複素リー群

幾何学において、複素リー群は複素数 上のリー群です。つまり、複素解析多様体であり、正則であるような群でもあります。基本的な例としては、、複素数上の一般線型群があります。連結コンパクト複素リー群は、まさに複素トーラスです(複素リー群 と混同しないでください)。任意の有限群に、複素リー群の構造を与えることができます。複素半単純リー群は、線型代数群です。 ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

複素リー群のリー代数は複素リー代数です。

• 複素数（特に複素リー代数）上の有限次元ベクトル空間は、明らかに複素リー群です。
• g次元の連結コンパクト複素リー群Aは、複素トーラスの形をとります。ここで、L は階数 2g の離散部分群です。実際、そのリー代数はアーベルであることが示され、複素リー群の射影写像となり、A が記述された形であることを示します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$は、代数群の射からは得られない複素リー群の射影準同型の例です。 なので、これは代数的ではない複素リー群の表現の例でもあります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$
• X をコンパクトな複素多様体とする。すると、実数の場合と同様に、 X 上の正則ベクトル場の空間であるリー代数を持つ複素リー群が生まれる。 ^{[説明が必要]}${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$
• K を連結コンパクトリー群とする。すると、 (i)かつ (ii) K がGの最大コンパクト部分群であるような連結複素リー群G が唯一存在する。これはKの複素化と呼ばれる。例えば、はユニタリ群の複素化である。Kがコンパクトケーラー多様体Xに作用している場合、 Kの作用はGの作用に拡張される。^[1]${\displaystyle \operatorname {嘘} (G)=\operatorname {嘘} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

G を複素半単純リー群とする。すると、 G は次のような線型代数群の自然な構造を持つ: ^{[2] を}G上の正則関数fの環とし、がG上の正則関数の環の内部で有限次元ベクトル空間を張るものとする(ここでG は左平行移動によって作用する: )。すると、 は線型代数群であり、複素多様体として見ると元のGとなる。より具体的には、 Gの忠実な表現を選択する。すると、 はにおいてザリスキ閉包である。^{[説明が必要]}${\displaystyle A}$${\displaystyle G\cdot f}$${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle \rho (G)}$${\displaystyle GL(V)}$

• リー・ドンフン（2002）『複素リー群の構造』フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 1-58488-261-1、MR  1887930
• セール、ジャン・ピエール (1993)、ジェブル