リー代数表現

表現論の数学分野において、リー代数表現またはリー代数の表現とは、リー代数を行列（またはベクトル空間の自己準同型）の集合として記述する方法であり、リー括弧は交換子によって与えられる。物理学の言葉で言えば、ベクトル空間を探すということである。 $V$ 演算子のコレクションとともに $V$ 角運動量演算子が満たす関係など、ある固定された交換関係を満たす。

この概念は、リー群の表現の概念と密接に関連している。大まかに言えば、リー代数の表現はリー群の表現の微分形であり、リー群の普遍被覆の表現はそのリー代数の表現の積分形である。

リー代数の表現の研究において、リー代数に関連付けられた普遍包絡環と呼ばれる特定の環が重要な役割を果たす。この環の普遍性とは、リー代数の表現の圏が、その包絡環上の加群の圏と等しいことを意味する。

正式な定義

させて ${\mathfrak {g}}$ をリー代数とし、 $V$ ベクトル空間とする。 ${\mathfrak {gl}}(V)$ は自己準同型の空間を表す。 $V$ つまり、すべての線形写像の空間 $V$ それ自体へ。ここで、結合代数は ${\mathfrak {gl}}(V)$ 交換子によって与えられる括弧を持つリー代数に変換される。 $[s,t]=s\circ tt\circ s$ すべてのs,tについて ${\mathfrak {gl}}(V)$ 。次に、 ${\mathfrak {g}}$ の上 $V$ リー代数準同型である

\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}

。

具体的に言うと、これは次のことを意味します。 $\rho$ 線形マップである必要があり、

\rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)

すべてのX、Yに対して ${\mathfrak {g}}$ ベクトル空間Vは、表現ρとともに、 ${\mathfrak {g}}$ -モジュール。（多くの著者は用語を誤用し、V自体を表現と呼ぶことがある）。

表現 $\rho$ 単射である場合、それは忠実であると言われる。

同等に定義できるのは ${\mathfrak {g}}$ -モジュールをベクトル空間Vと双線形写像とともに ${\mathfrak {g}}\times V\to V$ そのため

[X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)

すべてのX,Yに対して ${\mathfrak {g}}$ そして、v はVに含まれる。これは、 X ⋅ v = ρ ( X )( v )と設定することで、前の定義と関連付けられる。

例

随伴表現

リー代数表現の最も基本的な例は、リー代数の随伴表現である。 ${\mathfrak {g}}$ それ自体について：

{\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].

実際、ヤコビ恒等式により、 $\operatorname {ad}$ これはリー代数の準同型写像である。

微小リー群表現

リー代数表現は自然界にも現れる。 $\phi$ : G → Hは(実数または複素数の)リー群の準同型であり、 ${\mathfrak {g}}$ そして ${\mathfrak {h}}$ はそれぞれGとHのリー代数であり、微分は ${\displaystyle d_{e}\phi$ 恒等写像における接空間上のリー代数準同型写像です。特に、有限次元ベクトル空間Vに対して、リー群の表現は

\phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,

リー代数準同型を決定する

{\displaystyle d\phi

から ${\mathfrak {g}}$ 一般線形群GL( V )のリー代数、すなわちVの自己準同型代数へ。

例えば、 $c_{g}(x)=gxg^{-1}$ 。次に、 $c_{g}:G\to G$ アイデンティティは要素である $\operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$ それをで表す $\operatorname {Ad} (g)$ 表現が得られる $\operatorname {Ad}$ ベクトル空間上のGの ${\mathfrak {g}}$ これはGの随伴表現である。上記を適用すると、リー代数表現が得られる。 $d\operatorname {Ad}$ . が示せる。 $d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad}$ の随伴表現 ${\mathfrak {g}}$ 。

この主張の部分的な逆は、有限次元（実数または複素数）リー代数のすべての表現は、関連する単連結リー群の一意の表現に持ち上げられるため、単連結リー群の表現は、そのリー代数の表現と1対1に対応するというものである。^{[ 1 ]}

量子物理学において

量子論では、ヒルベルト空間上の自己共役演算子である「観測量」を考える。これらの演算子間の交換関係は重要なツールとなる。例えば、角運動量演算子は交換関係を満たす。

[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},

。

したがって、これら３つの演算子のスパンはリー代数を形成し、それは回転群SO( 3)のリー代数so(3)と同型である。^{[ 2 ]}すると、 $V$ は、角運動量演算子の下で不変な量子ヒルベルト空間の任意の部分空間である。 $V$ これはリー代数 so(3) の表現を構成します。so(3) の表現理論を理解することは、例えば水素原子のような回転対称性を持つハミルトニアンの解析に大いに役立ちます。量子物理学の他の分野では、他にも多くの興味深いリー代数（およびその表現）が現れます。実際、表現理論の歴史は、数学と物理学の豊かな相互作用によって特徴づけられています。

