有限単純群の一覧

数学において、有限単純群の分類は、すべての有限 単純群が巡回群、交代群、または 16 個のリー型群族のいずれか、あるいは 26 個の散在群のいずれかであると定義されます。

以下のリストには、すべての有限単純群と、その順序、シューア乗数のサイズ、外部自己同型群のサイズ、通常はいくつかの小さな表現、およびすべての重複のリストが示されています。

次の表は、18 の有限単純群の族と 26 の散在単純群の完全なリストであり、それらの順序も示されています。各族の非単純メンバーと、族内または族間で重複しているメンバーがすべてリストされています。(重複を削除する場合、2 つの有限単純群が同じ順序を持たないことに注意すると便利です。ただし、A ₈  =  A ₃ (2) とA ₂ (4) のグループが両方とも順序 20160 を持ち、q が奇数でn > 2 の場合、B _n ( q ) のグループがC _n ( q )と同じ順序を持ちます  。後者のグループのペアのうち最小のグループはB ₃ (3) とC ₃ (3) で、両方とも順序 4585351680 です。)

残念ながら、交代群 A _nとリー型群A _n ( q ) の表記には矛盾があります。著者によっては、 A _nを区別するためにさまざまなフォントを使用しています。特に、この記事では、交代群 A _{n を}ローマンフォントで、リー型群A _n ( q ) をイタリック体で設定することで区別しています。

以下では、nは正の整数、q は素数pの正の累乗ですが、制約が示されています。表記 ( a , b ) は、整数aとbの最大公約数を表します。

シンプルさ: pが素数 の場合、シンプルです。

注文: p

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:位数p  − 1 の巡回群。

その他の名称: Z/ p Z、C _p

備考:これらは完全ではない唯一の単純なグループです。

単純さ: n ≤ 4の場合は解けます。それ以外の場合は単純です。

順序: n > 1 の場合、 n !/2  。

シューア乗数: n  = 5 またはn  > 7の場合は 2 、 n  = 6 または 7の場合は 6。交代群と対称群の被覆群を参照

外部自己同型群:一般に 2. 例外: n  = 1、n  = 2 の場合、それは自明であり、n  = 6の場合、位数は 4 (基本アーベル) です。

その他の名称: Alt _n .

同型性: A ₁と A _{2 は}自明である。A _{3 は}位数 3 の巡回である。A _4はA ₁ (3)と同型である(解ける)。A _5はA ₁ (4) およびA ₁ (5) と同型である。A 6_はA ₁ (9) および導出群B ₂ (2)′ と同型である。A _{8 は}A ₃ (2)と同型である。

備考: n > 1 の場合、 n点の順列の対称群のインデックス 2 の部分群 。

表記: nは正の整数、 q > 1 は素数pのべき乗、 はある基礎となる有限体の位数です。外部自己同型群の位数は d ⋅ f ⋅ gと表記されます。ここでdは「対角自己同型」の群の位数、fは（巡回）「体自己同型」の群の位数（フロベニウス自己同型によって生成）、gは「グラフ自己同型」の群の位数（ディンキン図の自己同型から来る）です。外部自己同型群は、多くの場合、半直積と同型ですが、常に同型であるとは限りません。ただし、これらすべての群は、それぞれ位数d、f、gの巡回です。ただし、型が奇数の場合は、位数の群は、（ の場合にのみ）は3つの要素上の対称群です。表記 ( a , b ) は、整数aとbの最大公約数を表します。 ${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$${\displaystyle D,F,G}$${\displaystyle D_{n}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle G=S_{3}}$

単純さ: n ≥ 1の場合単純です。群 ² B ₂ (2) は解けます。

順序: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1)、ただし q  = 2 ^{2 n +1}。

シューア乗数: n ≠ 1の場合には自明、 ² B ₂の場合には 4 次の基本アーベル数(8)。

外部自己同型群:

1⋅f⋅1 ,​

ここでf  = 2 n + 1です。

他の名前: Suz(2 ^{2 n +1} )、Sz(2 ^{2 n +1} )。

同型: ² B ₂ (2) は位数 20 のフロベニウス群である。

注意:鈴木群は、サイズ (2 ^{2 n +1} ) ² + 1の集合に作用するザッセンハウス群であり、2 ^{2 n +1}個の元 を持つ体上で 4 次元表現を持ちます。これらは、位数が 3 で割り切れない唯一の非巡回単純群です。これらは散在鈴木群とは関係ありません。

単純さ: n ≥ 1に対して単純。 導来群² F _{4 (2)′ は}² F ₄ (2)の指数 2 について単純であり、ベルギーの数学者ジャック・ティッツにちなんでティッツ群と呼ばれる。

順序: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1)、ただし q  = 2 ^{2 n +1}。

シットグループの順序は17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13です。

シューア乗数: n  ≥ 1 およびティッツ群に対しては 自明です。

外部自己同型群:

