包含マップ

数学において、がのサブセットである場合、包含写像はの各要素を の要素として扱うに送る関数である。${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \iota}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle B:}$ $${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

包含マップは包含関数、挿入、^[1]、または標準的注入とも呼ばれることがあります。

包含マップを表すために、上記の関数矢印の代わりに 「フック付き矢印」（U+ 21AA ↪ フック付き右向き矢印）^{[2]が使用されることがあります。}$${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(ただし、著者によっては、このフック矢印を任意の埋め込みに使用する人もいます。)

この部分構造からの類似の注入関数^[3]は、自然注入と呼ばれることもあります。

との間の任意の射 が与えられたとき、領域への包含写像が存在する場合、の制限を形成すること ができる。多くの場合、の範囲として知られる共領域への標準的な包含を構成することもできる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \iota :A\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ\iota }$${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle R\to Y}$${\displaystyle f.}$

包含写像は代数構造の準同型になる傾向があるため、そのような包含写像は埋め込みです。より正確には、いくつかの演算の下で閉じた部分構造が与えられた場合、包含写像はトートロジー的な理由により埋め込みになります。たとえば、ある二項演算で が必要となることは 、単に が部分構造と大きな構造で一貫して計算されることを意味します。単項演算の場合も同様ですが、定数要素を選択するヌル演算も確認する必要があります。ここでのポイントは、閉包とは、そのような定数が部分構造ですでに与えられている必要があることを意味します。 ${\displaystyle \star ,}$$${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$${\displaystyle \star}$

包含写像は代数位相幾何学で見られ、 が強い変形である場合、包含写像を後退させると、すべてのホモトピー群間の同型性が得られます（つまり、ホモトピー同値です）。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$

幾何学における包含写像には、例えば部分多様体の埋め込みなど、さまざまな種類があります。微分形式などの反変オブジェクト（つまり、引き戻し を持つオブジェクト。これらは、古くて無関係な用語では共変と呼ばれます）は、部分多様体 に制限され、反対方向への写像を与えます。もう 1 つの例は、より洗練されたアフィン スキームです。アフィン スキームでは、包含 と は 異なる射になる可能性があり、 は可換環であり、は のイデアルです。 $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$$${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R.}$

• コファイブレーション – 位相空間間の連続マッピングフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 恒等関数 – 数学において、引数として使用された値と常に同じ値を返す関数