E 7（数学）

数学において、E ₇は、次元が 133 である、密接に関連するいくつかのリー群、線形代数群、またはそれらのリー代数e ₇の名前です。同じ表記 E _7は、ランク7の対応するルート格子にも使用されます。E ₇という表記は、複素単純リー代数のカルタン・キリング分類に由来し、A _n、B _n、C _n、D _nというラベルの 4 つの無限系列と、E 6 、E 7 、E 8 、F 4 、および G 2 というラベルの 5 つの例外的なケースに分類されます _。したがって_、 E 7 _代数は、₅つの _例外的なケース_の1 つです。

_{E 7}の（随伴）複素形式、コンパクト実形式、または任意の代数的バージョンの基本群は巡回群Z /2 Zであり、その外側の自己同型群は自明群です。その基本表現の次元は56 です。

現実的かつ複雑な形態

複素次元133の複素群に対応する、E7型の複素リー代数は一意に存在します。複素次元133の複素随伴リー群E7は、_実次元266の_単純実リー群とみなすことができます。この群は基本群Z /2Zを持ち、最大コンパクト部分群は_E7のコンパクト形式（下記参照）であり、複素共役によって生成される位数2の外部自己同型群を持ちます。

_{E 7}型の複素リー群に加えて、リー代数の 4 つの実形式があり、それに対応して自明な中心を持つ群の 4 つの実形式があります (これらはすべて代数的二重被覆を持ち、そのうち 3 つはさらに非代数的被覆を持ち、さらに実形式を与えます)。これらはすべて実次元 133 であり、次のようになります。

コンパクト形式（通常、他に情報が与えられていない場合はこの形式を指す）は、基本群がZ /2 Zであり、外部自己同型群が自明である。
分割形式EV（またはE ₇₍₇₎）は、最大コンパクト部分群SU(8)/{±1}、位数4の基本群巡回群、位数2の外部自己同型群を持つ。
EVI（またはE _7(-5)）は、最大コンパクト部分群SU(2)·SO(12)/(中心)、位数4の非巡回基本群、および自明な外部自己同型群を持つ。
EVII (または E _7(-25) ) は、最大コンパクト部分群 SO(2)·E ₆ /(中心)、無限巡回基本群、および位数 2 の外部自己同型群を持つ。

単純リー代数の実形式の完全なリストについては、単純リー群のリストを参照してください。

_{E 7}のコンパクト実形式は、 64 次元の例外的なコンパクトリーマン対称空間EVI (カルタンの分類)の等長変換群です。これは、四元数と八元数のテンソル積である代数を用いて構築できるため、非公式には「四元数八元数射影平面」として知られており、通常の射影平面の公理には従わないものの、ローゼンフェルド射影平面としても知られています。これは、ハンス・フロイデンタールとジャック・ティッツによる魔法陣として知られる構成を用いて体系的に見ることができます。

複素形式、または分割実形式、または EVII の代数的二重被覆は、56 次元ベクトル空間上で定義された特殊なタイプの三重系の Freudenthal 三重系の自己同型群として記述できます。 ^{[ 1 ]}

ティッツ・ケーヒャー構成は、アルバート代数、27次元例外ジョルダン代数から_E7リー代数の形式を生成する。

E _{7 を}代数群として

リー代数のシュヴァレー基底を用いることで、E _{7 を}整数上の線形代数群として定義することができ、したがって任意の可換環、特に任意の体上の線形代数群として定義することができます。これにより、E ₇のいわゆる分裂（「ねじれていない」とも呼ばれる）随伴形式が定義されます。代数的に閉じた体上では、この形式とその二重被覆が唯一の形式ですが、他の体上では、E _{7の他の多くの形式、つまり「ねじれ」が存在することが多く、これらは}ガロアコホモロジーの一般的な枠組み（完全体k上）において、集合H ¹ ( k , Aut(E _{7 )) によって分類されます。E}₇のディンキン図（下記参照）には自己同型がないため、この集合はH ¹ ( k , E _{7, ad} ) と一致します。^{[ 2 ]}

