ディンキン図

リー理論の数学分野において、ユージン・ディンキンにちなんで名付けられたディンキン図は、一部の辺が二重または三重になっている（二重線または三重線として描かれる）グラフの一種である。ディンキン図は、代数的に閉じた体上の半単純リー代数の分類、ワイル群やその他の有限反射群の分類、およびその他の文脈で現れる。ディンキン図の様々な性質（多重辺を含むかどうか、対称性など）は、関連するリー代数の重要な特徴に対応する。

「ディンキン図」という用語は曖昧な場合がある。ディンキン図は、有向であると仮定される場合があり、その場合はルート系や半単純リー代数に対応する。一方、無向であると仮定される場合もあり、その場合はワイル群に対応する。本稿では、「ディンキン図」とは有向ディンキン図を意味し、無向ディンキン図は明示的にそのように表記する。

ディンキン図の根本的な意義は、代数的に閉じた体上の半単純リー代数を分類できる点にある。このようなリー代数は、ディンキン図で表現できるルート系によって分類される。そして、以下に説明するように、ディンキン図は満たすべき制約条件に従って分類される。

グラフのエッジの方向を削除することは、ルートシステムをそれが生成する有限反射群、いわゆるワイル群に置き換えることに対応し、したがって無向ディンキン図はワイル群を分類する。

複素数上の古典群に関連付けられたリー代数については、以下の対応関係が存在する。

• ${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$、特殊線形リー代数。
• ${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$奇数次元の特殊直交リー代数。
• ${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$シンプレクティックリー代数。
• ${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$偶数次元の特殊直交リー代数（${\displaystyle n>1}$)

例外的な群の場合、リー代数とそれに関連するディンキン図の名称は一致する。

ディンキン図は、多くの異なる関連オブジェクトを分類するものとして解釈することができ、文脈に応じて「A _n、B _n 、...」という表記は、そのようなすべての解釈を指すために使用されます。この曖昧さは混乱を招く可能性があります。

中心となる分類は、単純なリー代数にはルートシステムがあり、それに（向き付けられた）ディンキン図が関連付けられているというものです。これら3つはすべて、例えばB _{nと呼ばれることがあります。}

向き付けされていないディンキン図はコクセター図の一種であり、ルート系に関連付けられた有限反射群であるワイル群に対応します。したがって、B _{n は}、向き付けされていない図（コクセター図の特殊な種類）、ワイル群（具体的な反射群）、または抽象的なコクセター群を指す可能性があります。

ワイル群は抽象的にはコクセター群と同型であるが、具体的な同型性は単純根の順序選択に依存する。同様に、ディンキン図の表記法は標準化されているが、コクセター図と群の表記法は多様であり、ディンキン図の表記法と一致する場合もあれば、一致しない場合もある。

最後に、関連するオブジェクトが同じ表記法で参照される場合もありますが、これは常に規則的に行えるとは限りません。例としては、次のものが挙げられます。

• ルートシステムによって生成されるルート格子。例えば、E 8 格子など。これは_自然に定義されますが、1 対 1 ではありません。例えば、A ₂と G _{2 は}どちらも六角形格子を生成します。
• 関連する多面体、例えばゴセット₄₂₁多面体は、その頂点が_E8ルートシステムから派生し、対称群としてE8コクセター群を_持つため、 「 _E8多面体」と呼ばれることがあります。
• 関連する二次形式または多様体 ― 例えば、E ₈多様体は、E _{8格子によって与えられる}交差形式を持つ。

後者の表記法は主に例外的な図に関連付けられたオブジェクトに使用され、通常の図（A、B、C、D）に関連付けられたオブジェクトには従来通りの名前が付けられています。

インデックス ( n ) は、図のノード数、基底の単純根の数、根格子の次元と根系のスパン、コクセター群の生成子の数、およびリー代数のランクです。ただし、n はリー代数の定義モジュール (基本表現)の次元とは等しくありません。ディンキン図のインデックスは、リー代数のインデックスと混同しないでください。たとえば、${\displaystyle B_{4}}$対応する${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$これは自然には9次元空間に作用するが、リー代数としてはランク4を持つ。

