コンパクトグループ

任意のコンパクトリー群Gは、単位元が含まれる群の連結成分として定義される単位元G ₀を持ちます。商群G / G ₀は成分群 π ₀ ( G ) であり、 Gはコンパクトであるため有限群でなければなりません。したがって、有限拡大が存在します。

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

一方、連結コンパクトリー群については、次の結果が得られます。^{[ 2 ]}

定理：連結コンパクトリー群はすべて、単連結コンパクトリー群とトーラスの積を有限中心部分群で割った商群である。

したがって、連結コンパクトリー群の分類は、原理的には、単連結コンパクトリー群とその中心に関する情報に帰着させることができる。（中心に関する情報については、以下の基本群と中心に関するセクションを参照のこと。）

最後に、すべてのコンパクトで連結な単連結リー群Kは、それぞれが以下のいずれか 1 つと同型である、有限個のコンパクトで連結な単連結な単純リー群K _{iの積である。}

• コンパクトシンプレクティック群${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• 特別単一グループ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• スピングループ${\displaystyle \operatorname {スピン} (n),\,n\geq 7}$

または、5 つの例外的なグループG ₂、F ₄、E ₆、E ₇、およびE ₈のいずれか。nに関する制約は、nの値が小さい場合に、さまざまなファミリー間で特別な同型性が生じるのを避けるためです。これらの各グループについて、中心は明示的にわかっています。分類は、関連するルートシステム(固定された最大トーラスの場合) を介して行われ、ルートシステムは、そのDynkin 図によって分類されます。

コンパクトで単連結なリー群の分類は、複素半単純リー代数の分類と同じである。実際、Kが単連結なコンパクトリー群であれば、 Kのリー代数の複素化は半単純である。逆に、すべての複素半単純リー代数は、コンパクトで単連結なリー群のリー代数と同型なコンパクト実形式を持つ。

連結コンパクトリー群Kの研究における重要なアイデアは、最大トーラスの概念であり、これはKの部分群Tであり、いくつかのコピーの積と同型である。$\displaystyle S^{1}}$そしてそれは、このタイプのより大きなサブグループには含まれない。基本的な例としては、${\displaystyle K=\オペレーター名 {SU} (n)}$その場合、${\displaystyle T}$対角要素のグループである${\displaystyle K}$基本的な結果としてトーラス定理があり、これは、${\displaystyle K}$極大トーラスに属し、すべての極大トーラスは共役である。

コンパクト群における最大トーラスは、複素半単純リー代数におけるカルタン部分代数と同様の役割を果たす。特に、最大トーラスが${\displaystyle T\subset K}$が選択されると、半単純リー代数の場合と同様に、ルートシステムとワイル群を定義できます。^{[ 3 ]}これらの構造は、連結コンパクト群の分類（上記で説明）と、そのような固定群の表現論（下記で説明）の両方において重要な役割を果たします。

単純連結コンパクト群の分類に現れる単純コンパクト群に関連するルートシステムは次のとおりです。^{[ 4 ]}

• 特別な単一グループ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$根系に対応する${\displaystyle A_{n-1}}$
• 奇数スピングループ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$根系に対応する${\displaystyle B_{n}}$
• コンパクトシンプレクティック群${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$根系に対応する${\displaystyle C_{n}}$
• 偶数スピン群${\displaystyle \operatorname {スピン} (2n)}$根系に対応する${\displaystyle D_{n}}$
• 例外的なコンパクトリー群は、5つの例外的なルートシステムG2 _、 F4 _、 E6 _、 E7 _、またはE8_{に対応する。}

連結コンパクトリー群が単連結であるかどうか、またそうでない場合はその基本群を決定することが重要である。コンパクトリー群の場合、基本群を計算するための基本的なアプローチが2つある。最初のアプローチは古典的なコンパクト群に適用される。${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$、${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$、${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$、 そして${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$そして帰納法によって進行する${\displaystyle n}$2つ目のアプローチはルートシステムを使用し、すべての連結コンパクトリー群に適用されます。