実数体上では、E _{7のこれらの代数的にねじれた形式の単位元の実成分は、}上述の 3 つの実リー群と一致しますが、基本群に関して微妙な違いがあります。E ₇のすべての随伴形式は、代数幾何学の意味で基本群Z /2 Zを持ち、ちょうど 1 つの二重被覆を持ちます。したがって、E ₇のその他の非コンパクトな実リー群形式は代数的ではなく、忠実な有限次元表現を持ちません。

有限体上では、ラング・スタインバーグの定理によりH ¹ ( k , E ₇ ) = 0となり、E ₇にはねじれ形がないことを意味します。以下を参照してください。

代数

ディンキン図

E _7のDynkin 図は次のように表されます。

根系

根は7次元空間に広がっているが、8次元ベクトル空間の7次元部分空間に存在するベクトルとして表現する方が、より対称的で便利である。

ルートは (1,−1,0,0,0,0,0,0) のすべての 8×7 順列とすべての ${\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}}$ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ )の順列

7次元部分空間とは、8つの座標の合計がゼロとなる部分空間のことであることに注意してください。根は126個存在します。

単純な根は

(0,−1,1,0,0,0,0,0)

(0,0,−1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,−1,1,0,0,0)

(0,0,0,0,−1,1,0,0)

(0,0,0,0,0,−1,1,0)

(0,0,0,0,0,0,−1,1)

( 1/2 , 1/2 , 1/2 1/2 , − 1/2 , − 1/2 , − 1/2 1/2 )

これらは、ディンキン図における対応するノードが左から右へ（上に示した図において）並び、側ノードが最後に来るようにリストされています。

別の説明

E ₇ × SU(2)をE ₈の部分群として考える際に役立つ、ルートシステムの別の（7次元の）記述は次のとおりです。

全て $4\times {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}$ (±1,±1,0,0,0,0,0) の順列で最後のエントリにゼロを保持し、+ ⁠ 1 / 2 ⁠の偶数個の以下の根をすべて含む

\left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over {\sqrt {2}}}\right)

そして次の2つの根

\left(0,0,0,0,0,0,\pm {\sqrt {2}}\right).

したがって、生成子は、66 次元so (12) 部分代数と、反対のカイラリティを持つスピン(12) の 2 つの自己共役ワイルスピノル、それらのカイラリティ生成子、および他の 2 つのカイラリティ生成子として変換される 64 個の生成子から構成される。 $\pm {\sqrt {2}}$ 。

下記のE ₇カルタン行列と、以下のディンキン図のノード順序が与えられた場合：

単純根の選択肢の一つは、以下の行列の行によって与えられる。

{\begin{bmatrix}1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&0&0&0&1&-1&0\\\end{bmatrix}}.

E ₇ルートポセットのハッセ図（追加された単純ルート位置を示すエッジラベル付き）

ワイルグループ

E ₇のワイル群の位数は 2903040 です。これは位数 2 の巡回群と位数 1451520 の唯一の単純群(PSp ₆ (2) または PSΩ ₇ (2)と記述できます)の直積です。 ^[³^]

カルタン行列

{\begin{bmatrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&-1&0&0&2\end{bmatrix}}.

重要な部分代数と表現

E _{7 は}SU(8) 部分代数を持っています。これは、ルートシステムの 8 次元記述において、最初のルート群が SU(8) のルートと同一であることに注目すれば明らかです ( E _7と同じカルタン部分代数を持つ)。

133次元の随伴表現に加えて、E ₈随伴表現には56次元の「ベクトル」表現も存在する。

実数および複素数のリー代数とリー群の有限次元表現の指標はすべてワイル指標公式によって与えられる。最小既約表現の次元は（OEISのシーケンスA121736）である。

1、56、133、912、1463、1539、6480、7371、8645、24320、27664、40755、51072、86184、150822、152152、238602、253935、293930、320112、362880、365750、573440、617253、861840、885248、915705、980343、2273920、2282280、2785552、3424256、3635840...