基本概念

不変部分空間と既約性

表現が与えられた場合 ${\displaystyle \rho$ はリー代数の ${\mathfrak {g}}$ 部分空間とは、 $W$ の $V$ 不変である場合 $\rho (X)w\in W$ すべての人々のために $w\in W$ そして $X\in {\mathfrak {g}}$ 非ゼロ表現は、不変部分空間が次のものだけである場合に既約であると言われます。 $V$ それ自体とゼロ空間 $\{0\}$ 単純モジュールという用語は、既約表現に対しても用いられる。

準同型写像

させて ${\mathfrak {g}}$ をリー代数とする。V 、Wを ${\mathfrak {g}}$ -モジュール。次に線形マップ $f:V\to W$ は準同型写像である ${\mathfrak {g}}$ -モジュールが ${\mathfrak {g}}$ -等変; つまり、 $f(X\cdot v)=X\cdot f(v)$ いかなる場合でも $X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V$ fが全単射である場合、 $V,W$ これらは同等であると言われます。このような写像は、絡み合う写像または射とも呼ばれます。

同様に、抽象代数学における加群理論の他の多くの構成もこの設定に引き継がれます。部分加群、商、部分商、直和、ジョルダン・ヘルダー級数などです。

シュールの補題

既約表現を研究する上で単純だが便利なツールは、シューアの補題である。これは2つの部分から成ります。^{[ 3 ]}

V、Wが既約である場合 ${\mathfrak {g}}$ -モジュールと $f:V\to W$ 準同型写像である場合、 $f$ ゼロか同型写像のいずれかである。
Vが既約である場合 ${\mathfrak {g}}$ 代数的に閉じた体上のモジュールと $f:V\to V$ 準同型写像である場合、 $f$ は単位元のスカラー倍である。

完全還元性

Vをリー代数の表現とする ${\mathfrak {g}}$ そのとき、 Vが既約表現の直和と同型である場合、V は完全還元可能（または半単純）であると言われる（半単純加群を参照）。V が有限次元の場合、 Vが完全還元可能であるのは、Vのすべての不変部分空間が不変補空間を持つ場合に限る。（つまり、Wが不変部分空間であれば、V がWとPの直和となるような別の不変部分空間Pが存在する。）

もし ${\mathfrak {g}}$ は標数ゼロの体上の有限次元半単純リー代数であり、 Vは有限次元であるならば、Vは半単純である。これはワイルの完全還元定理である。^{[ 4 ]}したがって、半単純リー代数の場合、既約表現（すなわち単純表現）の分類は、直ちにすべての表現の分類につながる。この特別な性質を持たない他のリー代数の場合、既約表現の分類は、一般表現の分類にはあまり役立たないかもしれない。

リー代数は、随伴表現が半単純である場合に還元的であると言われる。確かに、すべての（有限次元の）半単純リー代数は ${\mathfrak {g}}$ 還元的である。なぜなら、 ${\mathfrak {g}}$ 先ほど述べたように、完全に還元可能です。一方、還元リー代数の定義は、非自明な部分イデアルを持たないイデアル（すなわち、随伴表現の不変部分空間）の直和として分解されることを意味します。これらのイデアルの中には1次元のものがあり、残りは単純リー代数です。したがって、還元リー代数は、可換代数と半単純代数の直和となります。

不変量

Vの要素vは次のように言われる。 ${\mathfrak {g}}$ -不変の場合 $x\cdot v=0$ すべての人々のために $x\in {\mathfrak {g}}$ 不変要素の集合は、で表されます。 $V^{\mathfrak {g}}$ 。

基本的な構造

表現のテンソル積

リー代数の表現が2つある場合 ${\mathfrak {g}}$ V ₁とV ₂をその基底ベクトル空間とすると、表現のテンソル積はV ₁ ⊗ V ₂を基底ベクトル空間とし、 ${\mathfrak {g}}$ 仮定によって一意に決定される

X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).