連結コンパクトリー群の中心を知ることも重要です。古典群の中心${\displaystyle G}$簡単に「手計算」でき、ほとんどの場合、単に恒等式の根号で構成されます。${\displaystyle G}$（群 SO(2) は例外で、中心は群全体であり、ほとんどの要素は恒等式の根ではない。）したがって、例えば、中心は${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$単位元にn乗根を掛けたものから成り、位数がの巡回群である。${\displaystyle n}$。

一般に、中心はルート格子と最大トーラスの指数写像の核で表現できる。^{[ 5 ]}一般的な方法では、例えば、例外ルート系に対応する単連結コンパクト群が${\displaystyle G_{2}}$中心は自明である。したがって、コンパクト${\displaystyle G_{2}}$グループは、同時に単連結かつ中心を持たないごく少数の単純コンパクト群の1つです。（他のグループは${\displaystyle F_{4}}$そして${\displaystyle E_{8}}$）

Tは可換であるため、シューアの補題によれば、各既約表現は${\displaystyle \rho }$Tは一次元です。

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

また、Tはコンパクトであるため、${\displaystyle \rho }$実際にマッピングする必要がある${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$。

これらの表現を具体的に説明するために、${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$Tのリー代数を とし、点を と書きます。${\displaystyle h\in T}$として

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

このような座標では、${\displaystyle \rho }$フォーム

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

ある線形関数に対して${\displaystyle \lambda }$の上${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$。

さて、指数マップは${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$は単射ではなく、そのような線形関数すべてが単射であるわけではない。${\displaystyle \lambda }$Tから への明確な写像が生じる${\displaystyle S^{1}}$むしろ、${\displaystyle \Gamma }$指数写像の核を表す。

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

どこ${\displaystyle \operatorname {Id} }$はTの単位元です。（ここでは指数写像を係数でスケーリングします。）${\displaystyle 2\pi }$（他の場所でそのような要因を避けるため。）次に${\displaystyle \lambda }$明確な地図を提供する${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle \lambda }$満たさなければならない

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

どこ${\displaystyle \mathbb {Z} }$は整数の集合である。^{[ 9 ]}線形関数${\displaystyle \lambda }$この条件を満たすものは解析的に整数要素と呼ばれる。この整数性条件は、半単純リー代数の設定における整数要素の概念と関連しているが、同一ではない。 ^{[ 10 ]}

例えば、Tが単にグループであると仮定します。${\displaystyle S^{1}}$複素数の${\displaystyle e^{i\theta }}$絶対値1のリー代数は、純虚数の集合である。${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$そして、（スケーリングされた）指数マップの核は、次の形式の数値の集合である。${\displaystyle in}$どこ${\displaystyle n}$は整数です。線形関数${\displaystyle \lambda }$すべてのそのような数で整数値を取るのは、それが次の形式である場合に限る。${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$ある整数に対して${\displaystyle k}$この場合のTの既約表現は 1 次元で、次の形式になります。

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

私たちは今${\displaystyle \Sigma }$Kの有限次元既約表現を表す(${\displaystyle \mathbb {C} }$) 次に、${\displaystyle \Sigma }$Tへ。この制限は、以下の場合を除き既約ではありません。${\displaystyle \Sigma }$これは一次元です。しかしながら、この制限はTの既約表現の直和として分解されます。（ Tの特定の既約表現は複数回出現する可能性があることに注意してください。）ここで、Tの各既約表現は線形汎関数によって記述されます。${\displaystyle \lambda }$前の項と同様です。${\displaystyle \lambda }$制限の分解で少なくとも1回発生する${\displaystyle \Sigma }$Tに対して、${\displaystyle \lambda }$重量​​${\displaystyle \Sigma }$Kの表現論の戦略は、既約表現をその重みに基づいて分類することである。

