シンプルライグループ

数学において、単純リー群は、連結された 非可換 リー群 Gであり、非自明な連結された正規部分群を持たない。単純リー群のリストは、単純リー代数とリーマン対称空間のリストを読み取るために使用できる。

実数の可換リー群 、および単位大きさの複素数の可換リー群U(1) (単位円) とともに、単純リー群は、群の拡張の操作を介してすべての (有限次元) 連結リー群を構成する原子「ブロック」を与えます。一般的に遭遇するリー群の多くは、単純であるか、または単純であることに「近い」かのいずれかです。たとえば、行列式が 1 に等しいn行 n列の行列のいわゆる「特殊線型群」 SL( n , ) は、 n > 1のすべての奇数に対して単純であり、射影特殊線型群 と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

単純リー群の最初の分類はヴィルヘルム・キリングによって行われ、この研究は後にエリー・カルタンによって完成されました。最終的な分類はキリング・カルタン分類と呼ばれることがよくあります。

残念ながら、単純リー群の普遍的に受け入れられている定義はありません。特に、抽象群として単純なリー群として定義されるとは限りません。単純リー群が連結である必要があるかどうか、単純リー群に非自明な中心があってもよいかどうか、単純リー群であるかどうかについては、著者によって意見が分かれています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

最も一般的な定義は、リー群が連結で非可換であり、すべての閉じた連結正規部分群が単位群または全体群である場合に、リー群は単純であるということです。特に、単純群は非自明な中心を持つことが許されていますが、単純ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

この記事では、自明な中心を持つ連結な単純リー群をリストします。これらが分かれば、非自明な中心を持つものは次のように簡単にリストできます。自明な中心を持つ任意の単純リー群には普遍被覆があり、その中心は単純リー群の基本群です。対応する非自明な中心を持つ単純リー群は、この普遍被覆を中心のサブグループで割った商として得られます。

リー対応から、単純リー群の同等の定義が導かれます。連結リー群は、そのリー代数が単純であれば単純です。重要な技術的ポイントは、単純リー群が離散的な正規部分群を含む場合があることです。このため、単純リー群の定義は、抽象群として単純なリー群の定義と同等ではありません。

単純リー群には多くの古典的なリー群が含まれており、球面幾何学、射影幾何学、およびフェリックス・クラインのエアランゲン計画の意味での関連幾何学の群論的基礎を提供します。単純リー群の分類の過程で、よく知られている幾何学に対応しないいくつかの例外的な可能性も存在することが明らかになりました。これらの例外的な群は、現代の理論物理学だけでなく、他の数学の分野でも多くの特別な例や構成を説明します。

反例として、一般線型群は単純でも半単純でもありません。これは、単位元 の倍数が非自明な正規部分群を形成するため、定義を回避してしまうからです。同様に、対応するリー代数は退化したキリング形式を持ちます。これは、単位元 の倍数が代数のゼロ元に写像されるからです。したがって、対応するリー代数も単純でも半単純でもありません。もう 1 つの反例として、偶数次元の特殊直交群があります。これらは中心に行列 を持ち、この要素は単位元にパス接続されているため、これらの群は定義を回避します。これらは両方とも簡約群です。 ${\displaystyle -I}$

単純リー群のリー代数は単純リー代数です。これは、自明な中心を持つ連結された単純リー群と、1 より大きい次元の単純リー代数との間の 1 対 1 の対応です。(1 次元リー代数を単純としてカウントするかどうかについては、著者によって意見が分かれています。)

複素数上で、半単純リー代数は、そのディンキン図 （タイプ "ABCDEFG"） によって分類されます。L が実単純リー代数である場合、その複素化は単純複素リー代数です。ただし、 L がすでにリー代数の複素化である場合は除きます。その場合、Lの複素化はLの 2 つのコピーの積です。これにより、実単純リー代数を分類する問題は、各複素単純リー代数の実数形式（つまり、複素化が与えられた複素リー代数である実リー代数）をすべて見つける問題に簡約されます。そのような形式は常に少なくとも 2 つあります。分割形式とコンパクト形式です。通常、他にもいくつかあります。異なる実数形式は、複素リー代数の順序が最大で 2 の自己同型のクラスに対応します。