単純なレース状のディンキン図（多重辺を持たないもの）（A、D、E）は、さらに多くの数学的対象を分類します。ADE分類の議論を参照してください。

例：A ₂

例えば、シンボル${\displaystyle A_{2}}$以下を指す場合があります。

• 2 つの接続されたノードを持つDynkin 図は、Coxeter 図としても解釈できます。
• 2 つの単純根を持つ根系${\displaystyle 2\pi /3}$（120度）の角度。
• リー代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$2位。
• 根の対称性（根に直交する超平面における鏡映）のワイル群は、対称群と同型である。${\displaystyle S_{3}}$（6次の）
• 生成元と関係によって表現される抽象的なコクセター群は、${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

簡約かつ整数（または「結晶学的」）であると仮定されるルート系を考えます。多くの応用において、このルート系は半単純リー代数から生じます。${\displaystyle \Delta }$は正の単純根の集合である。次に、から図を作成する。${\displaystyle \Delta }$以下のように。^{[ 1 ]}要素ごとに1つの頂点を持つグラフを作成する${\displaystyle \Delta }$次に、次の手順に従って、各頂点のペア間にエッジを挿入します。 2 つの頂点に対応するルートが直交している場合、頂点間にエッジはありません。 2 つのルート間の角度が 120 度の場合、頂点間に 1 つのエッジを配置します。 角度が 135 度の場合、2 つのエッジを配置し、角度が 150 度の場合、3 つのエッジを配置します。 (これらの 4 つのケースは、正の単純ルートのペア間のすべての可能な角度を網羅しています。^{[ 2 ]} ) 最後に、与えられた頂点のペア間にエッジがある場合は、長い方のルートに対応する頂点から短い方のルートに対応する頂点に向かう矢印でそれらを装飾します。 (ルートの長さが同じ場合は矢印は省略されます。) 矢印を「より大きい」記号と考えると、矢印がどちらの方向に向かうべきかが明確になります。 ディンキン図はルートシステムの分類につながります。 ルート間の角度と長さの比率は関連しています。^{[ 3 ]}したがって、非直交ルートのエッジは、長さ比が 1 の場合は 1 つのエッジ、長さ比が 2 の場合は 2 つのエッジとして記述することもできます。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$長さの比率が 3 つのエッジ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$（根が直交している場合、長さの比率に関係なく、辺は存在しません。）

では${\displaystyle A_{2}}$右図に示す根系、根にはラベルが付いている。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$基底を形成します。これらの 2 つの根は 120 度の角度 (長さの比が 1) にあるため、ディンキン図は 1 つのエッジで接続された 2 つの頂点で構成されます。

ディンキン図は有限コクセター群のコクセター図と密接に関連しており、用語はしばしば混同される。^{[注1 ]}

ディンキン図は、有限群のコクセター図とは、重要な点で2つ異なっている。

一部監督

ディンキン図は部分的に有向グラフです。つまり、多重辺（コクセターの用語では「4」以上のラベルが付いているもの）には方向（あるノードから別のノードへ向かう矢印）があります。そのため、ディンキン図は基となるコクセター図（無向グラフ）よりも多くのデータを持っています。

ルートシステムレベルでは、方向は短いベクトルを指すように対応します。「3」とラベル付けされたエッジには方向がありません。これは、対応するベクトルの長さが等しくなければならないためです。（注意：著者によってはこの慣例を逆にして、矢印が長いベクトルを指すようにしている場合もあります。）

結晶学的制約

ディンキン図は、許容される辺のラベルが2、3、4、6のみであるという追加の制約を満たす必要があり、この制約はコクセター図にはないため、有限群のすべてのコクセター図がディンキン図から得られるわけではありません。

根系レベルでは、これは結晶学的制限定理に対応しており、根は格子を形成する。

もう一つの違いは、スタイル上のものですが、ディンキン図では慣習的に、ノード間に「 p 」とラベル付けされたエッジではなく、二重または三重のエッジ（ p  =  4、6の場合）で描画されます。 

「ディンキン図」という用語は、有向グラフを指す場合と無向グラフを指す場合がある。本稿では、正確を期すため、「ディンキン図」は有向グラフを意味し、基となる無向グラフは「無向ディンキン図」と呼ぶ。すると、ディンキン図とコクセター図は次のように関連付けられる。

