群体オブジェクト

数学の一分野である圏論において、群体オブジェクトは、集合よりも豊富な構造に基づいて構築された群体の一般化であると同時に、乗算が部分的にしか定義されていない場合の群オブジェクトの一般化でもあります。

有限ファイバー積を許容するカテゴリCの群オブジェクトは、5つの射を伴うオブジェクトのペアから構成される。 ${\displaystyle R,U}$

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

次の群公理を満たす

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$ここで、2つの投影は、${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$
2. （結合性）${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. （ユニット）${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. （逆）,、. ^[1]${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$

群オブジェクトは、およびの群オブジェクトの特殊なケースです。したがって、位相空間のカテゴリを取ることで位相群を復元したり、多様体のカテゴリを取ることでリー群を復元したりすることができます。 ${\displaystyle R=U}$${\displaystyle s=t}$

集合のカテゴリ内の群体オブジェクトは、まさに通常の意味での群体です。つまり、すべての射が同型であるカテゴリです。実際、そのようなカテゴリCが与えられた場合、U をC内のすべてのオブジェクトのセット、R をC内のすべての矢印のセット、 、、およびによって提供される 5 つの射とします。「群体」という用語が、ある特定のカテゴリ内の群体オブジェクトを自然に指すことができる場合は、群体セットという用語は、集合のカテゴリ内の群体オブジェクトを指すために使用されます。 ${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$${\displaystyle e(x)=1_{x}}$${\displaystyle i(f)=f^{-1}}$

しかし、リー群の前の例とは異なり、多様体のカテゴリ内の群オブジェクトは、写像 s と t がさらなる要件を満たさない（必ずしも沈み込みではない） ため、必ずしもリー群であるとは限りません。

群体Sスキームは、ある固定された基本スキームS上のスキームのカテゴリ内の群体オブジェクトです。 の場合、群体スキーム ( は必ず構造マップ) はグループスキームと同じです。群体スキームは代数群とその作用 の一般化であるという考え方を伝えるために、代数群体^[2]とも呼ばれます。${\displaystyle U=S}$${\displaystyle s=t}$

たとえば、代数群 G が スキームUに右から作用するとします。次に、 、射影、および与えられたアクションを取ります。これにより、群スキームが決定されます 。${\displaystyle R=U\times G}$

群オブジェクト ( R、U ) が与えられた場合、のイコライザは、もしあれば、群オブジェクトの慣性群と呼ばれるグループ オブジェクトです。 同じ図の共イコライザは、もしあれば、群オブジェクトの商です。 ${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U}$

カテゴリC内の各グループ オブジェク ト(存在する場合)は、 Cからグループ オブジェク トのカテゴリへの反変関数として考えることができます。このように、各グループ オブジェク トはグループ オブジェク トのプレスタックを決定します。このプレスタックはスタックではありませんが、スタック化してスタックにする ことができます。

この概念の主な用途は、スタックのアトラスを提供することです。より具体的には、を( R ⇉ U ) {\displaystyle (R\rightrightarrows U)} -トルソーのカテゴリとします。すると、それは群小体でファイバー化されたカテゴリであり、実際 (良いケースでは)、Deligne–Mumford スタックです。逆に、任意の DM スタックはこの形式です。 ${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$

• 単純スキーム

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006)、Algebraic stacks、2008-05-05 にオリジナルからアーカイブ、 2014-02-11 に取得
• ジレット、アンリ(1984)、「代数スタックと Q 多様体の交差理論」、代数K理論に関するルミニー会議の議事録(ルミニー、1983)、純粋および応用代数ジャーナル、34 (2–3): 193–240、doi :10.1016/0022-4049(84)90036-7、MR  0772058