上記の数列で下線が引かれている項は、E _{7の随伴形式が持つ既約表現の次元（同等に、重みが E}₇のルート格子に属するもの）であり、数列全体は、E ₇の単連結形式の既約表現の次元を示しています。次元 1903725824、16349520330 などの非同型既約表現が存在します。

基本表現は、次元が 133、8645、365750、27664、1539、56、912 のものである（上記のカルタン行列で選択された順序で、ディンキン図の 7 つのノードに対応している。つまり、ノードは 6 つのノードのチェーンで最初に読み取られ、最後のノードは 3 番目のノードに接続されている）。

右側には、次元133までのE7の最大部分群の埋め込みが示されて_いる。

E ₇多項式不変量

E ₇は、56 個の非可換変数に関する次の多項式のペアの自己同型群です。変数を 28 個のグループ ( p , P ) と ( q , Q ) に分けます。ここで、 pとqは実変数、PとQは 3×3八元エルミート行列です。すると、最初の不変量は Sp(56, R )のシンプレクティック不変量になります。

C_{1}=pq-qp+Tr[PQ]-Tr[QP]

2番目に複雑な不変量は、対称な4次多項式です。

C_{2}=(pq+Tr[P\circ Q])^{2}+pTr[Q\circ {\tilde {Q}}]+qTr[P\circ {\tilde {P}}]+Tr[{\tilde {P}}\circ {\tilde {Q}}]

どこ ${\チルダ {P}}\equiv \det(P)P^{-1}$ 二項円演算子は次のように定義される。 $A\circ B=(AB+BA)/2$ 。

カルタンによって構築された別の4次多項式不変量は、それぞれ28個の成分を持つ2つの反対称8×8行列を使用する。

C_{2}=Tr[(XY)^{2}]-{\dfrac {1}{4}}Tr[XY]^{2}+{\frac {1}{96}}\epsilon _{ijklmnop}\left(X^{ij}X^{kl}X^{mn}X^{op}+Y^{ij}Y^{kl}Y^{mn}Y^{op}\right)

_{E 7}型のシュヴァレー群

有限体上のq個の要素を持つ(分割) 代数群 E ₇ (上記参照)の点は、随伴 (中心なし) 形式または単連結形式 (その代数的普遍被覆) のいずれであっても、有限シュヴァレー群を与える。これは E ₇ ( q )と表記される群と密接に関連しているが、この表記には曖昧さがあり、いくつかの意味を持つ可能性がある。

_{E 7}の単連結形式のF _q上の点からなる有限群(分かりやすくするために、これは $E$ $7,sc$ $($ $q$ $)$ と書くことができ、 F _q上のE ₇型の「普遍的」シュヴァレー群として知られています)。
_{（まれに）E 7}の随伴形式のF _q上の点からなる有限群（分かりやすくするために、これは $E$ $7,ad$ $($ $q$ $)$ と書くことができ、 F _q上のタイプ E ₇の「随伴」シュヴァレー群として知られています）、または
前者から後者への自然な写像の像である有限群：これは、有限群を扱うテキストで最も一般的に使用されるように、以下では $E 7 (q)と表記されます。$

有限群の観点から見ると、SL( n , q )、PGL( n , q )、PSL( n , q ) の関係と非常によく似たこれら 3 つの群の関係は、次のように要約できます。E $7 (q) は$ 任意のqに対して単純であり、 $E 7,sc (q)$ はそのシュール被覆であり、 $E 7,ad (q)$ はその自己同型群に属します。さらに、qが 2 のべき乗の場合、3 つすべてが一致し、それ以外の場合 ( qが奇数の場合)、 $E 7 (q)$ のシュール乗数は2 であり、 $E 7 (q)は$ $E 7,ad (q)$ において指数 2 となります。これが、 $E 7,sc (q)$ と $E 7,ad (q)が$ $2\cdotE 7 (q)$ と $E 7 (q)\cdot2$ と書かれることが多い理由です。代数群の観点からは、E ₇ ( q ) が有限単純群を指すことはあまり一般的ではありません。なぜなら、 $E$ $7,sc$ $($ $q$ $)$ や $E$ $7,ad$ $($ $q$ $)$ とは異なり、有限単純群はF _q上の代数群の点の集合を自然に表すものではないからです。

前述のように、E ₇ ( q ) は任意のqに対して単純であり、^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}有限単純群の分類で扱われる無限族の 1 つを構成します。その要素数は次の式で与えられます( OEISのシーケンスA008870 ) :