これは、有限群のコクセター図は鏡映によって生成される点群に対応するのに対し、ディンキン図は結晶学的制限定理に対応する追加の制約を満たさなければならないこと、そしてコクセター図は無向であるのに対し、ディンキン図は（部分的に）有向であることを意味する。

図によって分類される対応する数学的対象は次のとおりです。

右上の空白は、基底となる無向グラフが任意のコクセター図（有限群のもの）である有向グラフに対応しており、形式的に定義することはできるが、あまり議論されておらず、関心のある数学的対象の観点から単純な解釈を許容するようには見えない。

下方向への自然な写像が存在する。それは、ディンキン図から無向ディンキン図への写像、およびルート系から関連するワイル群への写像である。また、右方向への自然な写像も存在する。それは、無向ディンキン図からコクセター図への写像、およびワイル群から有限コクセター群への写像である。

下方向の写像は（定義上）全射ですが、一対一ではありません。B n と C n の図は同じ無向図_に写像され、結果として得られるコクセター図とワイル群はBC _{n と}表記されることがあります。

正しい写像は単なる包含写像です。無向ディンキン図はコクセター図の特殊な場合であり、ワイル群は有限コクセター群の特殊な場合です。すべてのコクセター図が無向ディンキン図であるわけではないため（欠落している図は、p = 5 、 p ≥ 7 の場合のH ₃、H ₄、およびI ₂ ( p ) です）、全射ではありません。同様に、すべての有限コクセター群がワイル群であるわけでもありません。     

ディンキン図は、リストが重複しないように慣例的に番号付けされています。${\displaystyle n\geq 1}$のために${\displaystyle A_{n},}$${\displaystyle n\geq 2}$のために${\displaystyle B_{n},}$${\displaystyle n\geq 3}$のために${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$のために${\displaystyle D_{n},}$そして${\displaystyle E_{n}}$開始${\displaystyle n=6.}$しかしながら、これらの族はより小さいnに対しても定義することができ、その結果、図式の例外的な同型写像、およびそれに対応するリー代数と関連するリー群の例外的な同型写像が得られる。

ごく簡単に言えば、家族を始めるには${\displaystyle n=0}$または${\displaystyle n=1,}$これらはすべて同型であり、一意の空図と一意の1ノード図が存在する。連結されたディンキン図のその他の同型性は次のとおりである。

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

これらの同型写像は、単純リー代数と半単純リー代数の同型写像に対応し、また、これらのリー群形式の特定の同型写像にも対応します。また、E _nファミリーに文脈を追加します。^{[ 4 ]}

異なる図式間の同型性に加えて、一部の図式は自己同型性または「自己同型性」も持ちます。図式の自己同型性はリー代数の外部自己同型性に対応し、外部自己同型群 Out = Aut/Inn は図式の自己同型群に等しくなります。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

非自明な自己同型を持つ図は A _n (${\displaystyle n>1}$), D _n (${\displaystyle n>1}$)、および E _{6 。 D 4}を除くすべてのケースでは、非自明な自己同型 (Out = C _{2 、位数 2 の巡回群) が 1 つだけ存在しますが、 D 4}の場合、自己同型群は3 つの文字 ( S _{3 、位数 6) の}対称群です。この現象は「三位一体性」として知られています。これらの図の自己同型はすべて、図が平面上に慣習的に描かれる方法のユークリッド対称性として実現できますが、これは単に図の描き方のアーティファクトであり、本質的な構造ではありません。

A _nの場合、図の自己同型は、直線である図を反転させます。図のノードは基本重みをインデックス付けしており、(A _{n − 1}の場合) は${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$のために${\displaystyle i=1,\dots ,n}$、そして図式自己同型は双対性に対応する${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$リー代数として実現される${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$外側の自己同型は負の転置として表現でき、${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$これは、双対表現の作用の仕方である。^{[ 6 ]}

