ウィット代数

数学において、複素 ウィット代数（こくそウィットだいすう）は、エルンスト・ウィットにちなんで名付けられた、リーマン球面上で定義され、2つの固定点を除いて正則である有理型ベクトル場のリー代数である。また、円上の多項式ベクトル場のリー代数の複素化であり、環C [ z , z ⁻¹ ]の微分によるリー代数でもある。

有限体上に定義された関連するリー代数もいくつかあり、それらはウィット代数とも呼ばれます。

複素ウィット代数はエリ・カルタン(1909) によって初めて定義され、有限体上の類似物は 1930 年代にウィットによって研究されました。

ウィット代数の基底は、n が内にある場合のベクトル場 によって与えられます。 ${\displaystyle L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2つの基底ベクトル場のリー括弧は次のように与え られる。

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}.}$

この代数には、2次元共形場理論と弦理論において重要な、ヴィラソロ代数と呼ばれる中心的な拡張があります。

n を1,0,-1 に制限すると、部分代数が得られることに注意してください。複素数体上では、これはローレンツ群のリー代数です。実数上では、代数sl (2,R) = su (1,1)です。逆に、 su (1,1) は、プレゼンテーションで元の代数を再構築するのに十分です。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$

特性p >0の体k上で、ウィット代数は環の微分代数のリー代数として定義される。

k [ z ]/ z ^p

ウィット代数は、−1≤ m ≤ p −2 に対してL _{mで張られます。}

• ヴィラソロ代数
• ハイゼンベルク代数

• エリ・カルタン、連続、無限、単純な変換のグループ。アン。科学。エコールノルム。すする。 26、93-161 (1909)。
• 「ウィット代数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]