{\frac {1}{\mathrm {gcd} (2,q-1)}}q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)

$E 7,sc (q)$ または $E 7,ad (q)$ (どちらも等しい)の位数は、除数 gcd(2, q −1) ( OEISのシーケンスA008869 )を取り除くことによって得られます。E ₇ ( q )のシュール乗数はgcd(2, q −1) であり、その外側の自己同型群は、対角自己同型群 $Z$ $/gcd(2,$ $q$ $-1)$ $Z$ $( E$ $7,ad$ $($ $q$ $)$ の作用によって与えられる) と体自己同型群 (つまり、q = p ^f (pが素数の場合) の位数fの巡回群) の積です。

物理学における重要性

4次元のN =8超重力（ 11次元超重力からの次元削減）は、E7ボソン大域対称性とSU(8)ボソン局所対称性を持つ_。フェルミオンはSU(8)の表現にあり、ゲージ場は_E7の表現にあり、スカラーは両方の表現にある（重力子は両方に関して一重項である）。物理状態は剰余_類E7 /SU(8)の表現にある。

弦理論において、E _{7 は}ヘテロティック弦の（不安定かつ非超対称な）バージョンのゲージ群の一部として現れる。また、例えば 4 次元曲面K3上のヘテロティック弦理論の 6 次元コンパクト化における、破れていないゲージ群E ₈ × E ₇にも現れることがある。

注記

↑ Springerを参照。
↑プラトノフ、ウラジーミル; ラピンチュク、アンドレイ (1994) [1991]、『代数群と数論』、純粋応用数学、第 139巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-558180-6MR 1278263 (オリジナル版: Платонов, Владимир П.; Рапинчук, Андрей С. (1991). Алгебраические группы и теория чисел . Наука. ISBN 5-02-014191-7。）、§2.2.4
↑ Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985). Atlas of Finite Groups : Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups . Oxford University Press. p. 46. ISBN 0-19-853199-0。
↑カーター、ロジャー・W. (1989).単純リー群. ワイリー・クラシックス・ライブラリー. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-50683-4。
↑ウィルソン、ロバート A. (2009).有限単純群.大学院数学テキスト. 第251巻. Springer-Verlag . ISBN 978-1-84800-987-5。

参考文献

アダムス、J.フランク（1996）『例外的なリー群に関する講義』、シカゴ数学講義シリーズ、シカゴ大学出版局、ISBN 978-0-226-00526-3MR 1428422
John Baez、「八元数」、第 4.5 節: E ₇、Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002)、145-205。オンライン HTML 版はhttp://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node18.htmlで閲覧可能。
E. Cremmer および B. Julia、「N = 8超重力理論。1. ラグランジアン」、Phys.Lett.B80:48、1978 年。オンラインのスキャン版はhttp://ac.els-cdn.com/0370269378903039/1-s2.0-0370269378903039-main.pdf?_tid=79273f80-539d-11e4-a133-00000aab0f6c&acdnat=1413289833_5f3539a6365149b108ddcec889200964にあります。
Springer, TA (2006). "Some groups of type E ₇ ". Nagoya Mathematical Journal . 182 : 259– 284. doi : 10.1017/S0027763000026891 .

[1] Springerを参照。

[2] プラトノフ、ウラジーミル; ラピンチュク、アンドレイ (1994) [1991]、『代数群と数論』、純粋応用数学、第 139巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-558180-6MR 1278263 (オリジナル版: Платонов, Владимир П.; Рапинчук, Андрей С. (1991). Алгебраические группы и теория чисел . Наука. ISBN 5-02-014191-7。）、§2.2.4

[3] Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985). Atlas of Finite Groups : Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups . Oxford University Press. p. 46. ISBN 0-19-853199-0。

[4] カーター、ロジャー・W. (1989).単純リー群. ワイリー・クラシックス・ライブラリー. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-50683-4。

[5] ウィルソン、ロバート A. (2009).有限単純群.大学院数学テキスト. 第251巻. Springer-Verlag . ISBN 978-1-84800-987-5。

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E 7（数学）

現実的かつ複雑な形態

E _{7 を}代数群として