D _nの場合、図式自己同型は Y の端にある 2 つのノードを入れ替えることであり、2 つのカイラルスピン表現を入れ替えることに対応します。リー代数として実現されます。${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$外側の自己同型は、行列式が− 1の O(2 n )行列による共役として表現できる。n = 3 の場合、次のようになる。${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$そのため、それらの自己同型は一致するが、${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$は切断されており、自己同型写像​​は2つのノードの入れ替えに対応する。

D ₄の場合、基本表現は2 つのスピン表現と同型であり、結果として得られる3 文字上の対称群( S ₃または、あるいは6 位の二面体群Dih ₃ ) は、リー代数の自己同型と図式の自己同型の両方に対応します。

_{E 6}の自己同型群は図の反転に対応し、ジョルダン代数を用いて表現できる。^{[ 6 ] [ 8 ]}

半単純リー代数に対応する非連結図式は、図式の構成要素を交換することによって自己同型写像​​を持つ場合がある。

正標数では追加の「図式自己同型」が存在する。大まかに言えば、標数pでは、図式自己同型をとる際に、ディンキン図の多重度pの結合上の矢印を無視することが許される場合がある。したがって、標数 2 では、次の 2 位数の自己同型が存在する。${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$F ₄の場合、特性 3 では G ₂の位数 2 の自己同型が存在する。しかし、これはすべての状況に当てはまるわけではない。例えば、このような自己同型は、対応する代数群の自己同型としてではなく、有限体で値をとる点のレベルで生じる必要がある。

折りたたみ式

対称性を持つ（以下の条件を満たす）（単純なレース付き）ディンキン図（有限またはアフィン）は、その対称性で商化することで、一般に多重レース付きの新しい図を得ることができます。このプロセスは折り畳みと呼ばれます（ほとんどの対称性が2重であるため）。リー代数のレベルでは、これは外側の自己同型群の下で不変部分代数を取ることに相当し、このプロセスは図を使用せずに、ルート系のみを参照して定義できます。^{[ 9 ]}さらに、すべての多重レース付き図（有限または無限）は、単純なレース付き図を折り畳むことによって得られます。^{[ 10 ]}

折り畳みが可能な自己同型写像​​の条件は、同じ軌道（自己同型写像​​の下で）にあるグラフの異なるノードがエッジで接続されていないことです。ルートシステムのレベルでは、同じ軌道にあるルートは直交していなければなりません。^{[ 10 ]}図のレベルでは、これは必須です。そうでないと、2 つのノードを同一視しながらそれらの間にエッジが存在するため、商図にループが生じ、ループは Dynkin 図では許可されないためです。

商図（「折り畳まれた」図）のノードとエッジは、元の図のノードとエッジの軌道です。エッジは、2 つの接続エッジが同じエッジにマッピングされない限り単一です（特に、価数が 2 より大きいノードの場合）。これはマップの「分岐点」であり、その場合、重みは接続エッジの数であり、矢印はそれらが接続されているノードを指します。「分岐点は非均質点にマッピングされます」。たとえば、D ₄がG _{2に折り畳まれる場合、G 2}のエッジは、3 つの外側ノードのクラス（価数 1）から中央ノードのクラス（価数 3）を指しています。

有限図式の折り畳みは次のとおりです。^{[ 11 ] [注2 ]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

_{（A 2 n}の自己同型写像​​は折り畳みを生じない。なぜなら、中央の 2 つのノードは辺で接続されているが、同じ軌道内にあるからである。）

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$（グループ全体または3サイクルで商を取る場合、さらに${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$（対合で商をとる場合）3つの異なる方法で
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

アフィン図にも同様の折り畳みが存在し、以下のようなものがある。

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

折り畳みの概念は、コクセター図^{[ 12 ]}にもっと一般的に適用することもできます。特に、ディンキン図の許容商を H _nと I ₂ ( p ) に一般化することができます。幾何学的には、これは均一多面体の投影に対応します。特に、任意の単純なレース付きディンキン図は、コクセター数hであるI ₂ ( h )に折り畳むことができ、これは幾何学的にコクセター平面への投影に対応します。

折り畳み法を用いることで、(半単純)リー代数に関する問題を、自己同型写像​​を伴う単純リー代数に関する問題に還元できます。これは、多重リー代数を直接扱うよりも簡単な場合があります。例えば、半単純リー代数の構成において、この方法を用いることができます。詳細については、Math Overflowの「自己同型写像​​による折り畳み」を参照してください。