すべての人々のために $v_{1}\in V_{1}$ そして $v_{2}\in V_{2}$ 。

準同型写像の言葉で言えば、これは次のように定義することを意味します。 $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})$ 式により

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)

^{[ 5 ]}これはクロネッカー和と呼ばれます。

\rho _{1}

そして

\rho _{2}

は、行列加算#Kronecker_sumおよびKronecker 積#Propertiesで定義され、より具体的には表現のテンソル積で定義されます。

物理学の文献では、恒等演算子とのテンソル積は表記で省略されることが多く、式は次のように書かれる。

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)

、

そこでは、 $\rho _{1}(x)$ テンソル積の最初の因子に作用し、 $\rho _{2}(x)$ はテンソル積の2番目の因子に作用します。リー代数su(2)の表現の文脈では、表現のテンソル積は「角運動量の加算」という名前で呼ばれます。この文脈では、 $\rho _{1}(X)$ 例えば、軌道角運動量である可能性がある。 $\rho _{2}(X)$ はスピン角運動量です。

二重表現

させて ${\mathfrak {g}}$ リー代数であり、 ${\displaystyle \rho$ は、 ${\mathfrak {g}}$ 。させて $V^{*}$ 双対空間、すなわち線形汎関数の空間とする。 $V$ そうすれば表現を定義できる $\rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})$ 式により

\rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },

任意の演算子に対して $A:V\rightarrow V$ 転置演算子 $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ 「 $A$ オペレーター:

(A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)

定義のマイナス記号 $\rho ^{*}$ 確実にするために必要 $\rho ^{*}$ 実際には、 ${\mathfrak {g}}$ アイデンティティに照らして $(AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.$

基底を用いて考えると、上記の定義における転置は、通常の行列の転置として解釈できる。

線形マップ上の表現

させて $V,W$ なれ ${\mathfrak {g}}$ -モジュール、 ${\mathfrak {g}}$ リー代数。 $\operatorname {Hom} (V,W)$ になる ${\mathfrak {g}}$ -モジュールを設定する $(X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)$ 。特に、 $\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}$ つまり、 ${\mathfrak {g}}$ -モジュール準同型から $V$ に $W$ は単に $\operatorname {Hom} (V,W)$ 定義された作用の下で不変である ${\mathfrak {g}}$ の上 $\operatorname {Hom} (V,W)$ . $W$ ベースフィールドとなるために、我々はアクションを回復する ${\mathfrak {g}}$ の上 $V^{*}$ 前の小節で述べたとおりです。

半単純リー代数の表現論

半単純リー代数の表現論を参照してください。

包絡代数

各リー代数に対して ${\mathfrak {g}}$ 体k上では、普遍包絡代数と呼ばれる特定の環を関連付けることができる。 ${\mathfrak {g}}$ そして、 $U({\mathfrak {g}})$ 普遍包絡代数の普遍性により、すべての表現が ${\mathfrak {g}}$ 表現を生み出す $U({\mathfrak {g}})$ 逆に、PBW定理によれば、 ${\mathfrak {g}}$ 中に座る $U({\mathfrak {g}})$ なので、すべての表現は $U({\mathfrak {g}})$ 制限できる ${\mathfrak {g}}$ したがって、表現の間には1対1の対応関係がある。 ${\mathfrak {g}}$ そして $U({\mathfrak {g}})$ 。

普遍包絡代数は、上述の半単純リー代数の表現論において重要な役割を果たします。具体的には、有限次元既約表現は、 Vermaモジュールの商として構成され、Vermaモジュールは普遍包絡代数の商として構成されます。^{[ 6 ]}

建設 $U({\mathfrak {g}})$ 以下のように表される。^{[ 7 ]} Tをベクトル空間のテンソル代数とする。 ${\mathfrak {g}}$ したがって、定義により、 $T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}$ そしてその乗算は次のように与えられる。 $\otimes$ 。させて $U({\mathfrak {g}})$ Tの商環を、次の形式の要素によって生成されるイデアルで表す。

[X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)

。

自然な線形マップがあります ${\mathfrak {g}}$ の中へ $U({\mathfrak {g}})$ 商マップを制限することによって得られる $T\to U({\mathfrak {g}})$ 1 つのピースを次数化する。PBW定理は、正準写像が実際には単射であることを示唆している。したがって、すべてのリー代数は ${\mathfrak {g}}$ 結合代数に埋め込むことができる $A=U({\mathfrak {g}})$ ブラケットが ${\mathfrak {g}}$ は $[X,Y]=XY-YX$ で $A$ 。

もし ${\mathfrak {g}}$ はアーベル群である、 $U({\mathfrak {g}})$ ベクトル空間の対称代数 ${\mathfrak {g}}$ 。

