二次元共形場理論

2 次元共形場理論 (CFT) は、局所共形写像が正則関数であるリーマン面上で定義されます。CFT は特定のリーマン面上にのみ存在する可能性がありますが、球以外の任意の面上に存在するということは、すべての面上に存在することを意味します。^{[ 1 ] [ 2 ]} CFT が与えられた場合、それが存在する 2 つのリーマン面を貼り合わせて、貼り合わせた面上の CFT を得ることは実際に可能です。^{[ 1 ] [ 3 ]} 一方、球上にのみ存在する CFT もあります。特に断りのない限り、この記事では球上の CFT を考察します。

局所的な複素座標が与えられた場合${\displaystyle z}$無限小等角写像の実ベクトル空間の基底は次のようになる。$\displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$、 と${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$。 （例えば、${\displaystyle \ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}}$そして${\displaystyle i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})}$翻訳を生成する。）${\displaystyle {\bar {z}}}$は、​${\displaystyle z}$すなわち、無限小等角写像の空間を複素化すると、基底を持つ複素ベクトル空間が得られる。${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$。

微分演算子は、自然な交換子を持つ$\displaystyle \ell _{n}}$ウィット代数を生成する。残念ながら、ウィット代数だけでは、各状態のエネルギーが徐々に低くなる無限に多くの負のエネルギー状態を持つ粒子状態の空間が常に生成される。物理理論が、展開する作用の定常位相近似を持つという意味で妥当な予測を行うためには、真空と呼ばれる最低エネルギー状態が存在しなければならない。真空のエネルギーは、観測可能なダイナミクスを変えることなく位相を全体的にシフトするためにハミルトニアンに中心スカラー定数を追加できるため、完全に任意であり、したがって、真空エネルギーは下限が定められている限り負の値をとることができる。この要件は、たとえば、ディラック方程式の負のエネルギー解の予測に対処するためにディラック海解釈を促したものであり、まさにそれがエネルギーを無限に下げることができる生成演算子の代数を生成するからである。

この状況を改善するために、ウィット代数は中心的に拡張され、いわゆる正エネルギー表現を含む、より多様なヒルベルト空間モジュールを選択できるようになり、演算子間のリー括弧関係はほぼすべてそのまま維持されます。この新しい代数はヴィラソロ代数と呼ばれ、その生成元は次のようになります。${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$加えて中央発電機。中央発電機は定数値を取る。${\displaystyle c}$中心電荷と呼ばれる値、${\displaystyle c}$正のエネルギー表現が知られているもの（または${\displaystyle c\geq 1}$または${\displaystyle c=1-{\frac {6}{\left(m+2\right)\left(m+3\right)}}}$のために${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$)

CFTの対称性代数は、ヴィラソロ代数の2つの可換コピーの積である。左移動代数または正則代数、生成元は${\displaystyle L_{n}}$、および生成元を持つ右移動代数または反正則代数${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$^{[ 4 ]} これらの2つのコピーはカイラル代数としても知られています。

ビラソロ代数の普遍包絡代数では、互いに可換な電荷の無限集合を構成することが可能です。最初の電荷は${\displaystyle L_{0}-{\frac {c}{24}}}$2 番目の電荷はヴィラソロ生成器で 2 次、3 番目の電荷は 3 次、といった具合です。これは、任意の 2 次元共形場理論が量子可積分系でもあることを示しています。^{[ 5 ]}

CFTの状態空間（スペクトルとも呼ばれる）は、2つのビラソロ代数の積の表現である。

状態が固有ベクトルである場合${\displaystyle L_{0}}$そして${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$固有値を用いて${\displaystyle \Delta }$そして${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$、

• ${\displaystyle \Delta }$は左共形次元であり、
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$は正しい共形次元です。
• ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$は全共形次元またはエネルギーであり、
• ${\displaystyle \Delta -{\bar {\Delta }}}$は共形スピンです。

CFTは、その状態空間が2つのビラソロ代数の積の有限個の既約表現に分解される場合、有理CFTと呼ばれる。すべてのリーマン面上で定義された有理CFTでは、中心電荷と共形次元は有理数である。^{[ 6 ]}

CFT は、その状態空間が次のタイプの表現の直和である場合に対角であると呼ばれる。${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$、 どこ${\displaystyle R}$は左ビラソロ代数の分解不可能な表現であり、${\displaystyle {\bar {R}}}$これは右ビラソロ代数の同じ表現である。

