導出（微分代数）

数学において、導関数とは、代数上の関数であり、導関数演算子の特定の特性を一般化したものである。具体的には、代数が与えられたとき、${\displaystyle A}$リングまたはフィールドの上${\displaystyle K}$、${\displaystyle K}$-派生は${\displaystyle K}$-線形マップ${\displaystyle D:A\to A}$これはライプニッツの法則を満たす：

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

より一般的に言えば、${\displaystyle M}$は${\displaystyle A}$-双加群、${\displaystyle K}$-線形マップ${\displaystyle D:A\to M}$ライプニッツの法則を満たすものは導出とも呼ばれる。${\displaystyle K}$-派生${\displaystyle A}$自身へのは、${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A)}$コレクション${\displaystyle K}$-派生${\displaystyle A}$に${\displaystyle A}$-モジュール${\displaystyle M}$は、${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A,M)}$。

微分は、数学のさまざまな分野で、さまざまな文脈で発生します。変数に関する偏微分は、${\displaystyle \mathbb {R} }$実数値微分可能関数の代数に関する導出$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ベクトル場に関するリー微分は${\displaystyle \mathbb {R} }$微分可能多様体上の微分可能関数の代数上の微分。より一般的には、多様体のテンソル代数上の微分である。したがって、リー代数の随伴表現はその代数上の微分である。ピンシェル微分は抽象代数における微分の例である。代数が${\displaystyle A}$が非可換である場合、代数の要素に関する交換子は${\displaystyle A}$線形自己準同型を定義する${\displaystyle A}$それ自体への導出であり、${\displaystyle K}$つまり、

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N]\,,}$

どこ${\displaystyle [\cdot ,N]}$は、${\displaystyle N}$代数${\displaystyle A}$優れた派生形を備えている${\displaystyle d}$微分代数を形成し、それ自体が微分ガロア理論などの分野における重要な研究対象である。

もし${\displaystyle A}$は${\displaystyle K}$-代数、${\displaystyle K}$指輪、そしてD：${\displaystyle A}$→${\displaystyle A}$は${\displaystyle K}$-派生、それから

• もし${\displaystyle A}$ユニット1を持つ場合、${\displaystyle D(1)=D(1^{2})=2D(1)}$、 となることによって${\displaystyle D(1)=0}$こうして${\displaystyle K}$-線形性、${\displaystyle D(k)=0}$すべての人々のために${\displaystyle k\in K}$。
• もし${\displaystyle A}$可換であれば、${\displaystyle D(x^{2})=xD(x)+D(x)x=2xD(x)}$、 そして${\displaystyle D(x^{n})=nx^{n-1}D(x)}$ライプニッツの法則による。
• より一般的には、${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in A}$帰納法 により、

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

それは${\displaystyle \textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$すべての場合${\displaystyle i}$、${\displaystyle D(x_{i})}$通勤する${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$。

• のために${\displaystyle n>1}$、${\displaystyle D^{n}}$これは導出ではなく、より高次のライプニッツの法則を満たしている。

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{nk}(u)\cdot D^{k}(v).}$

さらに、もし${\displaystyle M}$は${\displaystyle A}$-bimodule、書き込み

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

セットの場合${\displaystyle K}$-派生語${\displaystyle A}$に${\displaystyle M}$。

• ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A,M)}$モジュールは​${\displaystyle K}$。
• ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A)}$は、交換子によって定義されるリー括弧を持つリー代数です。

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

2つの導関数の交換子が再び導関数になることは容易に検証できるからである。

• があります${\displaystyle A}$-モジュール$\displaystyle \Omega _{A/K}}$（ケーラー差動装置と呼ばれる）${\displaystyle K}$-導出$d:A→ΩA/K$それによって派生する${\displaystyle D:A\to M}$要因。つまり、任意の導出に対して${\displaystyle D}$「${\displaystyle A}$-モジュールマップ${\displaystyle \varphi }$と

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

通信${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$は同型写像である${\displaystyle A}$-モジュール:

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• もし${\displaystyle k\subset K}$は部分環である、${\displaystyle A}$継承する${\displaystyle k}$代数構造なので、包含関係があります

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

なぜなら、${\displaystyle K}$-派生はなおさら${\displaystyle k}$-導出。

段階的な代数${\displaystyle A}$そして均質な線形マップ${\displaystyle D}$等級${\displaystyle |D|}$の上${\displaystyle A}$、${\displaystyle D}$は同次微分である

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

すべての均質要素について${\displaystyle A}$そしてすべての要素${\displaystyle b}$の${\displaystyle A}$交換子係数の場合${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$段階的導関数は、同じ次数を持つ同次導関数の和です。${\displaystyle \varepsilon }$。

もし${\displaystyle \varepsilon =1}$この定義は通常の場合に帰着します。${\displaystyle \varepsilon =-1}$しかし、その後

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a||D|}aD(b)}}$

奇数の場合${\displaystyle |D|}$、 そして${\displaystyle D}$これは反導出と呼ばれます。

反微分の例としては、微分形式に作用する外微分と内積が挙げられる。

超代数の次数付き導出（すなわち、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-次数付き代数）はしばしば超導出と呼ばれます。

Hasse-Schmidt 導出は次のとおりです。${\displaystyle K}$-代数準同型写像

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

形式的なべき級数を送る地図を用いてさらに構成する${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$係数へ${\displaystyle a_{1}}$導出を示す。

• 微分幾何学では、導関数は接線ベクトルである。
• ケーラー差動装置
• ハッセ誘導体
• p-導出
• ウィルティンガー派生商品
• 指数マップの導関数

• ブルバキ、ニコラ（1989）、『代数学I』、数学の基礎、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-64243-9。
• アイゼンバッド、デイビッド（1999）、『代数幾何学への展望を伴う可換代数』（第3 版）、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94269-8。
• 松村英之 (1970)、可換代数、数学講義ノートシリーズ、WA Benjamin、ISBN 978-0-8053-7025-6。
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry , Springer-Verlag。