ここでは、定理を定式化するために必要な構造について簡単に説明します。詳細については、表現論における重みに関する記事を参照してください。K（与えられた最大トーラスTに対する）のルートシステムの概念が必要です。このルートシステムの構成は、${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$これは、複素半単純リー代数の構成と非常によく似ています。具体的には、重みは、Kの複素化リー代数に対するTの随伴作用の非ゼロ重みです。ルートシステムR は、 Rの要素が張らない可能性があるという点を除いて、ルートシステムの通常のすべての性質を持ちます。${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$[ ^{11 ]}次に基底を選択し^ます${\displaystyle \Delta }$Rの場合、整数要素${\displaystyle \lambda }$優勢な場合${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \alpha \in \Delta }$最後に、ある重量が別の重量よりも高いのは、その差が次の要素の線形結合として表せる場合であると言います。${\displaystyle \Delta }$非負の係数を持つ。

Kの既約有限次元表現は、最も重みの高い定理[ ^{12 ]}によって分類されます。この定理は、半単純リー代数の表現を分類する類似の定理と密接に関連しています。その結果は次のとおりです^。

1. すべての還元不可能な表現は最高の重みを持ち、
2. 最も重みの高い要素は常に支配的で、解析的に不可欠な要素である。
3. 同じ最高ウェイトを持つ 2 つの既約表現は同型であり、
4. 支配的で分析的に不可欠な要素はすべて、還元不可能な表現の最高ウェイトとして現れる。

Kの表現に対する最高重みの定理は、 1 つの注目すべき例外を除いて、半単純リー代数の場合とほぼ同じです。整数要素の概念が異なります。重み${\displaystyle \lambda }$表現の${\displaystyle \Sigma }$は、前の節で説明した意味で解析的に積分です。解析的に積分な要素はすべて、リー代数の意味で積分ですが、その逆は成り立ちません。^{[ 13 ]}（この現象は、一般に、リー代数のすべての表現が解析的に積分であるわけではないことを反映しています。）${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$（群Kの表現から得られる。）一方、K が単連結である場合、群の意味で可能な最大重みの集合は、リー代数の意味で可能な最大重みの集合と同じである。^{[ 14 ]}

もし${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$Kの表現として、${\displaystyle \Pi }$機能である${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$によって与えられた

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$。

この関数はクラス関数であることが容易にわかります。つまり、${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$Kにおいて。したがって、${\displaystyle \mathrm {X} }$Tへの制限によって決定されます。

指標の研究は、コンパクト群の表現論の重要な部分である。ピーター・ワイルの定理の系である重要な結果の一つは、指標がKにおける二乗可積分クラス関数の集合の正規直交基底を形成するということである。もう一つの重要な結果はワイル指標公式であり、これは指標、あるいはむしろ指標をTに制限したものを、表現の最高ウェイトを用いて明示的に表す公式である。

密接に関連する半単純リー代数の表現論では、ワイル指標公式は表現が分類された後に確立される追加の結果である。しかし、コンパクト群の場合のワイルの解析では、ワイル指標公式は実際には分類自体の重要な部分である。具体的には、 Kの表現のワイルの解析では、定理の最も難しい部分、つまりすべての支配的で解析的に整数な要素が実際には何らかの表現の最高ウェイトであることを示す部分は、ヴェルマ加群を使用した通常のリー代数の構成とは全く異なる方法で証明されている。ワイルのアプローチでは、構成はピーター・ワイルの定理とワイル指標公式の解析的証明に基づいている。^{[ 15 ]}最終的に、 Kの既約表現はK上の連続関数の空間内で実現される。

次に、コンパクト群 SU(2) の場合を考えます。表現はしばしばリー代数の観点から考察されますが、ここでは群の観点から考察します。最大トーラスを次の形式の行列の集合とします。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Tの表現に関するセクションで説明した例によれば、解析的に整数となる要素は整数でラベル付けされるため、支配的な解析的に整数となる要素は非負の整数となる。${\displaystyle m}$すると、一般理論によれば、各${\displaystyle m}$SU(2)には、最も重みの高い一意の既約表現が存在する。${\displaystyle m}$。

