正の実数

数学では、正の実数の集合は、${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$は、ゼロより大きい実数の部分集合です。非負の実数、${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$ゼロも含まれる。$\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$これらのどちらにも曖昧に使用される表記法$\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$または$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$のために${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$そして$\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$または$\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$のために${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$また、広く用いられており、代数学においてゼロ要素の除外をスターで表す慣習と一致しており、ほとんどの数学実務者にとって理解しやすいものであるはずです。^{[ 1 ]}

複素平面では、$\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$は正の実軸（または正の実半軸）に対応し、通常は水平な光線として描かれます。この光線は複素数の極座標形式における基準として使用されます。正の実軸は複素数に対応します。${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$引数付き${\displaystyle \varphi =0.}$

セット$\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$加算、乗算、除算に関して閉じている。実数直線から位相を継承するため、乗法位相群または加法位相半群の構造を持つ。

与えられた正の実数に対して${\displaystyle x,}$シーケンス​${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$その不可欠な力には3つの異なる運命がある:${\displaystyle x\in (0,1),}$限界はゼロです。${\displaystyle x=1,}$シーケンスは一定です。${\displaystyle x>1,}$数列は無限である。

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$そして乗法逆関数は区間を交換します。関数floor、${\displaystyle \operatorname {floor}$ :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,} および超過,${\displaystyle \operatorname {excess}$ :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,} は 要素を記述するために使用されています${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$連分数として${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$これは、超過分を逆数にした後の床関数から得られる整数の列です。有理数の場合${\displaystyle x,}$数列は、正確な分数表現で終了します。${\displaystyle x,}$二次無理数の場合${\displaystyle x,}$その数列は周期的な連分数になる。

順序集合${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$全順序を形成するが、整列集合ではない。二重無限等比数列${\displaystyle 10^{n},}$どこ${\displaystyle n}$は整数であり、完全に に含まれる。${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$そして、アクセスしやすいように区画分けする役割も果たします。$\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$比率尺度を形成し、これは最高レベルの測定です。要素は科学的表記法で次のように表すことができます。${\displaystyle a\times 10^{b},}$どこ${\displaystyle 1\leq a<10}$そして${\displaystyle b}$は二重無限数列の整数であり、10進数と呼ばれます。物理量の研究において、10進数の順序は、比率尺度に内在する順序尺度を参照する正負の順序数を提供します。

古典群の研究では、${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$行列式は、${\displaystyle n\times n}$実数上の行列から実数への変換：$\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$可逆行列に限定すると、一般線形群から非ゼロ実数への写像が得られる。$\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$行列式が正である行列に限定すると、次の写像が得られます。$\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$画像を通常のサブグループによる商グループとして解釈する${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$特殊線形群と呼ばれるもので、正の実数をリー群として表現します。

測定レベルの中でも、比率尺度は最も細かいレベルまで表現できます。分子と分母が等しい場合、除算関数は1の値をとります。その他の比率は、対数（多くの場合、底が10の常用対数）を用いて1と比較されます。比率尺度は、科学技術分野で使用される桁数ごとに区分され、様々な測定単位で表されます。

比率尺度の初期の表現は、エウドクソスによって幾何学的に明確にされた。「それは、正の実数の理論に相当するエウドクソスの比例の一般理論が幾何学的な言語で展開されたものである。」^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$区間である場合、${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$特定のサブセットに対する尺度を決定する${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$これは、対数による実数上の通常のルベーグ測度の引き戻しに対応し、対数スケール上の長さである。実際、これは乗法に関して不変な測度である。${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$によって${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$ルベーグ測度が加法に関して不変であるのと同様である。位相群の文脈では、この測度はハール測度の一例である。

この尺度の有用性は、恒星の等級や騒音レベルをデシベルで表す際に用いられるなど、対数尺度の様々な応用例に見られる。国際規格ISO 80000-3では、無次元量は「レベル」と呼ばれる。

非負の実数は、数学における距離、規範、および尺度を表すイメージとして機能する。

0 を含むセット${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$は半環構造（0 は加法単位元）を持ち、確率半環として知られています。対数を取る（底の選択により対数単位を与える）と、対数半環（0 は に対応）との同型写像が得られます。${\displaystyle -\infty }$）、およびその単位（有限数、ただし を除く）${\displaystyle -\infty }$) は正の実数に対応します。

• 半体– 代数構造 
• 符号（数学）– 正または負である数の性質 

• キスト、ジョセフ。リーツマ、サンフォード (1970)。 「正の実数の加法半群」。数学アンナレン。188 (3): 214–218 .土井: 10.1007/BF01350237。