CFTは、状態空間が正定値エルミート形式を持ち、${\displaystyle L_{0}}$そして${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$自己共役であり、${\displaystyle L_{0}^{\ダガー }=L_{0}}$そして${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\ダガー }={\bar {L}}_{0}}$これは特に次のことを意味する。${\displaystyle L_{n}^{\ダガー }=L_{-n}}$そして、中心電荷は実数である。状態空間はヒルベルト空間となる。CFTが確率的解釈を持つ適切な量子システムであるためにはユニタリ性が必要であるが、中心電荷の許容されるほとんどの値に対して、最小モデルやリウヴィル理論など、多くの興味深いCFTは非ユニタリである。

状態 場対応は線形写像である${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$状態の空間から場の空間へ移行する。場の空間は対称性代数の作用と可換である。

特に、ビラソロ代数の最小ウェイト表現のプライマリー状態の像はプライマリーフィールドである^{[ 7 ]。}${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$、したがって

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

子孫フィールドは、生成モードを操作することによってプライマリフィールドから取得されます。${\displaystyle L_{n<0}}$縮退場は縮退表現のプライマリ状態に対応します。例えば、縮退場${\displaystyle V_{1,1}(z)}$従う${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$対応する縮退表現にヌルベクトルが存在するため。

1${\displaystyle N}$-点相関関数は、${\displaystyle N}$フィールドは次のように表記されます。${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$と${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$共形場理論の経路積分定式化では、相関関数は関数積分として定義されます。共形ブートストラップアプローチでは、相関関数は公理によって定義されます。特に、演算子積展開(OPE)が存在すると仮定されます。^{[ 7 ]}

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

どこ${\displaystyle \{v_{i}\}}$は状態空間の基底であり、数値は${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$これらはOPE係数と呼ばれます。さらに、相関関数は体上の置換に対して不変であると仮定されます。言い換えれば、OPEは結合法則と可換法則を満たすと仮定されます。（OPEの可換性）${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$これは、OPE係数が不変であることを意味するものではない。${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$分野を拡大するため${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$（その対称性を破る。）

OPEの可換性は、プライマリーフィールドが整数の共形スピンを持つことを意味する。${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$共形スピンがゼロのプライマリー場は対角場と呼ばれる。半整数の共形スピン を持つフェルミオン場を含むフェルミオン共形場理論も存在する。${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$反交換関係にある。^{[ 8 ]}より一般的な有理スピンを持つ場を含むパラフェルミオンCFT も存在する。${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$パラフェルミオンは可換ではないだけでなく、その相関関数も多価である。

トーラス分割関数は、スペクトルのみに依存する特定の相関関数である。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$、OPE係数ではなく。${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$モジュラス付き$\displaystyle \tau }$分割関数は

${\displaystyle Z(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}}$

どこ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$トーラスの分割関数は、対称性代数の表現として考えられるスペクトルの特性と一致する。

場の依存性${\displaystyle V(z)}$その位置は、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

したがって、OPEは

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(yz)^{n+2}}},}$

局所的に正則な体を定義する${\displaystyle T(y)}$それは依存しない${\displaystyle z.}$この場は、（エネルギー・運動量テンソルの）成分と同一視される。^{[ 4 ]}特に、エネルギー・運動量テンソルとプライマリー場とのOPEは次のようになる。

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(yz)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{yz}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

エネルギー・運動量テンソルとそれ自身との間のOPEは

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(yz)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(yz)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{yz}}+O(1),}$

どこ${\displaystyle c}$は中心電荷である。（このOPEは、ビラソロ代数の交換関係に相当する。）

共形ワード恒等式は、共形対称性の結果として相関関数が従う線形方程式です。^{[ 4 ]}これらは、エネルギー運動量テンソルの挿入を含む相関関数を研究することによって導出できます。その解は共形ブロックです。

例えば、球面上の共形ワルド恒等式を考えてみましょう。${\displaystyle z}$球面上のグローバルな複素座標として、${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$エネルギー・運動量テンソルの正則性${\displaystyle z=\infty }$と同等

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

さらに挿入すると${\displaystyle T(z)}$で${\displaystyle N}$主場の点関数は

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

最後の2つの式から、局所的なウォード恒等式を導き出すことができ、${\displaystyle N}$子孫体の -点関数${\displaystyle N}$一次場の点関数。さらに、任意のに対して3つの微分方程式を導出することが可能です。${\displaystyle N}$主場の点関数、大域共形ワルド恒等式と呼ばれるもの：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