以下に詳述するように、図の追加マップには意味のある解釈があります。ただし、すべてのルートシステムのマップが図のマップとして発生するわけではありません。^{[ 13 ]}

例えば、A ₂の根系はG ₂に 2 通り含まれており、6 つの長い根または 6 つの短い根のいずれかです。しかし、G _{2 の図のノードは 1 つの長い根と 1 つの短い根に対応し、A 2 の}図のノードは同じ長さの根に対応するため、この根系のマップは図のマップとして表現することはできません。

ルートシステムの包含関係の中には、ある図が別の図の誘導部分グラフである、つまり「ノードの部分集合と、それらの間のすべてのエッジ」として表現できるものがある。これは、ディンキン図からノードを削除することは、ルートシステムから単純ルートを削除することに対応し、ランクが 1 つ低いルートシステムが得られるためである。対照的に、ノードを変更せずにエッジを削除する（またはエッジの多重度を変更する）ことは、ルート間の角度を変更することに対応し、これはルートシステム全体を変更せずに行うことはできない。したがって、ノードは意味を持って削除できるが、エッジは削除できない。連結図からノードを削除すると、ノードが葉である場合は連結図（単純リー代数）が得られるか、2 つまたは 3 つのコンポーネントを持つ非連結図（単純リー代数ではないが半単純リー代数）が得られる（後者は D _nと E _nの場合）。リー代数のレベルでは、これらの包含関係は部分リー代数に対応する。

最大部分グラフは以下のとおりです。図式自己同型によって関連付けられた部分グラフには「共役」というラベルが付けられています。

• A _{n +1} : A _n、2 つの共役な方法。
• B _{n +1} : A _n、 B _n。
• C _{n +1} : A _n、 C _n。
• D _{n +1} : A _n (2 つの共役な方法)、D _n。
• E _{n +1} : A _n、 D _n、 E _n。
  • E ₆の場合、これらのうち 2 つが一致します。${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$そして、共役である。
• F ₄ : B ₃、 C ₃。
• G ₂ : A ₁は、2 つの非共役な方法 (長い根または短い根として) で存在します。

最後に、図の双対性は、矢印の方向を反転させることに対応します（もしあれば）。^{[ 13 ]} B _nと C _nは双対ですが、F ₄と G ₂は自己双対であり、単純なレース ADE 図も同様です。

多重辺のないディンキン図は、対応するリー代数とリー群と同様に、単にレース付きと呼ばれます。これらは${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$図、およびそのような図によって分類される現象は、 ADE分類と呼ばれます。この場合、多重エッジが存在しないため、ディンキン図はコクセター図と完全に一致します。

ディンキン図は、複素半単純リー代数を分類します。実半単純リー代数は、複素半単純リー代数の実形式として分類することができ、これらはサタケ図によって分類されます。サタケ図は、ディンキン図から、特定の規則に従って、いくつかの頂点を黒色（塗りつぶし）でラベル付けし、他のいくつかの頂点を矢印でペアにして接続することによって得られます。

ディンキン図は、半単純リー代数の分類を簡略化した2つの論文（1946年、1947年）でディンキン図を使用したユージン・ディンキンにちなんで名付けられました。 ^{[ 14 ]}（ディンキン 2000 ）を参照。ディンキンが1976年にソビエト連邦を離れたとき（当時は反逆行為に等しいと考えられていた）、ソビエトの数学者たちは彼の名前を使う代わりに「単純根の図」を参照するように指示されました。

無向グラフは、以前コクセター（1934）によって反射群の分類に使用され、そのノードは単純な反射に対応していました。その後、ウィット（1941）は、今日使用されているように、ノードが単純な根に対応するルートシステムを参照するために、グラフを（長さ情報とともに）使用しました。^{[ 14 ] [ 15 ]}ディンキンは、1946年と1947年にそれらを使用し、1947年の論文でコクセターとウィットに謝意を表しました。