1⋅f⋅1 ,​

ここで、f  = 2 n  + 1 です。Tits グループの順序は 2 です。

注意:他の単純なリー型群とは異なり、ティッツ群にはBN ペアがありませんが、その自己同型群には BN ペアがあるため、ほとんどの著者はそれをリー型の一種の名誉群と見なしています。

単純さ: n ≥ 1の場合単純。 群² G ₂ (3) は単純ではないが、その導出群² G ₂ (3)′ は指数 3 の単純部分群である。

順序: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1)、ただし q  = 3 ^{2 n +1}

シューア乗数: n  ≥ 1および² G ₂ (3)′ の場合には自明である。

外部自己同型群:

1⋅f⋅1 ,​

ここでf  = 2 n  + 1です。

他の名前: Ree(3 ^{2 n +1} )、R(3 ^{2 n +1} )、E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} )。

同型:導来群^{2G2 (3)′}はA1 ₍ 8) と同型_である。

備考: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) は3 ^{3(2 n +1) + 1 点上の}二重推移的置換表現を持ち、3 ^{2 n +1}個の要素 を持つ体上の 7 次元ベクトル空間に作用します。

順序: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

シューア乗数: 次数 2。

外部自己同型群:位数 2。

備考:これは、100 点の Higman Sims グラフ上のランク 3 の順列群として機能し、 Co ₂および Co ₃に含まれます。

順序: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

シューア乗数: 次数 3。

外部自己同型群:位数 2。

備考: 275 点の McLaughlin グラフ上のランク 3 の順列群として機能し、 Co ₂および Co ₃に含まれます。

順序: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:位数 2。

その他の名称: Held–Higman–McKay グループ、HHM、F ₇、HTH

備考:モンスター群の順序 7 の要素を集中化します。

順序: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

シューア乗数:次数 2。

外部自己同型群:自明。

注意:二重被覆はガウス整数上の 28 次元格子に作用します。

順序: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

シューア乗数: 次数 6。

外部自己同型群:位数 2。

別名: Sz

注意: 6 倍被覆は、アイゼンシュタイン整数上の 12 次元格子に作用します。リー型の鈴木群とは関係ありません。

順序: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

シューア乗数:次数 3。

外部自己同型群:位数 2。

別名: O'Nan–Sims グループ、O'NS、O–S

備考: 三重被覆には、外部自己同型によって交換された 7 つの要素を持つ体上の 2 つの 45 次元表現があります。

順序: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:位数 2。

その他の名称: F ₅、D

備考:モンスター群の順序 5 の要素を集中化します。

順序: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:自明。

別名:ライオンズ・シムズグループ、LyS

備考: 5 つの要素を持つフィールド上で 111 次元の表現を持ちます。

順序: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:自明。

その他の名称: F ₃、E

備考:モンスターの次元数 3 の要素を集中化します。248 次元の表現を持ち、これを 3 を法として簡約すると、E ₈ (3) に含まれます。

注文：

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

シューア乗数:次数 2。

外部自己同型群:自明。

別名: F ₂

備考:二重被覆はモンスター群に含まれます。複素数上の 4371 次元の表現 (非自明な不変積なし) と、可換だが結合性のない積を保存する 2 つの要素を持つ体上の 4370 次元の表現を持ちます。

注文：

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

シューア乗数:些細なこと。

外部自己同型群:自明。

他の名前: F ₁、M ₁、モンスターグループ、フレンドリージャイアント、フィッシャーのモンスター。

備考: 6 個を除く他のすべての散在群を部分商として含みます。モンスター ムーンシャインに関連します。モンスターは、196,883 次元のグリース代数と無限次元モンスター頂点作用素代数の自己同型群であり、モンスターリー代数に自然に作用します。

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ホール (1972) は、100 万未満の位数の非巡回単純群を 56 個挙げています。

• 小グループのリスト

• ロジャー・W・カーター著『Simple Groups of Lie Type』、ISBN 0-471-50683-4 
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; Wilson, RA : 「有限群のアトラス: 単純群の最大部分群と通常特性」オックスフォード、イギリス 1985 年。
• ダニエル・ゴレンスタイン、リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン『有限単純群の分類』（第 1 巻）、AMS、1994 年（第 3 巻）、AMS、1998 年
• ホール、マーシャル・ジュニア（1972）、「100万以下の位数の単純群」、代数ジャーナル、20：98-102、doi：10.1016/0021-8693（72）90090-7、ISSN  0021-8693、MR  0285603
• ウィルソン、ロバート A. (2009)、「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl  1203.20012
• 有限群表現のアトラス:散在群を含む多くの有限単純群の表現とその他のデータが含まれています。
• ^{非アーベル単純群の位数は 10 10}まで、さらに 10 ⁴⁸までで、ランクに制限があります。

• 非アーベル単純群の位数は 10,000,000,000 まで。