これらの恒等式は、2点関数と3点関数がどのように依存するかを決定します。${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

ここで、未定の比例係数は、${\displaystyle {\bar {z}}.}$

縮退場を含む相関関数は、Alexander Belavin、Alexander Polyakov、Alexander ZamolodchikovにちなんでBelavin–Polyakov–Zamolodchikov 方程式と呼ばれる線形偏微分方程式を満たす。^{[ 7 ]}この方程式の次数は、対応する縮退表現における零ベクトルのレベルである。

簡単な例として、1次のBPZ方程式が挙げられる。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

これは以下から導かれる

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

最初の非自明な例は、縮退場に関するものである。${\displaystyle V_{2,1}}$レベル2で零ベクトルが消滅し、

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

どこ${\displaystyle b}$中心電荷と関係がある

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

それから${\displaystyle N}$-点関数${\displaystyle V_{2,1}}$そして${\displaystyle N-1}$その他の主要分野は以下に従います。

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

次数 BPZ 方程式${\displaystyle rs}$縮退場を含む相関関数の場合${\displaystyle V_{r,s}}$零ベクトルの消失と局所的なウォード恒等式から、これは導き出せる。大域的なウォード恒等式のおかげで、4点関数は4つの変数ではなく1つの変数で表すことができ、4点関数のBPZ方程式は常微分方程式に還元できる。

縮退場を含むOPEでは、ヌルベクトルの消失（および共形対称性）により、どのプライマリ場が現れるかが制限される。結果として生じる制約は融合規則と呼ばれる。^{[ 4 ]}運動量を用いると、${\displaystyle \alpha }$そのため

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

共形次元の代わりに${\displaystyle \Delta }$プライマリフィールドのパラメータ化のための融合ルールは次のとおりです。

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

特に

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

あるいは、融合規則は、与えられた中心電荷におけるビラソロ代数の表現の結合的な融合積という観点から代数的に定義される。融合積は表現のテンソル積とは異なる。（テンソル積では、中心電荷は加算される。）特定の有限の場合、これは融合圏の構造につながる。

共形場理論は、2 つの分解不可能な表現の融合積が有限個の分解不可能な表現の和である場合、準有理的である。 ^{[ 9 ]}例えば、一般化された最小モデルは、有理的ではなくても準有理的である。

させて${\displaystyle V_{i}}$左および右の主場であり、左および右の共形次元を持つ。${\displaystyle \Delta _{i}}$そして${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$左および右グローバルワード恒等式によれば、このような体の3点関数は次のタイプである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

どこで${\displaystyle z_{i}}$-独立した数${\displaystyle C_{123}}$は3点構造定数と呼ばれる。3点関数が一価であるためには、主場の左および右の共形次元が以下を満たさなければならない。

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

この条件はボソンによって満たされます（${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$）とフェルミオン（${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$) フィールド。ただし、パラフェルミオンフィールド (${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$そのため、相関関数はリーマン球面上で一価ではない。

3点構造定数はOPEにも現れる。

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

ドットで示される子孫場の寄与は、共形対称性によって完全に決定される。^{[ 4 ]}

相関関数は、共形ブロックの線形結合として表すことができる。共形ブロックとは、共形対称性によって決定され、対称代数の表現によってラベル付けされる関数である。線形結合の係数は構造定数の積である。^{[ 7 ]}

2次元共形場理論（CFT）では、対称性代数は2つのビラソロ代数に分解され、プライマリー場を含む共形ブロックは正則な分解を持ちます。すなわち、左向きビラソロ代数によって決定される局所的に正則な因子と、右向きビラソロ代数によって決定される局所的に反正則な因子の積です。これらの因子自体が共形ブロックと呼ばれます。

例えば、最初の２つのフィールドのOPEを主フィールドの４点関数で使用すると、

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$はs チャネル 4 点共形ブロックです。4 点共形ブロックは複雑な関数ですが、Alexei Zamolodchikovの漸化式を用いて効率的に計算できます。4 つのフィールドのうちの 1 つが縮退している場合、対応する共形ブロックは BPZ 方程式に従います。特に、4 つのフィールドのうちの 1 つが縮退している場合、${\displaystyle V_{2,1}}$すると、対応する共形ブロックは超幾何関数を用いて記述できる。

