型写像とすると、( v , u ) ↦ B ( v , Lu )はV × U上の双線型写像です。${\displaystyle B:V\times W\to X}$${\displaystyle L:U\to W}$

とを位相ベクトル空間とし、を双線型写像とする。このときbは${\displaystyle X,Y,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$次の 2 つの条件が満たされる場合、 別々に連続します。

1. によって与えられるすべてのマップは連続である。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. によって与えられるすべてのマップは連続です。${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle X\to Z}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

連続ではないが別々に連続する双線型写像の多くは、追加の性質である「亜連続性」を満たします。^[1] すべての連続双線型写像は亜連続です。

実際に発生する多くの双線形写像は別々に連続していますが、すべてが連続しているわけではありません。ここでは、別々に連続する双線形写像が連続するための十分な条件を示します。

• Xがベール空間であり、Yが距離化可能である場合、すべての別々に連続する双線型写像は連続である。^[1]${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• がフレシェ空間の強双対である場合、すべての別々に連続な双線型写像は連続である。^[1]${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• 双線形写像が(0, 0)で連続であれば、どこでも連続である。^[2]

を局所凸ハウスドルフ空間とし、を次のように定義される合成写像とします。 一般に、双線型写像は連続ではありません（線型写像の空間がどのような位相で与えられても）。ただし、次の結果が得られます。 ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$${\displaystyle C}$

線型写像の 3 つの空間すべてに、次の位相のいずれかを指定します。

1. これら 3 つすべてに有界収束の位相を与える。
2. これら 3 つすべてにコンパクト収束の位相を与える。
3. これら 3 つすべてに点収束の位相を与えます。

• がの等連続部分集合である場合、制約は3つの位相すべてに対して連続である。^[1]${\displaystyle E}$${\displaystyle L(Y;Z)}$${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• が樽型空間である場合、におけるに収束するすべての列と におけるに収束するすべての列に対して、における の列はに収束する^[1]${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L(Y;Z),}$${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle v\circ u}$${\displaystyle L(Y;Z).}$

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• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

• 「双線形写像」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]