与えられた表現に対応する表現に関する多くの情報${\displaystyle m}$は文字に符号化されている。さて、ワイルの文字公式によれば、この場合、文字は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

文字は指数関数の和として次のように表すこともできます。

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

（上記の式に有限等比級数の和の公式を適用して簡略化すると、先に述べた式が得られます。）

この最後の式と、表現の重みに関する文字の標準式から、表現の重みは次のようになることがわかります。

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

それぞれ多重度1を持つ。（重みは指数関数の指数に現れる整数であり、多重度は指数関数の係数である。）${\displaystyle m+1}$重みはそれぞれ多重度1であり、表現の次元は${\displaystyle m+1}$こうして、通常リー代数の計算から得られる表現に関する情報の多くを復元することができる。

ここでは、ヘルマン・ワイルの元の議論に従って、最高重み定理の証明の概要を説明します。${\displaystyle K}$連結コンパクトリー群であり、${\displaystyle T}$固定された最大トーラス${\displaystyle K}$我々は定理の最も難しい部分に焦点を当て、すべての支配的で解析的に整数な要素が、何らかの（有限次元の）既約表現の最高ウェイトであることを示す。^{[ 16 ]}

証明に使用するツールは以下のとおりです。

• トーラス定理。
• ワイル積分公式。
• クラス関数に関するピーター・ワイルの定理は、既約表現の指標が、上の二乗可積分クラス関数の空間の正規直交基底を形成することを述べている。${\displaystyle K}$。

これらのツールを手に、証明を進めます。議論の最初の重要なステップは、ワイル指標公式を証明することです。この公式は、もし${\displaystyle \Pi }$は、最も重みのある既約表現である。${\displaystyle \lambda }$すると、そのキャラクター${\displaystyle \mathrm {X} }$の${\displaystyle \Pi }$満たす：

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

すべての人々のために${\displaystyle H}$リー代数において${\displaystyle T}$。 ここ${\displaystyle \rho }$は正の根の合計の半分です。（表記法では「実数重み」の慣例を使用しています。この慣例では明示的な係数が必要です。）${\displaystyle i}$（指数において。）ワイルの指標公式の証明は解析的な性質を持ち、${\displaystyle L^{2}}$指標のノルムは1です。具体的には、分子に余分な項があった場合、ワイル積分公式により指標のノルムは1より大きくなります。

次に、${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$文字式の右辺の関数を表す。たとえ${\displaystyle \lambda }$表現の最高重みであることは知られていない。${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$は、上の明確に定義されたワイル不変関数である。${\displaystyle T}$そのため、クラス関数に拡張されます${\displaystyle K}$すると、ワイル積分公式を用いると、次のようになることが示される。${\displaystyle \lambda }$支配的で解析的に積分可能な要素の集合、関数の範囲${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$正規直交クラス関数族を形成する。ただし、現時点では、そのようなすべてのクラス関数が正規直交クラス関数族を形成するとは限らないことを強調しておく。${\displaystyle \lambda }$これは表現の最高重みである。しかしながら、文字式の右辺の式は明確に定義された関数の集合を与える。${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$そして、これらの関数は正規直交関数である。

さて、結論です。${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$-と${\displaystyle \lambda }$支配的で解析的に積分可能な要素の範囲は、二乗可積分クラス関数の空間で正規直交集合を形成します。しかし、ワイル指標公式により、既約表現の指標は、${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$'s。そして、ピーター・ワイルの定理により、既約表現の指標は、二乗可積分クラス関数の空間の正規直交基底を形成します。もし、${\displaystyle \lambda }$それは表現の最高重みではないので、対応する${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$は表現の特性ではない。したがって、特性は、の集合の真部分集合となる。${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$の。しかし、そうなると不可能な状況になります。正規直交基底（既約表現の指標の集合）が厳密に大きな正規直交集合（の集合）に含まれることになります。${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$'s)。したがって、すべての${\displaystyle \lambda }$実際に表現の中で最も重みのあるものでなければならない。