ウィッテン^{[ 10 ]}が最初に説明したように、 2次元CFTの共形ブロックの空間は、位相場理論の一例である2+1次元チャーン・サイモンズ理論の量子ヒルベルト空間と同一視できる。この関連性は、分数量子ホール効果の理論において非常に有益であった。

相関関数を共形ブロックを用いて複数の異なる方法で記述できる場合、得られた式の等式は状態空間と3点構造定数に制約を与える。これらの制約は共形ブートストラップ方程式と呼ばれる。ウォード恒等式は相関関数に対する線形方程式であるが、共形ブートストラップ方程式は3点構造定数に非線形に依存する。

例えば、4点関数${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$OPE の使用に対応する 3 つの非等価な方法で共形ブロックの観点から記述できます。${\displaystyle V_{1}V_{2}}$( Sチャネル)${\displaystyle V_{1}V_{4}}$（tチャネル）または${\displaystyle V_{1}V_{3}}$( uチャネル)。結果として得られる3つの式の等式は、4点関数の交差対称性と呼ばれ、OPEの結合法則に相当します。 ^{[ 7 ]}

例えば、トーラスの分割関数は、トーラスのモジュラスに対するモジュラー群の作用の下で不変であり、等価的に、${\displaystyle Z(\tau )=Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})}$この不変性は状態空間に対する制約です。モジュラー不変トーラス分割関数の研究は、モジュラーブートストラップと呼ばれることもあります。

球面上の CFT の一貫性は、4 点関数の交差対称性と同等である。すべてのリーマン面上の CFT の一貫性には、トーラス 1 点関数のモジュラー不変性も必要である。^{[ 1 ]}したがって、トーラス分割関数のモジュラー不変性は、CFT が存在するための必要条件でも十分条件でもない。しかし、表現の指標が球面 4 点共形ブロックなどの他の種類の共形ブロックよりも単純であるため、有理 CFT では広く研究されている。

最小モデルとは、スペクトルがヴィラソロ代数の有限個の既約表現から構築されるCFTのことである。最小モデルは、中心電荷の特定の値に対してのみ存在する^{[ 4 ]。}

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

ADEには最小モデルの分類がある。 ^{[ 11 ]}特に、中心電荷を持つAシリーズ最小モデル${\displaystyle c=c_{p,q}}$は、スペクトルが以下から構築される対角CFTです。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ビラソロ代数の最も低いウェイトの退化した表現。これらの退化した表現は、カッツ表を形成する整数のペアによってラベル付けされます。

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

例えば、Aシリーズの最小モデルは${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$2次元臨界イジングモデルのスピンおよびエネルギー相関関数について記述する。

いかなる場合でも${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$リウヴィル理論は、共形次元を持つヴェルマモジュールからスペクトルが構築された対角CFTである。

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

リウヴィル理論は、その3点構造定数が明確に分かっているという意味で、解決済みである。リウヴィル理論は、弦理論や2次元量子重力理論に応用されている。

一部のCFTでは、対称性代数はヴィラソロ代数だけではなく、ヴィラソロ代数を含む結合代数（必ずしもリー代数ではない）である。スペクトルはその代数の表現に分解され、対角CFTと有理CFTの概念はその代数に関して定義される。^{[ 4 ]}

2次元では、古典的なシグマモデルは共形不変ですが、量子シグマモデルが共形不変となるのは、対象となる多様体の一部に限られます。そのような対象となる多様体の例としては、トーラスやカラビ・ヤウ多様体などが挙げられます。

対数共形場理論は、ヴィラソロ代数生成器の作用が${\displaystyle L_{0}}$スペクトルは対角化できません。特に、スペクトルは最低重み表現のみから構築することはできません。その結果、相関関数の場の位置への依存性は対数的になる可能性があります。これは、最低重み表現に関連付けられている2点関数および3点関数のべき乗のような依存性とは対照的です。

重要な${\displaystyle Q}$-状態ポッツモデルまたは臨界ランダムクラスターモデルは、臨界イジングモデル、ポッツモデル、およびパーコレーションを一般化および統一する共形場理論です。このモデルにはパラメータがあります。${\displaystyle Q}$これは、ポッツモデルでは整数でなければなりませんが、ランダムクラスターモデルでは任意の複素数値をとることができます。^{[ 12 ]}このパラメータは、中心電荷と次の関係にあります。

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

特別な価値${\displaystyle Q}$含む: ^{[ 13 ]}

既知のトーラス分割関数^{[ 14 ]}は、モデルが離散スペクトルを持つ非有理関数であることを示唆している。