対称空間は以下のように分類されます。

まず、対称空間の普遍被覆は依然として対称であるため、単連結対称空間の場合に還元できます。(たとえば、実射影平面の普遍被覆は球です。)

第二に、対称空間の積は対称なので、単純連結な既約空間を分類するだけで済みます (既約とは、より小さな対称空間の積として表すことができないことを意味します)。

既約単連結対称空間は、実数直線と、各非コンパクト単純リー群Gに対応するちょうど 2 つの対称空間(1 つはコンパクト、もう 1 つは非コンパクト) です。非コンパクトな対称空間は、最大コンパクト部分群HによるGの商の被覆であり、コンパクトな対称空間は、同じ部分群HによるGのコンパクト形式の商の被覆です。コンパクト対称空間と非コンパクト対称空間のこの双対性は、球面幾何学と双曲幾何学の間のよく知られた双対性の一般化です。

互換性のある複素構造を持つ対称空間はエルミートと呼ばれます。コンパクトな単連結既約エルミート対称空間は、例外的な 2 つを除いて 4 つの無限族に分類され、それぞれが非コンパクトな双対を持ちます。さらに、複素平面もエルミート対称空間です。これは、既約エルミート対称空間の完全なリストです。

4 つのファミリーは、 p = 2 の場合のタイプ A III、B I、D I、D III、C I であり、例外的な 2 つは複素次元 16 と 27 のタイプ E III と E VII です。

${\displaystyle \mathbb {R,C,H,O} }$  実数、複素数、四元数、八元数を表します。

例外群のE ₆ ⁻²⁶などの記号において、指数 −26 は、最大コンパクト部分群上で負定値である不変対称双線型形式の符号です。これは、群の次元から最大コンパクト部分群の次元の 2 倍を引いた値に等しくなります。

下の表にリストされている基本群は、自明な中心を持つ単純群の基本群です。同じリー代数を持つ他の単純群は、この基本群のサブグループに対応します（外部自己同型群の作用を法として）。

単純リー群は完全に分類されています。分類は通常、いくつかのステップで示されます。

• 単純複素リー代数の分類ディンキン図による複素数上の単純リー代数の分類。
• 単純な実リー代数の分類単純な複素リー代数はそれぞれ、ディンキン図の追加装飾によって分類される実形式がいくつかあり、佐竹一郎にちなんで佐竹図と呼ばれています。
• 中心のない単純リー群の分類すべての（実または複素）単純リー代数 に対して、そのリー代数が であり、自明な中心を持つ唯一の「中心のない」単純リー群が存在します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 単純リー群の分類

任意のリー群の基本群は離散可換群であることを示すことができる。あるリー群の基本群の（非自明な）部分群が与えられれば、被覆空間の理論を使用して、その中心にを含む新しい群を構築することができる。これで、この構築を中心のないリー群に適用することで、任意の（実または複素）リー群を得ることができる。この方法で得られた実リー群は、任意の複素群の実形式ではない可能性があることに注意してください。このような実群の非常に重要な例は、無限次元表現論と物理学に登場するメタプレクティック群である。完全な基本群を とすると、結果として得られるリー群は、中心のないリー群の普遍被覆であり、単連結である。特に、すべての（実または複素）リー代数は、そのリー代数と一意の連結かつ単連結なリー群にも対応し、これは に関連付けられた「単連結リー群」と呼ばれる。${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

すべての単純複素リー代数には、対応する中心なしリー群がコンパクトである唯一の実形式があります。これらの場合の単連結リー群もコンパクトであることがわかります。コンパクトリー群は、ピーター–ワイル定理により、特に扱いやすい表現論を持っています。単純複素リー代数と同様に、中心なしコンパクトリー群はディンキン図によって分類されます（最初に分類したのはウィルヘルム・キリングとエリー・カルタンです）。