以来 ${\mathfrak {g}}$ 随伴表現による自身上のモジュールである包絡代数 $U({\mathfrak {g}})$ になる ${\mathfrak {g}}$ -随伴表現を拡張することによってモジュールを作成します。しかし、左および右の正則表現を使用して包絡代数を ${\mathfrak {g}}$ -モジュール。すなわち、表記法は $l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})$ マッピング $X\mapsto l_{X}$ 表現を定義する ${\mathfrak {g}}$ の上 $U({\mathfrak {g}})$ 適切な正規表現も同様に定義される。

誘導表現

させて ${\mathfrak {g}}$ 標数ゼロの体上の有限次元リー代数であり、 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 部分代数。 $U({\mathfrak {h}})$ 行動する $U({\mathfrak {g}})$ 右側から、したがって、 ${\mathfrak {h}}$ -モジュールWでは、左を形成できます $U({\mathfrak {g}})$ -モジュール $U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W$ それは ${\mathfrak {g}}$ -モジュールは次のように表されます $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ そして、 ${\mathfrak {g}}$ Wによって誘導されるモジュール。これは、任意のに対して、次の普遍性を満たし（そして実際に特徴づけられる）、 ${\mathfrak {g}}$ -モジュールE

\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)

。

さらに、 $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}$ は、の圏からの完全関手である。 ${\mathfrak {h}}$ -モジュールをカテゴリに追加 ${\mathfrak {g}}$ -モジュール。これらは、 $U({\mathfrak {g}})$ は無料の権利モジュールです $U({\mathfrak {h}})$ 特に、 $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ が単純（または絶対単純）ならば、Wは単純（または絶対単純）である。ここで、 ${\mathfrak {g}}$ -モジュールVは、 $V\otimes _{k}F$ あらゆるフィールド拡張にシンプルです $F/k$ 。

帰納法は推移的である。 $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}$ 任意のリー部分代数に対して ${\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}$ および任意のリー部分代数 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'$ 帰納法は制限と可換である。 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 部分代数であり、 ${\mathfrak {n}}$ 理想 ${\mathfrak {g}}$ 含まれている ${\mathfrak {h}}$ 。セット ${\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}$ そして ${\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}$ 。それから $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}$ 。

無限次元表現と「カテゴリO」

させて ${\mathfrak {g}}$ 標数ゼロの体上の有限次元半単純リー代数である。（可解または冪零の場合、包絡代数の原始イデアルを研究する。決定的な説明についてはディクスミエを参照。）

（おそらく無限次元の）加群のカテゴリー ${\mathfrak {g}}$ 特にホモロジー代数の手法を用いるには大きすぎることが判明した。そこで、標数がゼロの半単純な場合における表現論には、より小さな部分圏である圏Oの方が適していることが分かった。例えば、圏Oは有名なBGG相互性を定式化するのにちょうど良い大きさであることが分かった。

(g,K)モジュール

リー代数表現の最も重要な応用の一つは、実簡約リー群の表現論への応用である。この応用は、もし $\pi$ 例えば連結な実半単純線形リー群Gのヒルベルト空間表現である場合、複素化という 2 つの自然な作用があります。 ${\mathfrak {g}}$ そして連結最大コンパクト部分群K。 ${\mathfrak {g}}$ -モジュール構造 $\pi$ 代数的、特にホモロジー的手法を適用することができ、 $K$ -モジュール構造により、連結コンパクト半単純リー群と同様の方法で調和解析を実行できます。

代数上の表現

リー超代数Lがある場合、代数上のLの表現は、（必ずしも結合的ではない）Z ₂次数付き代数Aであり、これはZ ₂次数付きベクトル空間としてのLの表現であり、さらに、 Lの要素はA上の微分/反微分として作用します。

より具体的には、HがLの純粋要素であり、xとy がAの純粋要素である場合、

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + ( − 1) ^xH x ( H [ y ])

また、Aが単位元を持つ場合、

H [1] = 0

さて、リー代数の表現の場合、単純にすべての次数と ( − 1) をいくつかのべき乗因子に削除します。

リー（超）代数は代数であり、それ自身の随伴表現を持つ。これは代数上の表現であり、（反）微分特性は超ヤコビ恒等式である。

ベクトル空間が結合代数かつリー代数であり、リー代数自身の随伴表現が代数上の表現である（すなわち、結合代数構造に微分作用する）場合、それはポアソン代数である。リー超代数についても同様の考察を行い、ポアソン超代数の概念を得た。

注記

↑ホール 2015定理 5.6
↑ホール 2013セクション 17.3
↑ホール 2015定理 4.29
↑ディクスミエ 1977 、定理 1.6.3
↑ホール 2015セクション 4.3
↑ホール 2015セクション 9.5
↑ジェイコブソン 1962

参考文献

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