ディンキン図はさまざまな方法で描かれてきましたが、^{[ 15 ]}ここで採用されている慣例は一般的で、D _{nの価数 2 のノードでは 180° の角度、価数 3 のノードでは 120° の角度、E n}の価数 3 のノードでは 90°/90°/180° の角度が用いられ、多重度は 1、2、または 3 本の平行な辺で示され、ルートの長さは方向を示すために辺に矢印を描くことで示されます。この慣例の単純さに加えて、図の自己同型が図のユークリッド等長変換によって実現されるという利点もあります。

代替的な表記法としては、多重度を示すために端に数字を書き込む（コクセター図でよく使われる）、根の長さを示すためにノードを濃く塗りつぶす、または価数2のノードに120°の角度を使用してノードをより明確にする、などがある。

ノードの番号付けに関する慣例も存在する。最も一般的な現代的な慣例は1960年代までに確立され、( Bourbaki 1968 )に示されている。^{[ 15 ]}

ディンキン図は一般化カルタン行列と等価であり、この表にはランク2のディンキン図とそれに対応する2 × 2カルタン行列が示されている。

ランク2の場合、カルタン行列の形式は次のようになります。

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

多辺図は、非対角カルタン行列要素に対応する。${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$⁠、描画される辺の数は⁠${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$⁠、そして非単位要素を指す矢印。

一般化カルタン行列は正方行列である${\displaystyle A=(a_{ij})}$すなわち、以下の通りである。

1. 斜めのエントリの場合、${\displaystyle a_{ii}=2}$。
2. 対角線以外のエントリの場合、${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$。
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$かつその場合に限り${\displaystyle a_{ji}=0}$

カルタン行列は、群が有限型（正定値行列、つまりすべての固有値が正の場合）、アフィン型（正定値ではなく半正定値、つまりすべての固有値が非負の場合）、または不定型であるかを決定します。不定型はさらに細分化されることが多く、たとえば、コクセター群は、1 つの負の固有値を持ち、他のすべての固有値が正の場合、ローレンツ群となります。さらに、複数の資料で双曲型コクセター群について言及されていますが、この用語にはいくつかの非等価な定義があります。以下の議論では、双曲型コクセター群は、追加の条件を満たすローレンツ群の特殊なケースです。ランク 2 の場合、すべての負の行列式カルタン行列は双曲型コクセター群に対応します。しかし一般に、ほとんどの負の行列式は双曲型でもローレンツ型でもありません。

有限の枝は${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$、アフィン分岐（行列式がゼロ）は、${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$⁠ .

ディンキン図には拡張版があり、アフィンディンキン図と呼ばれるものがあります。これらはアフィンリー代数のカルタン行列を分類します。これらは（Kac 1994 、第4章、47～）で分類されており、特に（Kac 1994、53 ～55 ）にリストされています。アフィン図は次のように表記されます。${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$または${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$ここで、X は対応する有限図の文字であり、指数はそれらが属するアフィン図の系列によって決まります。これらの最初のものは、${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$これらは最も一般的で、拡張ディンキン図と呼ばれ、チルダで示され、また、上付き文字+で示されることもあります。^{[ 17 ]}${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$（2）と（3）の系列はねじれアフィン図と呼ばれます。

図については、 Dynkinの図生成ツールを参照してください。

以下に、ノード数が 10 個までのアフィン群の Dynkin グラフをすべて示します。拡張 Dynkin グラフは、上記の有限グラフと同様に、ノードが 1 つ追加された~ファミリーとして示されます。その他の有向グラフのバリエーションは、上付き文字の値 (2) または (3) で示され、高次の群の折り畳みを表します。これらは、ねじれアフィン図として分類されます。^{[ 18 ]}

コンパクトおよび非コンパクトな双曲型ディンキングラフの集合が列挙されている。^{[ 19 ]}ランク3の双曲型グラフはすべてコンパクトである。コンパクトな双曲型ディンキン図はランク5まで存在し、非コンパクトな双曲型グラフはランク10まで存在する。

• 佐竹図
• 既約なシジュウカラ指数のリスト
• Klassifikation von Wurzelsystemen (ルート システムの分類) (ドイツ語)

• ジョン・バエズによる、数学におけるディンキン図の遍在性についての考察
• ラベル付きの出版品質のDynkin図を作成するためのWebツール（JavaScriptで記述）