ディンキン図の無限級数 (A、B、C、D) の場合、各ディンキン図に関連付けられた連結コンパクト リー群は、行列群として明示的に記述でき、対応する中心のないコンパクト リー群は、スカラー行列のサブグループによる商として記述されます。タイプ A および C の場合、対応する単連結リー群の明示的な行列表現を行列群として見つけることができます。

A _rには、関連する単連結コンパクト群として特殊ユニタリ群SU ( r + 1)があり、関連する中心なしコンパクト群として射影ユニタリ群PU( r + 1)があります。

B _rには、中心のないコンパクト群として、奇特殊直交群SO(2 r + 1)が関連付けられます。ただし、この群は単連結ではありません。その普遍(二重)被覆はスピン群です。

C _{r に}は、単連結群としてユニタリシンプレクティック行列の群Sp( r ) があり、中心なし群として射影ユニタリシンプレクティック行列のリー群 PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} があります。シンプレクティック群は、メタプレクティック群による二重被覆を持ちます。

D _rには、偶数特殊直交群SO(2 r )がコンパクト群として関連しており、中心のないコンパクト群として射影特殊直交群 PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I} がある。B 系列と同様に、SO(2 r ) は単連結ではなく、その普遍被覆はやはりスピン群であるが、後者にも中心がある (記事を参照)。

図式 D _{2は 2 つの孤立したノードであり、 A 1} ∪ A ₁と同じであり、この一致は SU(2) × SU(2) から SO(4) への被覆写像準同型に対応し、四元数の乗算によって与えられます。四元数と空間回転を参照してください。したがって、SO(4) は単純群ではありません。また、図式 D _{3は A 3}と同じであり、 SU(4) から SO(6) への被覆写像準同型に対応します。

上記の 4 つの族A _i、B _i、C _i、およびD _iに加えて、 5 つのいわゆる例外的な Dynkin 図G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、およびE ₈があります。これらの例外的な Dynkin 図には、単連結で中心のないコンパクト グループも関連付けられています。ただし、例外的な族に関連付けられたグループは、主にその記述に例外的なオブジェクトを使用するため、無限族に関連付けられたグループよりも記述が困難です。たとえば、 G _{2に関連付けられたグループは}八元数の自己同型群であり、 F ₄に関連付けられたグループは、特定のアルバート代数の自己同型群です。

E _{7 + 1 ⁄ 2}も参照してください。

^† この群は抽象群としては「単純」ではなく、ほとんどの（ただしすべてではない）定義によれば、これは単純なリー群ではない。さらに、ほとんどの著者は、そのリー代数を単純なリー代数として数えていない。ここでは、「既約単連結対称空間」のリストが完全になるようにリストされている。 は、コンパクト双対を持たない唯一の非コンパクト対称空間である（ただし、コンパクト商S ¹を持つ）ことに注意する。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

次の表は、小さな次元の単純なリー代数を持つリー群をいくつか示しています。特定の線上のグループはすべて同じリー代数を持ちます。次元が 1 の場合、グループはアーベルであり単純ではありません。

単純連結群は、ディンキン図に単純リンクのみが含まれるリー群であり、したがって、対応するリー代数の非ゼロ根はすべて同じ長さになります。A、D、E 系列のグループはすべて単純連結ですが、B、C、F、G タイプのグループは単純連結ではありません。

• カルタン行列
• コクセター行列
• ワイル群
• コクセターグループ
• カッツ・ムーディ代数
• カタストロフィー理論
• リー群の表
• 低次元実リー代数の分類

• ジェイコブソン、ネイサン（1971）。例外的なリー代数。CRCプレス。ISBN 0-8247-1326-5。
• フルトン、ウィリアム;ハリス、ジョー(2004)。表現理論：初級。シュプリンガー。doi :10.1007 / 978-1-4612-0979-9。ISBN 978-1-4612-0979-9。

• ベッセ、アインシュタイン多様体 ISBN 0-387-15279-2 
• ヘルガソン『微分幾何学、リー群、対称空間』ISBN 0-8218-2848-7 
• フックスとシュヴァイガート、「対称性、リー代数、表現：物理学者のための大学院コース」ケンブリッジ大学出版局、2003年 。ISBN 0-521-54119-0