並列化可能な多様体

数学において、 n次元の微分可能多様体は、その多様体上に滑らかなベクトル場が存在し 、接ベクトルのあらゆる点において接空間の基底を与える 場合、平行化可能と呼ばれる^[1]。同様に、接バンドルは自明バンドルであり、^[2]関連する線型フレームの主バンドルが上の大域切断を持つ。${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1},\ldots ,V_{n}\}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle M.}$

上のベクトル場のこのような基底の特定の選択は、 の並列化(または絶対並列性)と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

• の例は円です。V 1 を単位接ベクトル場、つまり反時計回りの方向を指すものとすることができます。_次元のトーラスも平行化可能であり、円の直積として表すことで確認できます。たとえば、正方形のグラフ用紙の反対側の辺を貼り合わせてトーラスを作成し、各点における 2 つの接線方向を把握します。より一般的には、すべてのリー群G は平行化可能です。これは、単位元における接空間の基底が、Gの平行移動群のGへの作用によって移動できるためです (すべての平行移動は微分同相写像であるため、これらの平行移動はG内の点の接空間間の線型同型を誘導します)。${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2,}$
• 古典的な問題は、どの球面S n^が平行化可能かを決定することであった。ゼロ次元の場合S ^{0は自明に平行化可能である。S 1}の場合は円であり、これはすでに説明したように平行化可能である。ヘアリーボール定理は、S ²が平行化可能でないことを示す。しかし、S ^{3 は}リー群SU(2)であるため平行化可能である。他の唯一の平行化可能な球面はS ⁷である。これは、1958 年にFriedrich Hirzebruch、Michel Kervaire、およびRaoul BottとJohn Milnorによって独立した研究で証明された。平行化可能な球面は、実数、複素数、四元数、および八元数のノルム除算代数の単位ノルムの要素に正確に対応し、これにより、それぞれに対して平行性を構築することができる。他の球面が平行化可能でないことを証明することはより困難であり、代数的位相幾何学を必要とする。
• 平行化可能な多様体の積は平行化可能である。
• あらゆる向き付け可能な 閉じた 3次元多様体は平行化可能である。^[3]

• 任意の平行化可能な多様体は向き付け可能である。
• フレーム多様体（時にはリグ多様体）という用語は、通常バンドルの与えられた自明化を持つ埋め込み多様体、および接バンドルの与えられた安定自明化を持つ抽象（つまり、埋め込まれていない）多様体に適用されます。
• 関連する概念としてπ多様体の概念がある。^[4]滑らかな多様体は、高次元ユークリッド空間に埋め込まれたときにその法線束が自明である場合にπ多様体と呼ばれる。特に、平行化可能な多様体はすべてπ多様体である。${\displaystyle M}$

• チャート（トポロジー）
• 微分可能多様体
• フレームバンドル
• ケルヴェール不変量
• 正規直交フレームバンドル
• 主要バンドル
• つながり（数学）
• G構造

• ビショップ、リチャード L. ; ゴールドバーグ、サミュエル I. (1968)、多様体上のテンソル解析(First Dover 1980 ed.)、マクミラン社、ISBN 0-486-64039-6
• ミルナー、ジョン W. ;スタシェフ、ジェームズ D. (1974)、特性クラス、プリンストン大学出版局
• ミルナー、ジョン W. (1958)、ホモトピー球面である微分可能多様体(PDF)、謄写版印刷の注釈